培优易错试卷二次函数辅导专题训练含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线y ＝1
2
x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，
0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝
213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （3
2，﹣258
）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣5
4
）． 【解析】 【分析】
（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 3
2
=
对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线
x 3
2=
交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】
（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112
⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 213
22
x =-x ﹣2． y 21322x =
-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （325
2
8
，
-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，
213
22
x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB
＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为（325 28，-
），∴抛物线的对称轴为x
3
2
=．
∵抛物线y1
2
=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x
3
2
=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y2
13
22
x
=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x
3
2
=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：
2
40
b
k b
=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
1
2
2
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，∴y
1
2
=x﹣2．
当x
3
2
=时，y
135
2
224
=⨯-=-，∴点M的坐标为（
35
24
-，）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
2．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=
1
2
DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点
M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①P （﹣1，6），②存在，M （﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，13
2
）． 【解析】 【分析】
（1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB 的解析式为：y=-2x+2，根据PD ⊥x 轴，设P （x ，-x 2-3x+4），则E （x ，-2x+2），根据PE=
1
2
DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标． 【详解】
解：（1）∵B （1，0），∴OB=1， ∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0）， Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2，
∴
AC 2BC =， ∴AC
23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6），
把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2
+bx+c 得：426
10b c b c --+=⎧⎨-++=⎩
，
解得：3
4b c =-⎧⎨=⎩
，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4； （2）①∵A （﹣2，6），B （1，0）， ∴AB 的解析式为：y=﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE=1
2
DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=1
2
（﹣2x+2），
∴x=-1或1（舍），
∴P（﹣1，6）；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∵B（1，0），A（﹣2，6）
∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，
BM2=（1+1）2+y2=4+y2，
AB2=（1+2）2+62=45，
分三种情况：
i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，
解得：y=311，
∴M（﹣1，11）或（﹣1，311
ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，
∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，
∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=13
2
，
∴M（﹣1，13
2
）；
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或
（﹣1，13
2
）．
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理
的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．
3．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是8
5
s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．
4．已知点A（﹣1，2）、B（3，6）在抛物线y=ax2+bx上
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x 轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
(3)如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，
QM=2PM，直接写出t的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．
【解析】
【分析】
（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；
（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；
（3）具体见详解.
【详解】
．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．
（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，
将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，
∴k=m﹣2，
∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．
联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
，解得：或，
∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．
∵GH⊥x轴，
∴点H的坐标为（m，0）．
∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），
∴点E的坐标为（1，0）．
过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．
∵点A（﹣1，2），
∴A′（﹣1，0），
∴AE=2，AA′=2．
∴ =1， = =1，
∴= ，
∵∠AA′E=∠FOH，
∴△AA′E∽△FOH，
∴∠AEA′=∠FHO，
∴FH∥AE．
（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，
将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．
当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，
∵QM=2PM，
∴ =，
∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，
∴点M的坐标为（t﹣2， t）．
又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，
∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），
解得：t=；
当点M在线段QP的延长线上时，
同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），
∵点M在抛物线y=x2﹣x上，
∴2t=（t ﹣6）2﹣（t ﹣6）， 解得：t=
．
综上所述：当运动时间秒
或
时，QM=2PM ．
【点睛】
本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.
5．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C
-.
（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;
（2）若点D 在二次函数图像上，且4
5
DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标;
（3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过
M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.
【答案】（1）y ＝239
344
x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为
2﹣
，2；（3）M （13，﹣11
3
） 【解析】 【分析】
（1）求出a ，即可求解；
（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；
（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，34
m 2﹣9
4m ﹣3），N
（n ，
34
n 2﹣9
4n ﹣3），判断四边形MNFE 是平行四边形，根据ME ＝NF ，求出m +n ＝4，
再确定ME +MN ＝﹣34m 2+3m +5﹣52m ＝﹣34
（m ﹣1
3）2+6112，即可求M ；
【详解】
（1）y ＝ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C （0，﹣3）， ∴a ＝3
4
， ∴y ＝
34
x 2﹣9
4x ﹣3，
与x 轴交点A （﹣1，0），B （4，0）； （2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴403k b b +=⎧⎨
=-⎩
，
∴343
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y ＝
3
4
x ﹣3； 过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ， 设H （x ，34x ﹣3），D （x ，34
x 2﹣9
4x ﹣3），
∴DH ＝|
34
x 2
﹣3x |，
∵S△ABC＝115
53
23
⨯⨯=，
∴S△DBC＝415
52
⨯＝6，
∴S△DBC＝2×|3
4
x2﹣3x|＝6，
∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；
∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；
（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，
设M（m，3
4
m2﹣
9
4
m﹣3），N（n，
3
4
n2﹣
9
4
n﹣3），
则E（m，3
4
m﹣3），F（n，
3
4
n﹣3），
∴ME＝﹣3
4
m2+3m，NF＝﹣
3
4
n2+3n，
∵EF∥MN，ME∥NF，
∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME＝NF，
∴﹣3
4
m2+3m＝﹣
3
4
n2+3n，
∴m+n＝4，
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，
∴∠NMG＝∠OBC，
∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OB
MN BC
=,∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴OB＝4，OC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝5，
∴MN＝5
4（n﹣m）＝
5
4
（4﹣2m）＝5﹣
5
2
m，
∴ME+MN＝﹣3
4
m2+3m+5﹣
5
2
m＝﹣
3
4
（m﹣
1
3
）2+
61
12
，
∵﹣3
4
＜0，
∴当m＝1
3
时，ME+MN有最大值，
∴M（1
3，﹣
11
3
）
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.
6．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣1
2
t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN•AG+
1
2
PN•BM=
1
2
PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数
的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣1
2（x ﹣6）（x+2）=﹣12
x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，
设直线AB 解析式为y=kx+b ，
将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：
660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩
， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，
设P （t ，﹣
12
t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12
t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN
=12PN•AG+12
PN•BM =12PN•（AG+BM ） =
12
PN•OB =12×（﹣12
t 2+3t ）×6 =﹣32
t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；
（3）如图2，
∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣1
2
x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y 轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当m=22﹣1时，点P的坐标为（0
，2）
和（0，22
3
）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【解析】
【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；
（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出
BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=1
2
BG•x N﹣
1
2
BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线
解析式求得x=
2
28
2
k k
-±-
，根据x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【详解】（1）由题意知
()1
21
1
b
c
⎧
-=
⎪⨯-
⎨
⎪=
⎩
，解得：
2
1
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；
（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4），
∵y=﹣x 2+2x+1=﹣（x ﹣1）2+2，
∴点B （1，2），
则BG=2，
∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =12BG•（x N ﹣1）-12BG•（x M -1）=1， ∴x N ﹣x M =1，
由2421
y kx k y x x =-+⎧⎨=--+⎩得：x 2+（k ﹣2）x ﹣k+3=0， 解得：x=()
()22243k k k -±---=228k k -±-， 则x N =228k k -+-、x M =228k k ---， 由x N ﹣x M =1得28k -=1，
∴k=±3，
∵k ＜0，
∴k=﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ，
∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），
设P （0，t ），
（a ）当△PCD ∽△FOP 时，
PC FO CD OP =， ∴112m t t
+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，
PC PO CD OF =， ∴121
m t t +-=，
∴t=1
3
（m+1）②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△=（1+m）2﹣8=0，
解得：1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1=t2，
方程②有一个实数根t=
3
，
∴
﹣1，
此时点P的坐标为（0）和（0）；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：1
9
（m+1）2﹣
1
3
（m+1）+2=0，
解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，
方程②有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当﹣1时，点P的坐标为（0）和（0，
3
）；
当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN的面积求得点N与点M的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．
8．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=1
3
x﹣
4
3
与x轴交于点A，经过点A的抛物线
y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=3
2
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且
PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当
PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=
32列出关于a 、c 的方程组求解即可；
（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．
【详解】
（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩
， 解得14
a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，
∴直线m 的解析式为y=
13
x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．
又∵PE=3PF ，
∴PC PB PF PE =． ∴∠FPC=∠EPB ．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP ⊥PE ．
（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．
∵CF=3BE=18﹣3a ，
∴OF=20﹣3a ．
∴F （0，20﹣3a ）．
∵PEQF 为矩形，
∴
22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，
∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q （﹣2，6）．
如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．
∵CF=3BE=3a ﹣18，
∴OF=3a ﹣20．
∴F （0，20﹣3a ）．
∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，
∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q （2，﹣6）．
综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ．
（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D 的坐标，OE 等于多少；
（2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a 的取值范围；
（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设P （m ，n ），直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．
【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE 的长与a 值无关．理由见解析；（3）﹣3≤a≤﹣1；（4）n=﹣m ﹣1（m ＜1）．
【解析】
【分析】
(1)求出直线CD 的解析式即可解决问题；
(2)利用参数a ，求出直线CD 的解析式求出点E 坐标即可判断；
(3)求出落在特殊情形下的a 的值即可判断；
(4)如图，作PM ⊥对称轴于M ，PN ⊥AB 于N ．两条全等三角形的性质即可解决问题.
【详解】
解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3，
∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
(2)结论：OE的长与a值无关．
理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，
∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，
∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，
当y=0时，x=3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
∴OE的长与a值无关．
(3)当β=45°时，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣1，
当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=3OE=33，
∴﹣3a=33，
∴a=﹣3，
∴45°≤β≤60°，a的取值范围为﹣3≤a≤﹣1．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．
∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，
∴△DPM≌△EPN，
∴PM=PN，PM=EN，
∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，
∴EN=4+n=3﹣m，
∴n=﹣m﹣1，
当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，
∴m ＜1．
∴n=﹣m ﹣1(m ＜1)．
故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE 的长与a 值无关；(3)﹣3≤a≤﹣1；(4)n=﹣m ﹣1（m ＜1）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。

10．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;
(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()
2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;
②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254
. 【解析】
【分析】
（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，
注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125
MH CM == 得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值
【详解】
(1)5÷2.5=2/
cm s；（7.5-2.5）×2=10cm
(2)①解：在C点相遇得到方程
5
7.5
v
=
在B点相遇得到方程
15
2.5
v
=
∴
5
=7.5
15
=2.5
v
v
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
解得
2
3
=5
v
v
⎧
=
⎪
⎨
⎪⎩
∵在边BC上相遇，且不包含C点
∴
2
/6/
3
cm s v cm s
≤
＜
②如下图12()
PAD CDM ABM N
ABCD
S S S S S S
∆∆∆
+=---
（N）
矩形
()()
5152525
7510
22
x x
⨯-⨯-
=---
=15
过M点做MH⊥AC，则
1
25
MH CM
==
∴
1
1
215
2
S MH AP x
=⋅=-+
∴
2
2
S x
=
()
12
2152
S S x x
⋅=-+⋅
=2
430
x x
-+
=
2
15225
4
44
x
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
因为
15
2.57.5
4
＜＜，所以当
15
4
x=时，
12
S S⋅取最大值225
4
.
【点睛】
本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S1和S2。