荷塘区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

荷塘区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 定义集合运算：A*B={z|z=xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为（ ） A ．0
B ．2
C ．3
D ．6
2． 若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1＜x ＜1} B ．{x|﹣2＜x ＜1} C ．{x|﹣2＜x ＜2} D ．{x|0＜x ＜1}
3． 已知函数f （x ）
=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞） 4．
如图，已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，
直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y=
±x B ．y=±3x C ．y=
±x D ．y=
±x
5． 已知函数(5)2()e
22()2x
f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
，则(2016)f -=（ ） A ．2
e B ．e C ．1 D ．
1
e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
6． 设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与
sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ． 重合
C ． 垂直
D ．相交但不垂直 7． 设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ）
A ．y 2=4x 或y 2=8x
B ．y 2=2x 或y 2=8x
C ．y 2=4x 或y 2=16x
D ．y 2=2x 或y 2=16x
8． 函数y=+
的定义域是（ ）
A ．{x|x ≥﹣1}
B ．{x|x ＞﹣1且x ≠3}
C ．{x|x ≠﹣1且x ≠3}
D ．{x|x ≥﹣1且x ≠3}
9． 与函数 y=x 有相同的图象的函数是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．“a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．曲线y=x 3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
12．已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a
的 取值范围是（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)-
二、填空题
13．复数z=
（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
14．定义)}(),(min{x g x f 为)(x f 与)(x g 中值的较小者，则函数},2min{)(2x x x f -=的取值范围是 15．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ． 16．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
17．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ． 18．下列命题：
①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点； ③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5； ④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强．
其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）．
三、解答题
19．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4，A（，0），A1（﹣，0），点P为平面内一动点，以PA为直径的圆与圆C相切．
（Ⅰ）求证：|PA1|+|PA|为定值，并求出点P的轨迹方程C1；
（Ⅱ）若直线PA与曲线C1的另一交点为Q，求△POQ面积的最大值．
20．已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．
21．设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）
（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．
22．已知函数f （x ）=（ax 2+x ﹣1）e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．
（Ⅰ）若a=0，求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）若
，求f （x ）的单调区间；
（Ⅲ）若a=﹣1，函数f （x ）的图象与函数的图象仅有1个公共点，求实数m 的取值范
围．
23．（本小题满分12分）已知向量(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a ，(cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b ，
设函数()()2n f x x R =??a b
的图象关于点(,1)12
p
对称，且(1,2)w Î． （I ）若1m =，求函数)(x f 的最小值；
（II ）若()()4
f x f p
£对一切实数恒成立，求)(x f y 的单调递增区间．
【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
24．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，
（1）男、女同学各2名，有多少种不同选法？
（2）男、女同学分别至少有1名，且男同学甲与女同学乙不能同时选出，有多少种不同选法？
荷塘区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，
则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，
又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，
其所有元素之和为6；
故选D．
【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．
2．【答案】D
【解析】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．
3．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=﹣log2x，
∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，
满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
4．【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，
|PF1|=m，|QF1|=n，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①
由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，
|MF2|=|NF1|=n，
即有m﹣1=n，②
由①②解得a=1，
由|F1F2|=4，则c=2，
b==，
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
即有渐近线方程为y=x ．
故选D ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．
5． 【答案】B
【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ． 6． 【答案】C 【解析】
试题分析：由直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=，
则sin (sin )2sin sin 2sin sin 0A b a B R A B R A B ⋅+⋅-=-=，所以两直线是垂直的，故选C. 1 考点：两条直线的位置关系. 7． 【答案】 C
【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2
=2px （p ＞0），
∴焦点F 坐标为（，0），可得|OF|=， ∵以MF 为直径的圆过点（0，2）， ∴设A （0，2），可得AF ⊥AM ，
Rt △AOF 中，|AF|=
=
，
∴sin ∠OAF==，
∵根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于A 点，
∴∠OAF=∠AMF ，可得Rt △AMF 中，sin ∠AMF==，
∵|MF|=5，|AF|=
∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故选：C．
方法二：
∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案C．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
8．【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x≥﹣1或x≠3，
故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
9．【答案】D
【解析】解：A：y=的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误
B：与y=x的对应法则不一样，故B错误
C：=x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误
D：，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题
10．【答案】A
【解析】解：由“a＞b，c＞0”能推出“ac＞bc”，是充分条件，
由“ac＞bc”推不出“a＞b，c＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac＞bc，但是a＜b，c＜0，故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题
11．【答案】B
【解析】解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．
故选B．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．
12．【答案】A
【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：复数z==﹣i （1+i ）=1﹣i ，
复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：
．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
14．【答案】(],1-∞ 【解析】
试题分析：函数(){}
2
min 2,f x x x =-的图象如下图：
观察上图可知：()f x 的取值范围是(],1-∞。

考点：函数图象的应用。

15．【答案】 m ≥2 ．
【解析】解：集合A={x|x+m ≥0}={x|x ≥﹣m}，全集U=R ，所以C U A={x|x ＜﹣m}， 又B={x|﹣2＜x ＜4}，且（∁U A ）∩B=∅，所以有﹣m ≤﹣2，所以m ≥2． 故答案为m ≥2．
16．【答案】BC 【解析】
【分析】验证发现，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2
+（y ﹣2）2
=1的切线的集合， A ．M 中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出， B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，由直线系的几何意义可判断，
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出． 【解答】解：因为点（0，2）到直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d=
=1，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2
+（y ﹣2）2
=1的切线的集
合，
A ．由于直线系表示圆x 2+（y ﹣2）2
=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A 不正确；
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察知点M （0，2）即符合条件，故B 正确；
C ．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 正确；
D ．如下图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB ′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，
故本命题不正确． 故答案为：BC ．
17．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
【解析】
试题分析：依题意得11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦
.
考点：抽象函数定义域． 18．【答案】 ②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数，不正确，取x=
，
，但是
，
，因此不是单调递增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，∴
=5（a 6+a 5）＞0，
=11a 6＜0，
∴a 5+a 6＞0，a 6＜0，∴a 5＞0．因此S n 最大值为S 5，正确；
④在△ABC 中，cos2A ﹣cos2B=﹣2sin （A+B ）sin （A ﹣B ）=2sin （A+B ）sin （B ﹣A ）＜0⇔A ＞B ，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：设点P（x，y），记线段PA的中点为M，则
两圆的圆心距d=|OM|=|PA1|=R﹣|PA|，
所以，|PA
|+|PA|=4＞2，
1
故点P的轨迹是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆，
所以，点P的轨迹方程C1为：=1．…
（Ⅱ）解：设P（x
，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为：x=my+，…
1
代入=1消去x，整理得：（m2
+4）y2+2my﹣1=0，
则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，…
△POQ面积S=|OA||y
﹣y2|=2…
1
令t=（0，则S=2≤1（当且仅当t=时取等号）
所以，△POQ面积的最大值1．…
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为，所以，，所以，a=1．
所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．
所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，
所以，即可．则．由解得．
所以，a的取值范围是．
（Ⅲ）依题得，则．
由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，
解得．所以，b的取值范围是．
【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．
21．【答案】
【解析】解：（1）令g（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a，△=9（1+a）2﹣48a=9a2﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3）．
①当时，△≥0，
方程g（x）=0的两个根分别为，
所以g（x）＞0的解集为
因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=
②当时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）
综上所述，当时，D=；
当时，D=（0，+∞）．
（2）f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），
令f′（x）=0，得x=a或x=1，
①当时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）
因为g（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=a（3﹣a）＞0，g（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0
所以0＜a＜x1＜1≤x2，
f′x f x x
②当时，由（1）知D=（0，+∞）
f′x f x x
综上所述，当时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；
当时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=（x﹣1）e x，f′（x）=e x+（x﹣1）e x=xe x，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f（1）=e．
又∵f（1）=0，∴所求切线方程为y=e（x﹣1），
即．ex﹣y﹣4=0
（Ⅱ）f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=[ax2+（2a+1）x]e x=[x（ax+2a+1）]e x，
①若a=﹣，f′（x）=﹣x2e x≤0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞），
②若a＜﹣，当x＜﹣或x＞0时，f′（x）＜0；
当﹣＜x＜0时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣]，[0，+∞）；单调递增区间为[﹣，0]．（Ⅲ）当a=﹣1时，由（Ⅱ）③知，f（x）=（﹣x2+x﹣1）e x在（﹣∞，﹣1）上单调递减，
在[﹣1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
∴f（x）在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=﹣，在x=0处取得极大值f（0）=﹣1，
由，得g′（x）=2x2+2x．
当x＜﹣1或x＞0时，g′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在[﹣1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
故g（x）在x=﹣1处取得极大值，
在x=0处取得极小值g（0）=m，
∵数f（x）与函数g（x）的图象仅有1个公共点，
∴g（﹣1）＜f（﹣1）或g（0）＞f（0），即.．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
23．【答案】
24．【答案】
【解析】解：（1）男、女同学各2名的选法有C42×C52=6×10=60种；
（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，
故选人种数为C41×C53+C42×C52+C43×C51=40+60+20=120．
男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，故总的选法有C32+C41×C31+C42=21，
故有120﹣21=99．。