高考数学一轮复习课时作业二十二 理 试题

课时(kèshí)作业(二十二)
1．(2021·)以下函数(hánshù)中，周期为π，且在[π4，π
2
]上为减函数(hánshù)的是( )
A ．y ＝sin(2x ＋π
2)
B ．y ＝cos(2x ＋π
2)
C ．y ＝sin(x ＋π
2)
D ．y ＝cos(x ＋π
2
)
答案(dá àn) A
解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π
2]上
是减函数，应选A.
2．函数y ＝2cos 2
x 的一个单调增区间是( ) A ．(－π4，π
4)
B ．(0，π
2)
C ．(π4，3π4)
D ．(π
2
，π)
答案 D
解析 y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ，
∴递增区间为2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π， ∴k π＋π
2≤x ≤k π＋π，
∴k ＝0时，π
2
≤x ≤π.选D.
3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝π
4处获得最小值，那么( )
A ．f (x ＋π
4)一定是偶函数
B ．f (x ＋π
4)一定是奇函数
C ．f (x －π
4
)一定是偶函数
D ．f (x －π
4
)一定是奇函数
答案(dá àn) A
解析(jiě xī) f (x ＋π4)是f (x )向左平移(pínɡ yí)π
4个单位(dānwèi)得到的，f (x )
图像关于x ＝π4对称，那么f (x ＋π4)图像关于x ＝0对称，故f (x ＋π
4
)为偶函数．
4．(2021·模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，假设f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－
π2，0)时，f (x )＝sin x ，那么f (－5π
3
)的值是( ) A ．－1
2
B.1
2 C ．－32
D.
32
答案 D
解析 据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f (－5π3)＝f (－5π3＋2π)＝f (π
3
)＝－f (－π3)＝－sin(－π3)＝32
.
5．函数y ＝－x cos x 的局部图像是( )
答案 D
思路(sīlù) 方法一 由函数y ＝－x cos x 是奇函数，知图像(tú xiànɡ)关于原点对称．
又由当x ∈[0，π
2
]时，cos x ≥0，有－x cos x ≤0.
当x ∈[－π
2，0]时，cos x ≥0，有－x cos x ≥0.∴应选(yīnɡ xuǎn)D.
方法(fāngfǎ)二 特殊值法，由f (±π
2)＝0，
∵f (π4)＝－π4·cos π
4<0，由图像可排除A 、B ，
又∵f (－π4)＝π4·cos π
4>0，排除C ，应选D.
6．关于x 的函数f (x )＝sin(πx ＋φ)有以下命题： ①∀φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )； ②∃φ∈R ，f (x ＋1)＝f (x )； ③∀φ∈R ，f (x )都不是偶函数； ④∃φ∈R ，使f (x )是奇函数． 其中假命题的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③
答案 A
解析 对命题①，取φ＝π时，f (x ＋2π)≠f (x )，命题①错误；如取φ＝2π，那么f (x ＋1)＝f (x )，命题②正确；对于命题③，φ＝
π
2时f (x )＝f (－x )，那么命题③错误；如取φ＝π，那么f (x )＝sin(πx ＋π)＝－sinπx ，命题④正确．
7．(2021·文)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φf (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π
2
时，f (x )获得最大值，那么( )
A ．f (x )在区间(qū jiān)[－2π，0]上是增函数
B ．f (x )在区间(qū jiān)[－3π，－π]上是增函数
C ．f (x )在区间(qū jiān)[3π，5π]上是减函数
D ．f (x )在区间(qū jiān)[4π，6π]上是减函数 答案 A
解析 ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13，∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴
1
3×
π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π，∵－π<φ≤π，∴φ＝π
3
.∴f (x )＝2sin(x 3＋π
3
)，由此函数图像易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－
π]或者[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．应选A.
8．(2021·全国课标理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)
的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，那么( )
A ．f (x )在(0，π
2)单调递减
B ．f (x )在(π4，3π
4)单调递减
C ．f (x )在(0，π
2)单调递增
D ．f (x )在(π4，3π
4)单调递增
答案 A
解析 y ＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋
π
4
)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π
4，所以y ＝2
cos 2x ，在(0，π
2
)单调递减．
9．设函数(hánshù)y ＝2sin(2x ＋
π
3
)的图像(tú xiànɡ)关于点P (x 0,0)成中心对称(zhōnɡ xīn duì chēnɡ)，假设x 0∈[－π
2
，0]那么(nà me)x 0＝______
答案 －π
6
解析 因为图像的对称中心是其与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x ＋π
3)＝0，x 0∈
[－π2，0]，得x 0＝－π6
.
10．设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，假设函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，那么φ＝________.
答案
2π
3
解析 由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin(3x ＋φ＋π
3)是
奇函数，因此φ＋π3＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π3，又0<φ<π，所以φ＝2π
3
.
11．(2021·)将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(
π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π
3
，或者仅向左平移2π
3
，所得到的函数图像均关于原点对称，那么ω＝________.
答案 12
解析 注意到函数的对称轴之间间隔 是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－(－2π
3
)＝
2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝1
2
.
12．函数(hánshù)f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像(tú xiànɡ)的一条对称轴是x ＝5π3
，那么(nà me)函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的初相是________．
答案(dá àn) 2
3
π
解析 f ′(x )＝cos x －a sin x ，∵x ＝5π
3
为函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴，
∴f ′(5π3)＝cos 5π3－a sin 5π3＝0，解得a ＝－33
，
g (x )＝－
33sin x ＋cos x ＝233(－12sin x ＋3
2
cos x ) ＝
233sin(x ＋2π3
)． 13．函数f (x )＝2cos 2
x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的周期、对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调增区间． 答案 (1)T ＝π，对称轴方程为x ＝k π2
＋π
6
(k ∈Z ) (2)[k π－π3，k π＋π
6
](k ∈Z )
解析 f (x )＝2cos 2
x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．
(1)f (x )的周期T ＝π，函数f (x )的对称轴方程为x ＝
k π2
＋π
6
(k ∈Z )． (2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得kx －π3≤x ≤k π＋π
6(k ∈Z )，
∴函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π
6](k ∈Z )．
14．(2021·文)函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π
6)－1.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间(qū jiān)[－π6，π
4]上的最大值和最小值．
答案(dá àn) (1)π (2)2，－1
解析(jiě xī) (1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π
6)－1
＝4cos x (
32sin x ＋1
2
cos x )－1
＝3sin 2x ＋2cos 2
x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x
＝2sin(2x ＋π
6)，所以(suǒyǐ)f (x )的最小正周期为π.
(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π
3.
于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )获得最大值2；
当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π
6
时，f (x )获得最小值－1.
1．(2021·一模)函数y ＝2sin(wx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，假设|x 2－x 1|的最小值为π，那么( )
A ．w ＝2，θ＝π
2
B ．w ＝－12，θ＝π
2
C ．w ＝12，θ＝π4
D ．w ＝2，θ＝π
4
答案 A
解析 ∵y ＝2sin(wx ＋θ)为偶函数，∴θ＝π
2
.
∵图像与直线y ＝2的两个交点横坐标为x 1，x 2，|x 2－x 1|min ＝π，即T ＝π. 2．函数y ＝sin πx
3在区间[0，t ]上至少获得2次最大值，那么正整数t 的最小值是
( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
答案(dá àn) C
解析(jiě xī) 周期T ＝
2ππ3
＝6.由题意(tí yì)，T ＋T
4≤t ，得t ≥7.5.应选(yīnɡ xuǎn)C.
3．(2021·调研卷)将函数y ＝sin(6x ＋π
4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，
再向右平移π
8
个单位，得到的函数的一个对称中心是( )
A ．(π
2，0)
B ．(π
4，0)
C ．(π
9，0)
D ．(π
16
，0)
答案 A
解析 将函数y ＝sin(6x ＋
π
4
)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y ＝sin(2x ＋
π4)的图像，再向右平移π8个单位，得到函数f (x )＝sin[2(x －π8)＋π4
]＝sin2x 的图像，而f (π
2
)＝0，应选A.
4．(2021·第一次质检)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像关于直线x ＝π
3对
称，且f (π
12
)＝0，那么ω的最小值为________．
答案 2
解析 由题意得π3ω＋φ＝k 1π＋π
2(k 1∈Z )，
π
12
ω＋φ＝k 2π(k 2∈Z )， ∴π4ω＝(k 1－k 2)π＋π
2(k 1，k 2∈Z )， ∴ω＝4(k 1－k 2)＋2(k 1，k 2∈Z )， ∵ω>0，∴ω的最小值为2.
5．(2021·文)函数(hánshù)f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .假设(jiǎshè)f (x )≥1，那么(nà me)x 的取值范围(fànwéi)为( )
A ．{x |2k π＋π
3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }
B ．{x |k π＋π
3≤x ≤k π＋π，k ∈Z }
C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π
6，k ∈Z }
D ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π
6，k ∈Z }
答案 A
解析 f (x )＝2sin(x －π6)，由f (x )＝2sin(x －π6)≥1，得2k π＋π6≤x －π
6≤2k π
＋5π6(k ∈Z )，解得2k π＋π
3
≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，应选A. 6．函数f (x )＝cos 2
x －sin 2
x ＋23sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；
(2)当x ∈[－π6，π
3]时，f (x )－3≥m 恒成立，试确定m 的取值范围．
答案 (1)π [π6＋k π，2π
3
＋k π](k ∈Z ) (2)(－∞，－3]
解 (1)f (x )＝cos 2
x －sin 2
x ＋23sin x cos x ＋1＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π
6
)＋1.
因此(yīncǐ)函数f (x )的最小正周期(zhōuqī)为2π
2＝π.
由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π
2＋2k π(k ∈Z )， 得π6＋k π≤x ≤2π
3
＋k π(k ∈Z )．
故函数(hánshù)f (x )的单调(dāndiào)递减区间为[π6＋k π，2π
3＋k π](k ∈Z )．
(2)当x ∈[－π6，π3]时，2x ＋π6∈[－π6，5π
6]，
所以－1≤2sin(2x ＋π
6)≤2，因此0≤f (x )≤3.
因为f (x )－3≥m 恒成立， 所以m ≤f (x )min －3＝0－3＝－3. 故m 的取值范围是(－∞，－3]．
1．(2021·卷理)动点A (x ，y )在圆x 2
＋y 2
＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．时间是t ＝0时，点A 的坐标是(12，3
2)，那么当0≤t ≤12时，动点A
的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A ．[0,1]
B ．[1,7]
C ．[7,12]
D ．[0,1]和[7,12]
答案 D
解析 由可得该函数的最小正周期为T ＝12，那么ω＝2πT ＝π
6，又当t ＝0时，A 的
坐标为(12，32)，∴此函数为y ＝sin(π6t ＋π
3)，t ∈[0,12]，可解得此函数的单调递增
区间是[0,1]和[7,12]．
2．(2021·质检)定义一种(yī zhǒnɡ)运算：(a 1，a 2)⊗(a 3，a 4)＝a 1a 4－a 2a 3，将函数(hánshù)f (x )＝(3，2sin x )⊗(cos x ，cos2x )的图像(tú xiànɡ)向左平移n (n >0)个单位长度，所得图像对应(duìyìng)的函数为偶函数，那么n 的最小值为________．
答案
5π
12
解析 由新定义可知f (x )＝3cos2x －sin2x ＝2cos(2x ＋π6
)，所以函数f (x )的图像向左平移5π12
个单位长度后为y ＝－2cos2x 的图像，该函数为偶函数，所以n 的最小值为5π12
. 3．(2021·一模)假设函数y ＝f (x )同时具有以下三个性质：(1)最小正周期为π；
(2)图像关于直线x ＝π3对称；(3)在区间[－π6，π3
]上是增函数，那么y ＝f (x )的解析式可以是______．
答案 y ＝cos(2x －23
π)． 4．函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2
x )－2sin x cos x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)设x ∈[－π3，π3
]，求f (x )的值域和单调递增区间． 解析 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x
＝－2sin(2x ＋π3
)， ∴f (x )的最小正周期为π.
(2)∵x ∈[－π3，π3
]， ∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3
)≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．
∵当y ＝sin(2x ＋π3
)单调(dāndiào)递减时，f (x )单调(dāndiào)递增， ∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3.
故f (x )的单调(dāndiào)递增区间为[π12，π3
]． 5．(2021·七校联考)函数(hánshù)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2
)的局部图像
(1)求f (x )的最小正周期及解析式；
(2)设g (x )＝f (x )－cos2x ，求函数g (x )在区间[0，π2
]上的最大值和最小值． 解 (1)由题图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 所以Tω＝2.
当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin(2×π6
＋φ)＝1， 因为|φ|<π2，所以φ＝π6
. 所以(suǒyǐ)f (x )的解析(jiě xī)式为f (x )＝sin(2x ＋π6
)． (2)g (x )＝f (x )－cos2x ＝sin(2x ＋π6)－cos2x ＝sin2x cos π6＋cos2x sin π6
－cos2x ＝
32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)．
因为(yīn wèi)0≤x ≤π2，所以(suǒyǐ)－π6≤2π－π6≤5π6
. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3
时，g (x )有最大值，最大值为1； 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，g (x )有最小值，最小值为－12
. 6．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图像上相邻的两个最高点之间的间隔 为2π.
(1)求f (x )的解析式；
(2)假设α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3
)的值． 解 (1)∵函数f (x )的图像上相邻的两个最高点之间的间隔 为2π，∴T ＝2π，那么ω＝2πT
＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2
(k ∈Z )． 又0≤φ≤π，解得φ＝π2，那么f (x )＝sin(x ＋π2
)＝cos x . (2)由得cos(α＋π3)＝13，∵α∈(－π3，π2
)， ∴(α＋π3)∈(0，5π6)，那么sin(α＋π3)＝223
. ∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3
) ＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429
. 7．函数(hánshù)f (x )＝sin x cos φ＋cos x sin φ(其中(qízhōng)x ∈R,0<φ<π)．
(1)求函数f (x )的最小正周期(zhōuqī)；
(2)假设(jiǎshè)函数y ＝f (2x ＋π4)的图像关于直线x ＝π6
对称，求φ的值． 解 (1)∵f (x )＝sin(x ＋φ)，
∴函数f (x )的最小正周期为2π.
(2)函数y ＝f (2x ＋π4)＝sin(2x ＋π4
＋φ)， y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝k π＋π2
(k ∈Z )，
令2x ＋π4＋φ＝k π＋π2
，k ∈Z ， 将x ＝π6代入上式，得φ＝k π－π12
(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝11π12
. 8．函数f (x )＝m sin x ＋n cos x ，且f (π4
)是它的最大值(其中m ，n 为常数且mn ≠0)，给出以下命题：
①f (x ＋π4
)为偶函数； ②函数f (x )的图像关于点(7π4，0)对称； ③f (－3π4
)是函数f (x )的最小值； ④函数f (x )的图像在y 轴右侧与直线y ＝m 2的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，…，那么|P 2P 4|＝π；
⑤m n ＝1.
其中(qízhōng)真命题 是________．(写出所有正确命题的序号)
答案(dá àn) ①②③⑤
解析(jiě xī) 由题意得f (x )＝m sin x ＋n cos x ＝m 2＋n 2sin(x ＋φ)(tan φ＝n m
)．
因为(yīn wèi)f (π4
)是它的最大值， 所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π4
. 所以f (x )＝m 2＋n 2sin(x ＋2k π＋π4
) ＝m 2＋n 2sin(x ＋π4
)． 且tan φ＝n m ＝tan(2k π＋π4
)＝1， 即n m f (x )＝2|m |sin(x ＋π4
)． ①f (x ＋π4)＝2|m |sin(x ＋π4＋π4
)＝2|m |cos x ，为偶函数，①正确； ②当x ＝7π4时，f (7π4)＝2|m |sin(π4＋7π4
) ＝2|m |sin2π＝0，
所以f (x )的图像关于点(7π4
，0)对称，②正确； ③f (－3π4)＝2|m |sin(π4－3π4)＝－2|m |sin π2
＝－2|m |，获得最小值，③正确；
④根据(gēnjù)f (x )＝2|m |sin(x ＋π4
)可得其周期(zhōuqī)为2π， 由题意(tí yì)可得P 2与P 4相差(xiānɡ chà)一个周期2π，即|P 2P 4|＝2π，④错误；
⑤m n
＝1，显然成立，⑤正确．
9．(2021·文)
函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的局部图像如下图，P ，Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．
(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；
(2)假设点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3
，求A 的值． 解析 (1)由题意得，T ＝2ππ3
＝6.
因为P (1，A )在y ＝A sin(π3
x ＋φ)的图像上， 所以sin(π3
＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2
， 所以(suǒyǐ)φ＝π6
. (2)设点Q 的坐标(zuòbiāo)为(x 0，－A )，
由题意(tí yì)可知π3x 0＋π6＝3π2
，得x 0＝4，所以(suǒyǐ)Q (4，－A )， 如图，连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3
，由余弦定理得
cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A
2＝－12，解得A 2＝3. 又A >0，所以A ＝ 3.
内容总结。