人教版初中数学九年级上册期末试题(吉林省长春市

2016-2017学年吉林省长春市汽开区
九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共21分）
1．（3分）方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
2．（3分）班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为P1，抽到女生的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（）
A．P1＞P2B．P1＜P2C．P1＝P2D．P1≤P2
3．（3分）把抛物线y＝﹣3x2向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣3（x+3）2B．y＝﹣3（x﹣3）2C．y＝﹣3x2+3．
D．y＝﹣3x2﹣3
4．（3分）已知正六边形的边长为6cm，则这个正六边形的外接圆半径是（）A．3cm B．3cm C．cm D．6cm
5．（3分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表
其中m的值（）
A．21B．12C．5D．﹣4
6．（3分）如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB＝64°，则∠ACD的大小为（）
A．26°B．32°C．36°D．64°
7．（3分）如图，点A在∠MBN的边BM上，过点A作AC⊥BN于点C，过点C
作CD⊥BM于点D，则sin B等于（）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，圆形铁片与直角三角尺，直尺紧靠在一起平放在桌面上，已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的11cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的15cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（）
A．圆形铁片的半径是4cm
B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm
D．铁片阴影部分扇形的面积是4πcm2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个解为5，则m的值为．10．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是．
11．（3分）如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，＝，若△DEF的面积为3，则△ABC的面积为．
12．（3分）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于．
13．（3分）如图，P A是⊙O的一条切线，点A为切点，OP与⊙O交于点B，若P A＝8．OA＝6，则PB的长为．
14．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，关于x的二次函数x2+3bx+3c＝m有实数根，则m的取值范围是．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解方程：x2+4x﹣7＝0．
16．（6分）如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．
17．（6分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为7.5cm，AC的长为9cm，求弦BC的长．
18．（7分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（2）直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值（或最小值）．19．（7分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝814米，BC＝213米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝43°．求山峰的高度CF．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93】
20．（7分）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A和点C，点D为⊙O上一点，连接AD，OD，BD，∠BAD＝∠ABD＝30°
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AO＝8，求的长．
21．（8分）某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，包邮单价定为50元时，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，已知每成交一个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x （元）（x＞50），每周获得的利润为y（元）．
（1）求该店主包邮单价定为53元时每周获得的利润；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）该店主包邮单价定为多少元时，每周获得的利润大？最大值是多少？22．（9分）探究：如图①，在矩形ABCD中，以点A为直角顶点作Rt△AEF，连结BE、DF，直线DF交直线BE于点G，DG与AB交于点H，且．（1）求证：△ABE∽△ADF．
（2）求证：DG⊥BE；
拓展：如图②，在▱ABCD中，以点A为顶点作∠EAF＝∠BAD，连结BE、DF，直线DF交直线BE于点G，且，若∠BCD＝130°，则∠EGD的大小
为度．
23．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q 从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）用含t的代数式表示BP、BQ的长；
（2）当△BPQ与△ABC相似时，求t的值；
（3）过点P作PD⊥BC于点D，连结AQ、CP，如图②所示，当AQ⊥CP时，
直接写出线段PD的长．
24．（12分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线“，例加，点M（1，3）的特征线有：x＝1、y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，点
A、C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝（x﹣m）2+n经过
B、C两点，顶点
D在正方形OABC内部．
（1）点B的坐标为（用含m的代数式表示）；
（2）若OA＝4，直接写出点D所有的特征线．
（3）若点D有一条特征线是y＝x+，求此抛物线所对应的函数表达式．
（4）点P是边AB上除点A外的任意一点，连结OP，将△OAP沿数OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的点D的特征线上时，在满足（3）中条件下，将该抛物线向下平移，使其顶点落在OP上，直接写出该抛物线平移的距离．
2016-2017学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共21分）
1．（3分）方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2．（3分）班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为P1，抽到女生的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（）
A．P1＞P2B．P1＜P2C．P1＝P2D．P1≤P2
【分析】用男生和女生人数除以学生总数即为所求的概率，然后比较大小即可；【解答】解：根据班上25名女生，23名男生，全班共有48位学生，抽到纸条是男生名字的概率P1＝．
其中有29位女生，那么抽到有女生名字纸条的概率是：P2＝．
∴P1＜P2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且
这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．
3．（3分）把抛物线y＝﹣3x2向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣3（x+3）2B．y＝﹣3（x﹣3）2C．y＝﹣3x2+3．
D．y＝﹣3x2﹣3
【分析】有题意得：把抛物线y＝﹣3x2向上平移3个单位，y＝﹣3x2+3．
【解答】解：有题意得：把抛物线y＝﹣3x2向上平移3个单位，y＝﹣3x2+3，
故选：C．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．（3分）已知正六边形的边长为6cm，则这个正六边形的外接圆半径是（）A．3cm B．3cm C．cm D．6cm
【分析】连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．
【解答】解：边长为6的正六边形可以分成六个边长为6的正三角形，而正三角形的边长即为正六边形的外接圆半径，其长度为6cm．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答此题要熟悉正多边形的边长、半径、边心距等概念，以及正六边形和正三角形的关系等概念．
5．（3分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表
其中m的值（）
A．21B．12C．5D．﹣4
【分析】从表格看：函数的对称轴为：x＝2，x＝5与x＝﹣1是关于对称轴的对称点，即可求解．
【解答】解：从表格看：函数的对称轴为：x＝2，
x＝5与x＝﹣1是关于对称轴的对称点，
其y值相同，故m＝5，
故选：C．
【点评】本题考查的是用待定系数法求函数表达式，主要通过观察表格确定函数对称轴，通过函数对称性求解．
6．（3分）如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB＝64°，则∠ACD的大小为（）
A．26°B．32°C．36°D．64°
【分析】利用圆周角定理求出∠A，再利用三角形内角和定理即可解决问题；【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠A+∠C＝90°，
∵∠A＝∠CDB＝64°，
∴∠C＝90°﹣64°＝26°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（3分）如图，点A在∠MBN的边BM上，过点A作AC⊥BN于点C，过点C 作CD⊥BM于点D，则sin B等于（）
A．B．C．D．
【分析】证明∠B＝∠ACD即可解决问题；
【解答】解：∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠BCD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∴sin B＝sin∠ACD＝，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，圆形铁片与直角三角尺，直尺紧靠在一起平放在桌面上，已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的11cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的15cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（）
A．圆形铁片的半径是4cm
B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm
D．铁片阴影部分扇形的面积是4πcm2
【分析】由BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C＝90°，OA＝OB，推出四边形AOBC是正方形，得到OA＝AC＝4，故A，B正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可判断C、D的正误．
【解答】解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C＝90°，OA＝OB，
∴四边形AOBC是正方形，
∴OA＝AC＝15﹣11＝4，故A，B说法正确；
∵四边形AOBC是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴＝＝2πcm，故C说法错误；
S扇形OAB＝S圆＝4πcm2，故D说法正确．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的弧长、面积的计算，熟记计算公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个解为5，则m的值为25．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝5代入x2﹣m＝0得到m的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解答】解：把x＝5代入x2﹣m＝0得25﹣m＝0，解得m＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【解答】解：因为y＝（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．
11．（3分）如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，＝，若△DEF的面积为3，则△ABC的面积为12．
【分析】由△DEF与△ABC位似，可得到△DEF∽△ABC，又由相似三角形的
面积比等于相似比的平方，可得S
△DEF ：S
△ABC
＝（）2，由题意可知D，E，
F分别是OA，OB，OC的中点，可得DE是△OAB的中位线，由中位线的性质即可求得结果．
【解答】解：∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，
∴△DEF∽△ABC，
∴S
△DEF ：S
△ABC
＝（）2，
∵＝，
∴＝＝
∴D是OA的中点，
∴D，E，F分别是OA，OB，OC的中点∴DE：AB＝1：2，
∴S
△DEF ：S
△ABC
＝1：4．
∵△DEF的面积为3，
∴△ABC的面积为12．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
12．（3分）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于π．
【分析】图中阴影部分的面积＝半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积，根据扇形面积的计算公式计算即可求解．
【解答】解：图中阴影部分的面积＝π×22﹣
＝2π﹣π
＝π．
答：图中阴影部分的面积等于π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
13．（3分）如图，P A是⊙O的一条切线，点A为切点，OP与⊙O交于点B，若P A＝8．OA＝6，则PB的长为4．
【分析】在Rt△POA中，求出OP即可解决问题；
【解答】解：∵P A是⊙O的切线，
∴OA⊥P A，
∴∠OAP＝90°，
∴OP＝＝10，
∴PB＝OP﹣OB＝10﹣6＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，关于x的二次函数x2+3bx+3c＝m有实数根，则m的取值范围是m≤﹣9．
【分析】二次函数y＝x2+bx+c＝（x﹣6）2﹣3＝x2﹣4x+9，求出b、c，然后用△≥0，即可求解．
【解答】解：二次函数y＝x2+bx+c＝（x﹣6）2﹣3＝x2﹣4x+9，
则二次函数x2+3bx+3c＝m，可表示为：x2﹣12x+（27﹣m）＝0，
△＝122﹣4（27﹣m）≥0，解得：m≤﹣9．
故：答案是m≤﹣9．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到函数表达式的求解、根判别式的运用，题目难度不大．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解方程：x2+4x﹣7＝0．
【分析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：x2+4x﹣7＝0，
移项得，x2+4x＝7，
配方得，x2+4x+4＝7+4，
（x+2）2＝11，
解得x+2＝±，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
16．（6分）如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽取的牌上的数字
都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为2，所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
17．（6分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为7.5cm，AC的长为9cm，求弦BC的长．
【分析】先根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠C＝90°，然后根据勾股定理计算BC的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
在Rt△ACB中，∵AB＝15，AC＝9，
∴BC＝＝12，
即弦BC的长为12cm．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．
18．（7分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（2）直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值（或最小值）．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ax2+bx+3中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）A（3，0）、B（4，3）代入y＝ax2+bx+3得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
因为a＝1＞0，
所以开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），函数的最小值为﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
19．（7分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝814米，BC＝213米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝43°．求山峰的高度CF．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93】
【分析】如图所示，过点B作BD⊥AF，BD＝AB＝407＝EF，CE＝BC•sin∠CBE＝213×0.68＝144.84，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AF，
在△ABD中，BD＝AB＝407＝EF，
在△BCE中，CE＝BC•sin∠CBE＝213×0.68＝144.84，
则：CF＝CE+EF＝551.84≈551.8．
【点评】本题重点考查了三角函数定义的应用．
20．（7分）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A和点C，点D为⊙O上一点，连接AD，OD，BD，∠BAD＝∠ABD＝30°
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AO＝8，求的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADO＝30°，求出∠DOB＝60°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据邻补角的定义得到∠AOD＝120°，根据去弧长的公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°，
∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，
∵OD是半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）∵∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴的长＝＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的判定，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键．
21．（8分）某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，包邮单价定为50元时，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，已知每成交一个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x （元）（x＞50），每周获得的利润为y（元）．
（1）求该店主包邮单价定为53元时每周获得的利润；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）该店主包邮单价定为多少元时，每周获得的利润大？最大值是多少？
【分析】（1）根据利润＝每件的利润×销售量即可解决问题．
（2）设该店主每周获得的利润恰好为2240元时的包邮单价为x元．由题意构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）（53﹣35﹣5）×[200﹣（53﹣50）×10]＝13×170＝2210（元）．答：每周获得的利润为2210元；
（2）由题意，y＝（x﹣35﹣5）[200﹣10（x﹣50）]
即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（3）∵y＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴包邮单价定为50元时，每周获得的利润最大，最大值是4000元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
22．（9分）探究：如图①，在矩形ABCD中，以点A为直角顶点作Rt△AEF，连结BE、DF，直线DF交直线BE于点G，DG与AB交于点H，且．（1）求证：△ABE∽△ADF．
（2）求证：DG⊥BE；
拓展：如图②，在▱ABCD中，以点A为顶点作∠EAF＝∠BAD，连结BE、DF，直线DF交直线BE于点G，且，若∠BCD＝130°，则∠EGD的大小
为50度．
【分析】探究：（1）根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，根据余角的性质得到∠EAB＝∠DAF，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠ADF＝∠ABE，根据对顶角相等得到∠AHD ＝∠BHG，根据三角形的内角和即可得到结论；拓展：根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，求得∠ABC＝180°﹣∠C＝50°，∠ADF＝∠2，根据相似三角形的性质得到∠ADF＝∠3，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：探究：（1）在矩形ABCD中，
∵∠BAD＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠EAB+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝90°，
∴∠EAB＝∠DAF，
∵，
∴△ABE∽△ADF；
（2）∵△ABE∽△ADF，
∴∠ADF＝∠ABE，
设AB与DG的交点为H，
∵∠AHD＝∠BHG，
∴∠BGH＝180°﹣∠ABG﹣∠BHG＝180°﹣∠AHF﹣∠ADF＝∠BAD＝90°，∴DG⊥BE；
拓展：在▱ABCD中，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝50°，∠ADF＝∠2，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，
即∠EAB＝∠DAF，
∵，
∴△ABE∽△ADF，
∴∠ADF＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵∠ABC＝180°﹣∠GBC﹣∠3，∠EGD＝180°﹣∠GBD﹣∠2，
∴∠EGD＝∠ABC＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
23．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q 从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）用含t的代数式表示BP、BQ的长；
（2）当△BPQ与△ABC相似时，求t的值；
（3）过点P作PD⊥BC于点D，连结AQ、CP，如图②所示，当AQ⊥CP时，直接写出线段PD的长．
【分析】（1）直接用t表示出BP、BQ即可；
（2）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）根据相似三角形的性质得到，求得PD＝3t，根据勾股定理得到BD ＝＝4t，根据余角的性质得到∠CAQ＝∠PCD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）BP＝5t，BQ＝8﹣4t；
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，
∴AB＝＝20，
当△BPQ∽△BAC时，＝，即＝，
解得t＝2，
当△BPQ∽△BCA时，＝，即＝，
解得，t＝，
∴当t＝2或t＝时，△BPQ与△ABC相似；
（3）∵PD⊥BC，
∴PD∥AC，
∴△BPD∽△BAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝3t，
∴BD＝＝4t，
∵AQ⊥CP，
∴∠CAQ+∠ACP＝∠ACP+∠PCD＝90°，
∴∠CAQ＝∠PCD，
∵∠CDP＝∠ACQ＝90°，
∴△ACQ∽△CDP，
∴，
即，
∴t＝，
∴PD＝．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理和性质定理、勾股定理，也考查了分类讨论的思想和利用代数法解决动点问题．
24．（12分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线“，例加，点M（1，3）的特征线有：x＝1、y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，点
A、C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝（x﹣m）2+n经过
B、C两点，顶点
D在正方形OABC内部．
（1）点B的坐标为2m（用含m的代数式表示）；
（2）若OA＝4，直接写出点D所有的特征线．
（3）若点D有一条特征线是y＝x+，求此抛物线所对应的函数表达式．
（4）点P是边AB上除点A外的任意一点，连结OP，将△OAP沿数OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的点D的特征线上时，在满足（3）中条件下，将该抛物线向下平移，使其顶点落在OP上，直接写出该抛物线平移的距离．
【分析】（1）则OA＝2m，则B（2m，2m），故：答案是2m；
（2）OA＝2，即：m＝2，则C（0，4），把C点坐标代入抛物线方程y＝（x ﹣2）2+n，解得：n＝2即可求解；
（3）由题意得：D（m，m+），C（0，2m），则抛物线方程为：y＝（x﹣m）2+m+，把C点坐标代入抛物线方程，解得：m＝1即可求解；
（4）当点A′在平行于x轴的点D的特征线上时，点A折叠后落在A′的位置，在Rt△A′OM中，由勾股定理解得：MA′＝，在Rt△A′PN中，由勾股定理解得：t＝，则OP所在的直线方程为：y＝x，设抛物线向下平移s个单位时，其顶点落在直线OP上，则平移后抛物线顶点坐标为（1，﹣s），即可求解；同理可解当点A′在平行于y轴的点D的特征线上时的情况．
【解答】解：由题意得：二次函数的对称轴为：x＝m，D（m，n），
（1）则OA＝2m，则B（2m，2m），
故：答案是2m；
（2）OA＝2，即：m＝2，则C（0，4），
把C点坐标代入抛物线方程y＝（x﹣2）2+n，
解得：n＝2，∴D（2，2）
则点D所有的特征线为：x＝2，y＝2，y＝x，y＝﹣x+4；
（3）由题意得：D（m，m+），C（0，2m）
则抛物线方程为：y＝（x﹣m）2+m+，
把C点坐标代入抛物线方程，解得：m＝1，
则：D（1，），
则抛物线表达式为：y＝x2﹣x+2；
（4）①当点A′在平行于x轴的点D的特征线上时，
点A折叠后落在A′的位置，
在Rt△A′OM中，
OM＝，OA′＝OA＝2，
由勾股定理解得：MA′＝，
在Rt△A′PN中，
A′P＝t，NP＝﹣t，A′N＝2﹣，
由勾股定理解得：t＝，
则OP所在的直线方程为：y＝x，
设抛物线向下平移s个单位时，其顶点落在直线OP上，则平移后抛物线顶点坐标为（1，﹣s），
将该点坐标代入OP所在的方程，解得：s＝；
②当点A′在平行于y轴的点D的特征线上时，
∵ON＝1，OA′＝OA＝2，∴∠OA′N＝30°，
则∠A′OP＝∠AOP＝60°＝30°，
∴OP所在的直线方程为：y＝x，
设抛物线向下平移s′个单位时，其顶点落在直线OP上，
则平移后抛物线顶点坐标为（1，﹣s′），
将该点坐标代入OP所在的方程，解得：s′＝；
综上所述：抛物线平移的距离为：或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．。