2020届高三数学上学期第二次月考(12月)试题 理

2019学年第一学期第二次月考高三数学（理科）试卷
（120分钟）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|A y y ==，{|2}x
B y y ==，则A
B =（ ）
A ．(3,3)-
B ．[3,3]-
C ．(0,3]
D ．[0,3) 2.下列说法正确的是（ ）
A. ()"00"f =是“函数()f x 是奇函数”的充要条件
B. 若2
000:,10p x R x x ∃∈-->，则 2
:,10p x R x x ⌝∀∈--<
C. 若p q ∧是假命题，则,p q 均为假命题
D.“若6
π
α=
，则1sin 2α=
”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2
α≠” 3．函数2()cos 2f x x =的周期为（ ） A ．
4π B ．2
π
C ．π
D ．2π 4．已知向量,a b 的夹角为060，且2a b ==，则向量a b +在向量a 方向上的投影为（ ）
A ．3
B
C ．3-
D ．
5．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体 的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
6．已知52log 2a =， 1.1
2b =，0.8
12c -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A.c b a <<
B. b c a <<
C.a b c <<
D. a c b <<
7．在等比数列{}n a 中，13282,81n n a a a a -+=⋅=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是直角三角形，其斜边4AB =，SC ⊥平面ABC ，且3SC =，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．25π
B ．20π C.16π D ．13π
9．函数2ln ||
x y x x
=+的图象大致为( )
10. 定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+ （其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()
0,+∞
B ．()
(),03,-∞+∞ C ．()(),00,-∞+∞ D ．()
3,+∞
11已知在等边三角形ABC 中，2
3,23
BC BN BM BC ===，则AM AN ⋅=（ ） A. 4 B.
389 C. 5 D. 132
12．已知函数))(1
(ln 2)(R a x x a x x f ∈-+=，当12,(0,)x x ∈+∞时，不等式
1
21221
()
()
[]()0f x f x x x x x --<恒成立，则a ( )
A ．有最大值1-，无最小值
B ．有最小值1-，无最大值
C ．有最大值e -，无最小值
D ．有最小值e -，最大值1- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．设变量x 、y 满足约束条件：,
22,2.y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
则22
z x y =+的最大值是 ．
14.已知向量()()1,1,2,a b y a b a b y ==+=⋅=，若，则__________ 15.已知函数()()sin 01f x x x π=<<，若a b ≠，且()()f a f b =，则
41
a b
+的最小值为 . 16．已知集合M ={(,)|()x y y f x =}，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，
则称集合M 是“完美对点集”．给出下列四个集合：
① 1(,)|M x y y x ⎧⎫
==
⎨⎬⎩⎭
②{}(,)|sin 1M x y y x ==+； ③{}2(,)|log M x y y x ==； ④{}
(,)|2x
M x y y e ==-．
其中是“完美对点集”的是 （请写出全部正确命题的序号）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）
ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2
sin 8sin 2
B
A C +=． （Ⅰ）求cos
B ；
（Ⅱ）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．
B
P
C
A
18.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为2，且1a ，2S ，4S 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22
n n n
a n
b +-=（*∈N n ），求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19．（本小题满分12分）如图，在Rt ABC ∆中，2
ACB π
∠=
，3AC =，2BC =，P 是ABC ∆内的一点．
（Ⅰ）若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长； （Ⅱ）若23
BPC π
∠=
，设PCB θ∠=，求PBC ∆的面积()S θ的解析式，并求()S θ的最大值．
20.（本小题满分12分）
如图，在多面体111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，
11AA BB ∥， 111
,2
B C BC
∥1.2AB AC AA BC ===
（Ⅰ）求证：1AB //平面11AC C ；
（Ⅱ）求二面角11
C AC A --的余弦值．
21.（本题满分12分）
已知曲线()()0x
f x axe a =>在点()0,0处的切线与曲线()2
14g x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭也相切
（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）设函数()()54f x F x g x =-
⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭，若12x x ≠，且()()120F x F x =<，证明：12
12x x +<-.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为
:1(12
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=.
（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知()()f x x a a R =+∈；
（Ⅰ）若()23f x x ≥+的解集为[]3,1--，求a 的值；
（Ⅱ）若x R ∀∈,若不等式()2
2f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围.
2019学年第一学期第二次月考 理科数学答案
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
CDBABD BACCDA 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）
13. 8 14. 3 15. 9 16. ② ④ 三，解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）因为2
1cos sin()sin()sin ,sin 22
B B A
C B B π-+=-==， 所以sin 4(1cos )B B =-.
又因为22
sin cos 1B B +=，所以2
2
16(1cos )cos 1B B -+=，
展开，得2
17cos 32cos 150B B -+=，
B
P
C
A
解得cos 1B =（舍去）或15
cos 17
B =.……………（6分） （Ⅱ）由15cos 17B =
，得8sin 17B ==，故14sin 217
ABC S ac B ac ∆==. 又2ABC S ∆=，则17
2
ac =
.由余弦定理及6a c +=， 得2222
1732
2cos ()2(1cos )3624217
b a
c ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯
⨯=， 所以2b =.……………（12分） 18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由1a ，2S ，4S 成等比数列得2
214S a S =．
化简得()()2
111246a d a a d +=+， 又2d =，解得11a =，
故数列{}n a 的通项公式()12121n a n n =+-=-（n *∈N ）……………（6分）
（Ⅱ）由n n n n a b 22-+=
可知n
n
n b 21
+=， 所以n n n n b b b T 2
1
2423223221+++++=
+++= 14322124232221++++++=n n n T ， 1322
1212121121++-++++=∴n n n n T n n n n n n n n T n T n T 233232321212
1121212121111
+-=⇒+-=⇒+---+=⇒+++
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解法一：因为P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，且2BC =，所以
4
PCB π
∠=
，PC =2
ACB π
∠=
，
则4
ACP π
∠=
．
在PAC ∆中，由余弦定理得
2222cos
922354
PA AC PC AC PC π
=+-⋅⋅=+-⨯=，
故PA =
解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有(0,0)C ，(2,0)B ，(0,3)A ．
因为PBC ∆是等腰直角三角形，2
ACB π
∠=，所以4
ACP π
∠=
，4
PBC π
∠=
，所以直线PC 的方程为y x =，直线PB
的方程为2y x =-+．
联立,
2
y x y x =⎧⎨=-+⎩可得(1,1)P
，故PA =．
（Ⅱ）在PBC ∆中，23BPC π∠=，PCB θ∠=，所以3
PBC π
θ∠=-． 由正弦定理可得：
22sin sin sin()
33
PB PC ππθθ==-，
故PB θ=
，sin()3PC π
θ=-． 所以PBC ∆的面积为：
2
12()sin sin()sin 2331sin )sin 2
2cos sin sin 22)6S PB PC ππ
θθθθθθθθθ
θθπθ=
⋅⋅=-=-==-
=+ 又(0,)3
πθ∈，故52(,)666πππ
θ+∈，
从而当6
π
θ=时，()S θ
．……………（12分）
20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）取BC 的中点D ，连结1,,AD DC
由条件知11CD B C ，11BD B C ，
∴四边形11B DCC 和11BDC B 为平行四边形， ∴11B D CC ，11C D BB ，∴11C D AA ， ∴四边形11AAC D 为平行四边形，∴11,AD
A C
∴平面1AB D 平面11AC C ，则1AB 平面11AC C .……………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,,AA AB AC 两两垂直，如图建系，
设2BC =，则(0,0,0)A
，1A ，
1(0,(C C ，
11122
(,,0),(0,AC AC =-
-=- 设平面11
AC C 的法向量为(,,)m x y z =，则由1110
m A C m A
C ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪
⎩，
得0220x y ⎧--=⎪⎨⎪=⎩
，取1x =，则1,1.y z =-=故(1,1,1)m =-
而平面1A AC 的法向量为(1,0,0)n =，则cos ,.3
m n m n m n
⋅<>=
=
所以二面角11
C AC A --为钝二面角，故二面角11
C AC A --的余弦值为……………（12分）
21.（本小题满分12分） （Ⅰ）
()(1)x f x a e x '=+，当0x =时，(0),(0)f a f '==，故()f x 在00（，）处的切线方程是
y ax =.…………………（2分）
联立2,
1().4y ax y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩消去y 得，2
1()4ax x =--.0.0a ∴∆=∴=或1.故1a =.……………（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()(1)x
xe F x x =+，由
12()()0F x F x =<，则1122120,1,0,1,x x x x x x <≠-<≠-≠. 又2243
(1)(1)2(1)(1)
()(1)(1)
x x x x e x xe x e x F x x x +⋅+-⋅+⋅+'==++. 当(,1)x ∈-∞-时，()F x 是减函数；当(1,)x ∈-+∞时，()F x 是增函数.
令0m >，1122221(1)(1)11(1)(1)(1)1m m m
m m e m e m m F m F m e m m m e m +-++---+--+---=-=++.…（8分）
再令21()1(0)1
m m m e m m ϕ-=
+>+，则22222224(1)22()20(1)(1)m m m m
e m e m e m e m m ϕ+-'=-=>++. ()(0)0.m ϕϕ∴>=又
221
0m
m m e
+>， 当0m >时，22111(1)(1)(1)01
m
m m m F m F m e m e m ++--+---=
+>+恒成立.
即(1)(1)F m F m -+>--恒成立.……………（10分）
令110m x =--<，即11x <-，有11(1(1))(1(1))F x F x -+-->----.
即112(2)()()F x F x F x -->=.
111,2>1x x <-∴---.又12()()F x F x =，必有21x >-.
又当(1,)x ∈-+∞时，()F x 是减函数，122x x ∴-->，即12
12
x x +<-.…………………（12分）
22（本小题满分10分） （Ⅰ）
24cos ,4cos ρθρρθ=∴=, 由222,cos x y x ρρθ=+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐
标方程为()2
224x y -+=.
由1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去t
得：+10x =.所以直线l
的普通方程为+10x =.……………（5分） （Ⅱ）把
1212
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入224x y x +=
，整理得250t -+=， 因为272070∆=-=>，设其两根分别为 12,t t
，则12125,t t t t +== 所以
12PQ t t =-==……………（10分）
23．（本小题满分10分）
（Ⅰ）()23f x x ≥+即23x a x +≥+，平方整理得：()2
2
312290x a x a +-+-≤，
所以-3，-1是方程 ()2
2
312290x a x a +-+-= 的两根，
2
12243
933
a
a -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩ 解得0a =. ……………（5分） （Ⅱ）因为()||()()2f x x a x a x a a +-≥+--=
所以要不等式2()||2f x x a a a +-≥-恒成立只需2
22a a a ≥-
当0a ≥时，2
22a a a ≥-解得04a ≤≤
当0a <时，2
22a a a -≥-此时满足条件的a 不存在
综上可得实数a 的范围是04a ≤≤.……………（10分）。