初中数学华东师大九年级下册二次函数求二次函数的表达式 市赛获奖PPT

四 一般式法二次函数的表达式
探究归纳
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定
系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所
列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3）
（1）y=x2+2x-15； （2）y= x2+x-2； （3）y=2x2+2x-12；
三 交点法求二次函数的表达式
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数
的表达式.
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2
是什么？
(1)设：（表达式）
待定系数法
(2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
回味知识点：
目前先接触的二次函数的关系式有哪些？
(1)一般式
(2)顶点式 顶点坐标（h，k）
二次函数的关系式特殊情况
讲授新课
一 特殊条件的二次函数的表达式
典例精析
例1.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
{ { 3=4a+c，
a=2，
∴
解得 －3=a+c，
c=－5.
关于y轴 对称
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
做一做
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
对称轴：直线x= h
顶点坐标：( h , k )
（3）交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
对称轴：直线x= x 1 x 2
2
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复习引入
2个
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要 已知几个点的坐标求出它的表达式？
2个
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤
待定系数法 ，试求出这个二次函数的表达式.
步骤： 1.设： （表达式）
解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），
2.代：
（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
（坐标代入）
3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式）
9a-3b+c=0，
a=-1
a-b+c=0， 解得 ，b=-4
5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴 交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题： (1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴
b 2
＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元 一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
当堂练习
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
例6 一个二次函数的图象过点（0,1）,
它的顶点坐标是（8,9）,求这个二次函数 的关系式。
已知图象的顶点坐标(8,9), 可设y=a(x-8)2+9,易求a值 呦！
练一练 已知：二次函数的图像的对称轴为直线 x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点 (–1,–3)，求这个函数的解析式。
解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（ －3，5）， 所以，设y=a(x+3)²＋5
学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点） 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. （重点）
二次函数表达式的一般形式:
（1)一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
对称轴：直线x= b
顶点坐标：( b
2a
, 4ac b 2
)
2a
4a
(2)顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做 顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
a-b＋c＝-5，
依题意得 c＝－4，
解得Leabharlann a＋b＋c＝1，a＝2， b＝3， c＝－4，
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且 过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点 ，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1.
又抛物线经过点（－1，－3），得
－3=a(－1+3)²＋5
∴
a=－2
∴所求的函数解析式为y= –2(x+3)²＋5
即y= –2x²–12x–13
一般式法二次函数的表达式 例7 一个二次函数的图象过（0,1）、（2,4）、 （3，10）三点，求这个二次函数关系式.
解： 设所求二次函数为y=ax2+bx+c，有这
个函数的图象过（0，1），可得c=1.
又已由知图三点象坐过标（,可2设，4）、（3，10），得
y=ax2+bx+c, 求出a、b、c
的值4呦a ！2b 1 4， 9a 3b 110.
解得
a
3，b 2
3. 2
因此，所求二次函数的关系式是
y 3 x2 3x1. 22
练一练 已知：二次函数的图像经过点A(–1，6)、B(3 ，0)、C(0，3)，求这个函数的解析式。
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
{ 8=4a-2b，
∴ 5=a-b，
图象经过 原点
二 顶点法求二次函数的表达式
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二 次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 （-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得
∴△BCD的面积＝
1 2
×8×7＝28.
c=-3，
，c=-
3. ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 ∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
y 2 1
-4 -3 -2 -1-O1 1 2 x -2 -3 -4 -5
归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法
解：设所求函数解析式为y=ax²+bx+c .
由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三点得
a b c 6 9 a 3b c 0 c 3
解这个方程组得a= 0.5，b= – 2.5，c=3
∴所求得的函数解析式为y=0.5x²– 2.5x+3
求二次函数解析式探索
• 1．已学二次函数的哪两种表达式？ • 2．分解因式：x2-2x-3； • 3．解方程：x2 -2x-3=0
.
y 3 x2 4
注意注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、 y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过 前三者是顶点式的特殊形式.
y
5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -13-O1 1 2 x
课堂小结
已知条件 ①已知三点坐标
待定系数法 求二次函数解析式
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标或 对称轴或最值
③已知抛物线与x轴 的两个交点
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标）
归纳小结
二次函数解析式的确定:
求二次函数解析式可用待定系数法. (1)当已知图象上任意三点的坐标或 已知三对对应值时，使用一般式：
ya2xbxc来解；
(2)当已知顶点坐标或最值时，使
用顶点式 yaxh2k来解，比较
简单。
归纳小结
二次函数解析式的确定:
（3）过与x轴的两个交点和一普通 点的二次函数解析式确定.
交点式 条y=件 a(x： -x1)若 (x-y抛 x2)a.物 x2线 bxc
与x轴交于两 x,0点 ),(x（ ,0).
1
2
想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件 ？ 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可 平行于x轴，但不可以平行于y轴.
a 3, 2
b 3. 2
∴所求的二次函数的表达式是 y 3x2 3x1.
22
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
是 y=-2(x-1)2+6
.
顶点坐标是（1，6 ）
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4) 和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
4．一元二次方程的两根x1，x2在哪里？ 在坐标系中画出二次函数y= x2 -2x-3的图象， 研究抛物线与x轴的交点，你发现了什么？
5．当抛物线与轴有交点二次函数有两根式（交点式） • 二次函数的另一种表达式：
y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0） 叫做二次函数的两根式又称交点式。
练习：将下列二次函数化为两根式：
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C 在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
例3 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10) 三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由
于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得