日照市-年高三第一次调研考试

日照市-年高三第一次调研考试
数学(理工农医类)
本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务心将自己的姓名、准考证号、考试科目 用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

参考公式；
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P (A+B )=P (A )+P (B ) S =4πR 2 如果事件A 、B 相互，那么 其中R 表示球的半径
P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， V 球=
3
4
πR 3 那么n 次重复试验中恰 好发生k 次概率
其中R 表示球的半径
P n (k )=C ()
k
n k n P Pk --1 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合U ={(x,y )|x ∈R }是全集，集合P ={(x,y )||x | ≤2，|y |≤1},Q ={(x ，y )|x 2+y 2≤5},则下列集合为空集的是 A.P ∩Q B.P ∩(C u Q ) C.(C u P )∩Q D.(C u P )∩(C u Q )
2.复数
()
2
113i i
+-+的虚部为
A.-2
1 B.2
1
C.
2
3
D.-
2
3 3.已知曲线C 的方程是y 2=x |x |+1，则曲线C 的大致形是
4.若θ∈(0，2π)，sin θ-cos θ=2
2，则cos2θ等于 A.2
3 B.-
2
3 C.±
2
3
D.±
2
1
5.已知二项式(x -
x
1)n
的展开式中含x 3的项是第4项，则n 的值为 A.7 B.8 C.9 D.10
6.已知三个力f 1=(-2，-1)，f 2=(-3，2)，f 3=(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需加上一个力f 4，则f 4等于. A.(-1，-2) B.(1，-2) C.(-2，2) D.(1，2)
7.停车场每排恰有10个停车位，当有7辆车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的概率为 A.20
1
B.
15
1 C.
90
1
D.
5
2 8.已知直线m 、n 、l ，平面α、β、γ，则m ⊥β的一个充分不必要条件是 A.α⊥β，α∩β=l ，m ⊥l B.α⊥γ，β⊥γ,αγ=m C.α⊥γ,β∩γ，m ⊥α D.n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α 9.已知等比数列{a n }的公比q >0,前n 项和为Sn ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是 A.S 4a 5=S 5a 4 B.S 4a 5>S 5a 4 C.S 4a 5<S 5a 4 D 不确定 10.在半径为10cm 的球面上有A 、B 、C 三点，且AB =83cm ，∠ACB =60°，则球心O 到平面ABC 的距离为 A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
11.直线y=kx +1与圆x 2+y 2+kx +my -4=0相交于P 、Q 两点，且点P 、Q 关于直线x+y =0对称,
则不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≥+-0001y ,my kx ,y kx 表示的平面区域的面积是
A.4
1 B.
2
1 C.3
1
D.8
1
12.已知函数f (x )=()()()⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤-⎪⎭⎫
⎝⎛01031x x f ,
x k x 若f (x )=x 有且仅有两个实根，则实数k 的取范围是
A.(1，3)
B.(1，+∞)
C.(-∞，3)
D.(-∞，+∞)
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.一容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：
(10，20]，2；(20，30]，4；(40，50]，5；(50，60]，4；(60，70]，2. 则样本在(-∞，50]上的频率为___________________________________. 14.若x >1时，不等式x +
k x ≥-1
1
恒成立，则实数k 的取值范围是_________________. 15.在直角坐标平面上运动的抛物线(开口方向可任意)恒过定点A(-1，0)、B (1，0)，且原点到其准线的距离等于2，则抛物线焦点的轨迹方程是________________________. 16.给出下列命题：
①函数f (x )在x =x 0处不连续,则f (x )在x =x 0处无极限； ②函数f (x )=
⎪⎭
⎫
⎝⎛-≠+-21121x x x 对称中心是(-2121-,)；
③已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N*)的前n 项和，若S 7>S 5，则S 9>S 3；
④函数f (x )=x |x |+px +q (x ∈R )为奇函数的充要条件是q =0； ⑤已知a ，b ，m 均是正数，且a<b ，则
.b
a
m b m a >++ 其中真命题的序号是_______(将所有真命题的序号都填上).
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0，|φ|<2
π
)的图象(部分)如图所示. (Ⅰ)试确定f (x )的解析式； （Ⅱ）若(
)312a f π=-，求2cos()3
a π
-的值.
18.本小题满分12分 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望； (Ⅱ)记“f (x )=2ξ·x +4在[-3，-1]上存在x 0,使f (x 0)=0”为事件A ，求事件A 的概率.
19.(本小题满分12分)
从原点出发的某质点M ，按向量a = (0，1) 移动的概率为
3
2
，按向量b = (0，2) 移动的概率为3
1，设M 可到达点(0,n )的概率为P n . (Ⅰ)求P 1和P 2的值；
(Ⅱ)设b n =P n+1-P n ，求证数列{b n }是等比数列；
(Ⅲ)求数列{P n }的通项公式及∞
→n lim P n .
20.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且P A=AD =2，E 、F 分别为棱AD 、PC 的中点. (Ⅰ)求异面直线EF 和PB 所成角的大小； (Ⅱ)求证：平面PCE ⊥平面PBC ； (Ⅲ)求二面角E-PC-D 的大小.
21.(本小题满分12分)
已知双曲线C ：()00122
22>>=-b ,a b
y a x 的离心率为3，右焦点为F ，过点M (1，0)且
斜率为1的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，并且.FB FA 4=•
(Ⅰ)求双曲线C 的方程；
(Ⅱ)过右焦点F 作直线l ，交双曲线C 的右支于P 、Q 两点，问在原点和右顶点之间是否存在点N ，使得无论直线l 的倾斜角多大，都有∠PNF=∠QNF ？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，说明理由.
22.(本小题满分14分)
已知函数f (x )=().R m x
x m ∈-2
(Ⅰ)设g (x )=f (x )+ln x ,当m ≥-2时,求g (x )在[22
1,]上的最大值；
(Ⅱ)若y =log 3
1[8-f (x )]在[1，+∞]上是单调减函数，求实数m 的取值范围.
日照市年高三第二次调研考试 数学 (理工农医类)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题5分，共60分) BAABC DBDCC
AC
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.107； 14.(-∞，3]； 15.()013
422≠=+y y x ； 16.③④⑤. 三、解答题(共74分) 17.解：(Ⅰ)由图象可知A =2，,T 2
1
31654=-=
∴T =2，ω=
.T
ππ
=2
…………………3分 将点P (23
1,)代入y=2sin(πx+φ),得sin(ϕπ
+3
)=1, 又|φ|≤
2π，所以φ=.6
π
故所求解析式为f (x )=2sin(πx +
6
π
)(x ∈R ).
…………………6分 (Ⅱ)∵f (132-=π
a
).
∴2sin(
6
2π
+a )=13-.
即sin(
62π+a )=.2
13-
…………………8分 ∴cos(a -32π)=cos[π-2⎪⎭⎫ ⎝⎛+26a π] =-cos[2(6
2π
+a )] =2sin 2(
6
2π+a )-1
=1-3.
…………………12分
18.解：(Ⅰ)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A 1、A 2、A 3， 已知A 1、A 2、A 3相互，且P (A 1)=0.4，P (A 2)=0.5，P (A 3)=0.6. 游客游览的景点数可能取值为0、1、2、3，相应的游客没有游览的景点数 可能取值为3、2、1、0，所以ξ的可能取值为1、3. 则P (ξ=3)=P (A 1·A 2·A 3)+P (321A A A ••)=P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)+P (1A )·P (2A )· P (3A )=2×0.4×0.5×0.6=0.24.
P (ξ=1)=1-0.24=0.76.
所以分布列为：
∴E ξ=1×0.76+3×
0.24=1.48 …………………8分
(Ⅱ)∵f (x )=2ξx +4在[-3，-1]上存在x 0，使得f (x 0)=0. ∴f (-3)·f (-1)≤0,
即(-6ξ+4)(-2ξ+4)≤0，
解得：
.23
2
≤≤ξ ∴P (A )=P (.23
2
≤≤ξ)=P (ξ=1)=0.76. …………………12分
19.解(Ⅰ)P 1=.P .973132322
2=+⎪⎭
⎫
⎝⎛=
…………………3分
(Ⅱ)证明：M 到达点(0，n +2)有两种情况： ①从点(0，n +1)按向量a =(0，1)移动； ②从点(0，n )按向量b =(0,2)移动. 故P n+2=
,P P n n 3
1321++ ∴P n +2-P n+1=-
().P P n n -+13
1
ξ 1 3 P 0.76 0.24
即b n +1=-.b n 3
1
所以{b n }是以P2-P1=91为首项，以-3
1
为公比的等比数列. ………7分
(Ⅲ)∵b n =P n+1-P n =
91×(-31)n-1=(-31)n+1,∴P n -P n-1=(-3
1)n , ∴P n =(P n -P n -1)+(P n -1-P n -2)+…+(P 2-P 1)+P 1 =(-3
1)n +(-3
1)n-1+…+(-3
1
)2+3
2 =
.n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯+314143 故{P n }的通项公式为P n =.n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯+314143
………………10分
∞
→n lim P n =∞
→n lim [n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯+31414
3]=.4
3
………………12分
20．解：以直线AB 为x 轴，直线AD 为z 轴建立间直角坐标系，如图，则 A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2). (Ⅰ)∵E 为AD 中点，∴E(0，1，0).
又F 为PC 中点，∴F (1，1，1).
∴().,,EF 101= 又().,,PB 202-= ∴cos<PB ,EF >=90°,
∴异面直线EF 和PB 所成角的大小为90°.
……………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF ⊥PB ， 又∵()(),,,EF ,,,BC 101020== ∴,BC EF 0=•
∴EF ⊥BC .
∴EF ⊥平面PBC ， 又EF ⊂平面PCE ， ∴平面PCE ⊥平面PBC .
……………………8分 (Ⅲ)过点D 作DH ⊥PC 于H .
在Rt △PDC 中，PD =2,2DC =2，PC =2,3 则CH =
PH ,3
3
2：HC =2：1，
又P(0，0，2)，C(2，2，0). ∵H (3
23434,,).
∴,,,DH ⎪⎭
⎫
⎝⎛-323234又()101,,EF =，
∴cos<EF ,DH >=
,2
323
6
22=
⨯ ∴<EF ,DH >=30°.
………………12分
∴二面角E-PC-D 的大小为30°.
21.解：(Ⅰ)∵e =,a b ,a b ,23132
=∴=⎪⎭
⎫
⎝⎛+∴
∴双曲线方程可设为.a
y a x 1222
22=-
过M (1，0)，斜率为1的直线方程为y=x -1.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎪⎩⎪⎨
⎧=--=2
22221a
y x ,
x y 得x 2+2x -2a 2-1=0, ∴x 1+x 2 = -2, x 1·x 2=-2a 2-1.
………………3分 ∵()()
211323y ,a x y ,a x FB FA -•-=• =(x 1-a 3)(x 2-a 3)+y 1·y 2 =(x 1-a 3)(x 2-a 3)+(x 1-1)(x 2-1) =2x 1x 2-(a 3+1)(x 1+x 2)+3a 2+1
=-a 2+2a 3+1=4，
∴(a -3)2=0， ∴a =3. ∴双曲线的方程为.y x 16
32
2=-
…………………6分
(Ⅱ)(1)若l 与x 轴垂直，由双线的对称性知，原点O (0，0)与右顶点(3，0)间任何点都适合题意.
…………………7分 (2)若l 与x 轴不垂直，过点F (3，0)的直线l 的方程设为y=k (x -3)
设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，N (t ，0) (0<t <3).
由()⎪⎩⎪⎨
⎧=--=6
2322y x x k y 得(2-k 2)x 2+6k 2x -9k 2-6=0, ∵直线l 与双曲线C 右支于P 、Q 两点，
∴()()
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧>-+-=>--=+>+-+=∆≠-.k k x x ,k k x x ,k k k ,k 026602606924360222
432
2432242
解得k >2或k <-2.
………………9分
∵∠PNF =∠FNQ , ∴K NP =-K NQ ,
∴,t
x y t x y --=-4433 ∴即
()()
,t
x x k t x x k ---=--44333
3s ∵|k |>2，
∴2x 3x 4-(t +3)(x 3+x 4)+6t =0，
将x 3+x 4=-2
2432226
626k k x x ,k k -+-
=-代入上式， 整理得t =1.
综上所述：存在点N (1，0)使结论成立.
…………………12分
22.解：(Ⅰ)g (x )=()2
22
2
41221x
m x x m x x x g ,x ln x x m -
+⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=+--='+-. ………………2分 (1)当m -
041≥即m ≥41时，g ′(x )≤0,g (x )在[2
1
,2]上单调递减， ∴g (x )max =g (
21)=2m -2
1
-ln 2.
………………4分
(2)当-2≤m <
41时，由g ′(x )=0得x 1=.m x ,m 241124112-+=-- 显然-1≤x 1<21,21<x 2≤2，∴x 1<.,x ,,,x ,⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴∉≤<2212212212122
又g ′(x )=-()().x x x x x 2
21--
当
2
1
≤x ≤x 2时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增； 当x 2<x ≤2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， ∴g (x )max =g (x 2)=2
41124114112m
ln
m m
m -++-+-
-+ =-.m
ln
m 2
41141-++- 综上所述：①当m ≥41时，g (x )max =2m -22
1
ln -； ②当-2≤m <
41时，g (x )max =-.m
ln m 2
41141-++- (8)
分
(Ⅱ)因为函数y =log 3
1[8-f (x )]在[1，+∞]上是单调减函数，则其导数在[1，+∞）上恒小于等
于零.
所以y ′=
()
13
log [8()]8e
f x f x '•--
='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--•--
x x m x
x m e
log 22318
=
()
0823
12
≤-++e log m x x x m
x 恒成立.
………………11分 因为log 3
1e <0，所以
()
0822≥-++m
x x m
x 在[1，+∞）恒成立.
即
0822≥-++m
x m x 在[1，+∞）恒成立.
因为⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+08022m x x ,
m x 在[1，+∞）上不恒成立.
所以⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥+08022m x x ,m x 在[1，+∞）上恒成立.
得⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥x
x m x m 82
2在[1，+∞）上恒成立.
所以-1≤m<9.
……………14分。