高考数学刷题评估练：核心素养提升练 函数的奇偶性与周期性

核心素养提升练六函数的奇偶性与周期性
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分，共35分)
1.(2018·梅州模拟)在函数y=xcos x，y=e x+x2，y=lg，y=xsin x中，偶函数的个数是
( )
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】选B.y=xcos x是奇函数，y=lg和y=xsin x是偶函数，y=e x+x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2.
2.x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)=x-[x]在R上为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.周期函数
【解析】选D.函数f(x)=x-[x]在R上的图象如图:
所以f(x)在R上是周期为1的函数.
3.(2018·邯郸模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+m，则f(-2)= ( )
A.-3
B.-
C.
D.3
【解析】选A.由f(x)为R上的奇函数，知f(0)=0，即f(0)=20+m=0，解得m=-1，则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.
4.(2019·郑州模拟)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
【解析】选D.由奇函数的定义:f(-x)=-f(x)验证，①f(|-x|)=f(|x|)，故为偶函数;
②f[-(-x)]=f(x)=-f(-x)，为奇函数;
③-xf(-x)=-x·[-f(x)]=xf(x)，为偶函数;④f(-x)+(-x)=-[f(x)+x]，为奇函数;可知②④为奇函数.
5.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f(x)是 ( )
A.奇函数，且在(0，1)内是增函数
B.奇函数，且在(0，1)内是减函数
C.偶函数，且在(0，1)内是增函数
D.偶函数，且在(0，1)内是减函数
【解析】选A.易知f(x)的定义域为(-1，1)，且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x)，则y=f(x)为奇函数，又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0，1)上是增函数，所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0，1)上是增函数.
6.(2018·贵阳模拟)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则
f(1)+g(1)= ( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
【解析】选C.由f(x)-g(x)=x3+x2+1，将所有x替换成-x，得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，根据f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)，得f(x)+g(x)=-x3+x2+1，再令x=1，计算得，f(1)+ g(1)=1.
7.已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于y轴对称，而函数f(x-1)的图象关于原点对称，且f(2)=3，则f(5)+f(6)的值为( )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
【解析】选D.函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(-x)=f(x)，又因为函数f(x-1)的图象关于原点对称，所以f(-x-1)=- f(x-1) ，所以f(-x)=-f(x-2)=f(x)，故f(x)=-f(x+2)=f(x+4) ，故函数f(x) 的周期为4，因为f(-x-1)=-f(x-1)，当x=0时，f(-1)=-f(-1)，所以f(-1)=0，即f(1)=0，则
f(5)+f(6)=f(1)+f(2)=0+3=3.
二、填空题(每小题5分，共10分)
8.(2019·洛阳模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=x+1，则
f=________.
【解析】依题意得，f(2+x)=f(x)，f(-x)=f(x)，
则f=f=f=+1=.
答案:
9.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数，则a=________.
【解题指南】f(x)=xln(x+)为偶函数，即y=ln(x+)是奇函数，利用
ln(x+)+ln(-x+)=0确定a的值.
【解析】由题意知y=ln(x+)是奇函数，
所以ln(x+)+ln(-x+)=ln(a+x2-x2)=ln a=0，解得a=1.
答案:1
三、解答题
10.(15分)设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1+x)=f(1-x)，当-1≤x≤0时，f(x)=-x.
(1)判定f(x)的奇偶性.
(2)试求出函数f(x)在区间[-1，2]上的解析式.
【解析】(1)因为f(1+x)=f(1-x)，
所以f(-x)=f(2+x).
又f(x+2)=f(x)，所以f(-x)=f(x).
又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数.
(2)当x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]，
则f(x)=f(-x)=x;
进而当1≤x≤2时，-1≤x-2≤0，
f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.
故f(x)=
(20分钟40分)
1.(5分)(2018·泰安模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)为偶函数，且f(1)=2，则f(4)+f(5)的值为( )
A.2
B.1
C.-1
D.-2
【解析】选A.设g(x)=f(x+1)，因为f(x+1)为偶函数，则g(-x)=g(x)，即f(-x+1) =f(x+1)，因为f(x)是奇函数，所以f(-x+1)=f(x+1)=-f(x-1)，即f(x+2)=-f(x)， f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)，则
f(4)=f(0)=0，f(5)=f(1)=2，所以f(4)+f(5) =0+2=2.
2.(5分)(2019·重庆模拟)若f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有
<0，则( )
A.f(3)<f(1)<f(-2)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(-2)<f(1)<f(3)
D.f(3)<f(-2)<f(1)
【解析】选D.因为∀x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有<0，所以当x≥0时，函数f(x)为减函数，因为f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数，所以f(3)<f(2)< f(1)，即f(3)<f(-2)<f(1).
3.(5分)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时，
f(x)=2x-1.则f+f(1)+f+f(2)+f
=________.
【解析】依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，则f+f(1)+f+f(2)+
f=f+f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.
答案:
4.(12分)已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值.
(2)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围.
【解析】(1)设x<0，则-x>0，
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x).
于是x<0时，f(x)=x2+2x=x2+mx，
所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1，a-2]上单调递增，
结合f(x)的图象知所以1<a≤3，
故实数a的取值范围是(1，3].
5.(13分)已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.
(1)求实数a的取值范围.
(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=f(x)，求g(x)的解析式.
【解析】(1)f(x)=要使函数f(x)有最小值，需所以-2≤a≤2，故a的取值范围为[-2，2].
(2)因为g(x)为定义在R上的奇函数，
所以g(0)=0.
设x>0，则-x<0.
所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4，
所以g(x)=
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