2019-2020学年内蒙古包头市数学高二下期末调研试题含解析

2019-2020学年内蒙古包头市数学高二下期末调研试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()cos f x x x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．0y = B ．20x y -= C ．0x y += D ．0x y -=
【答案】D 【解析】
分析：由题意，求得()f x '，得到()()0,0f f '，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程； 详解：由题意，函数()cos f x x x =，则()cos sin f x x x x =-'， 所以(0)1f '
=，即切线的斜率为1k =，
又()00f =，所以切线过点(0,0)，所以切线的方程为y x =，即0x y -=，故选D ．
点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程问题，其中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
2．在极坐标系中，圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ） A ．1(,)23
π- B ．1(,
)23
π
C ．(1,)3
π
-
D ．(1,)3
π
【答案】A 【解析】
由圆cos()3
πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=，∴2212x y x y +=-，
化为221
1()(44
x y -++
=，
∴圆心为1
(,4
，半径r=12．
∵tanα=3
π-
， ∴圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)2
3
π-． 故选A ．
3．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，设函数
()1
x g x e
--=，13x
，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】 【分析】
根据题意，分析可得函数()f x 与()g x 的图象都关于直线1x =对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案. 【详解】
由题意，函数()f x 满足()()11f x f x +=-可知， 函数()f x 的图象关于直线1x =对称，
又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称， 由函数()1
x g x e
--=可知，函数()g x 的图象关于直线1x =对称，
画出函数()f x 与()g x 的图象如图所示：
设图中四个交点的横坐标为1234,,,x x x x ， 由图可知，14322,2x x x x +=+=，
所以函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】
本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 4．定积分()1
2
1
4d x x x --=⎰（ ）
A ．0
B ．1-
C ．23
-
D ．2-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用微积分基本定理求出即可．
()1
1
32
21
124d 233x x x x x --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰.选C. 【点睛】
本题关键是求出被积函数的一个原函数．
5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（ ） A ．30个 B ．42个
C ．36个
D ．35个
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵a ，b 互不相等且为虚数，
∴所有b 只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种， a 从剩余的6个选一个有6种，
∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）． 故选C 6．设函数
，若当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 ∵，∴
，
∴函数为奇函数； 又，∴函数
为上的单调递增函数．
∴
恒成立⇔
恒成立， ∴恒成立⇔恒成立，
由知，，，
点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题；利用奇函数
单调递增的性质，可将不等式
恒成立，转化为
恒
成立，由，可求得实数的取值范围.
7．若展开式中各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为（ ）
A ．-5
B ．5
C ．-405
D ．405 【答案】C
【解析】由题设可得
，则通项公式
，令
，故，应选答案C 。

8．已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A ．92 B ．102 C ．112 D ．122
【答案】A 【解析】
由题意可得：46
,4610n n C C n =∴=+= ，
由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为10
91222
⨯= . 本题选择A 选项.
点睛：1．二项展开式的通项1C k n k k
k n T a b -+=是展开式的第k ＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基
础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k 的限制．
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．
9．e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1
x
x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）
A ．1a <-或21a e =或9
8a > B ．1a <-或
211
8a e
≤≤ C ．1a >-或219
8
a e <<
D ．1a >-或9
8
a >
【答案】A
【分析】 【详解】
作出函数()f x 的图像如图所示，其中9(1,),(1,1)8A B -，则9
,18
OA OB k k =
=-，设直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切，则ln 1ax x =-，即ln 1
x a x
-=
，设 ln 1
()x g x x
-=，则22
1(ln 1)2ln ()x x g x x x ---='=，当2x e =时，()0g x '=， 分析可知，当2x e =时，函数()g x 有极大值也是最大值，2
21()g e e =，所以当21a e =时，ln 1x a x -=有
唯一解，此时直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切． 分析图形可知，当1a <-或2
1a e =
或9
8
a >时，函数()f x 的图像与函数y ax =的图像只有一个交点，即函数()y f x ax =-有唯一零点．故选A .
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.
10．已知回归方程21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ） A ．0.01 B ．0.02
C ．0.03
D ．0.04
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 因为残差
，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C. 考点：残差的有关计算.
11．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B 的子集
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有22=4个. 【详解】
由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x 有2个交点，故A B 的子集有4个.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题.
12．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A ．①④②③
B ．①④③②
C ．④①②③
D ．③④②①
【答案】A 【解析】 【分析】
根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到． 【详解】
②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的值为正数， 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上的值为负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足；
④2x
y x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
故选A ． 【点睛】
本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题
13．双曲线2
2
14
y x -=的渐近线方程为
【答案】2y x =± 【解析】
试题分析：由双曲线方程可知2
2
1,41,2a b a b ==∴==∴渐近线方程为2y x =± 考点：双曲线方程及性质
14．若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为________. 【答案】3π 【解析】 【分析】
由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解. 【详解】
由已知得正方体的棱长为1，
又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，
所以正方体的外接球的半径R =
=
所以外接球的表面积2
2
443S R πππ==⨯=⎝⎭
，
故得解. 【点睛】
本题考查正方体的外接球，属于基础题.
【答案】x ∀∈R ，212x x +≥ 【解析】 【分析】
原命题为特称命题，其否定为全称命题. 【详解】
“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是x ∀∈R ，212x x +≥ 故答案为：x ∀∈R ，212x x +≥ 【点睛】
本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 16．已知复数z 满足||1z =，则|2|z -的取值范围是__________． 【答案】[1,3] 【解析】
因为1z =，则复数z 对应的点Z 在以原点为圆心，半径为1的圆上．2z -表示复数z 对应的点与点()2,0的距离，故[]
21,3z -∈.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在四棱锥P ABCD ﹣中，1
//,12
AD BC AD AB DC BC ====，E 是PC 的中点，面PAC ⊥面ABCD ．
（1）证明：//ED 面PAB ； （2）若2,3PC PA ==
A PC D --的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（26
. 【解析】
形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．
∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．
又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，
则四边形ADEF是平行四边形．
∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB
（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，
∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．
过D作DG⊥AC于G，
∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．
过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．
在△ADC中，，连接AE，．
在Rt△GDH中，，
∴，
即二面角A﹣PC﹣D的余弦值
法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．
∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，
∴AB⊥AC．
∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．
如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．
可得，．
设P （x ，0，z ），（z ＞0），依题意有
，
，
解得． 则
，
，．
设面PDC 的一个法向量为
，
由，取x 0=1，得．
为面PAC 的一个法向量，且，
设二面角A ﹣PC ﹣D 的大小为θ， 则有
，即二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．
18．已知函数()()2
1ln 12
g x a x x b x =+
+-. （1）若()g x 在点1,1g 处的切线方程为8230x y --=,求,a b 的值;
（2）若121,,b a x x =+是函数()g x 的两个极值点,试比较4-与()()12g x g x +的大小. 【答案】（1）1,1a b ==-； （2）()()124g x g x +<-. 【解析】 【分析】
（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）将()g x 转化为只含有a 的式子.对函数()g x 求导，利用二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围并利用韦达定理写出
12,x x 的关系式.化简()()12g x g x +的表达式，并利用构造函数法求得()()128ln212g x g x +<-.用差比
较法比较出8ln212-与4-的大小关系. 【详解】
∴()()512'14g g ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
,即1
5122114b a b ⎧+-=⎪⎨⎪++-=⎩,解得1,1a b ==-.
（2）∵1b a =+,∴()21ln 2g x a x x ax =+
-,则()'a
g x x a x
=+-. 根据题意可得20x ax a -+=在()0,∞+上有两个不同的根12,x x .
即2
02400a
a a a ⎧>⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩
,解得4a >,且1212,x x a x x a +==. ∴()()()()
()2221212121211
ln ln 22
g x g x a x x x x a x x a a a a +=++-+=--. 令()2
1ln (4)2
f x x x x x x =-
->,则()'ln 11ln f x x x x x =+--=-, 令()ln h x x x =-,则当4x >时,()1
'10h x x
=-<,
∴()h x 在()4,∞+上为减函数,即()()()4ln440,'0h x h f x <=-<<即, ∴()f x 在()4,∞+上为减函数,即()()48ln212f x f <=-, ∴()()128ln212g x g x +<-,
又∵()()22
8ln21248ln288ln218ln ,ln 0e e
而---=-=-=<, ∴2
8ln
0e
<,即8ln2124-<-, ∴()()124g x g x +<-. 【点睛】
本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数研究函数的极值点问题，难度较大. 19．将下列参数方程化为普通方程： （1）5cos {
4sin x y ϕ
ϕ==（ϕ为参数）；
（2）13{
4x t y t
=-=（t 为参数）.
【答案】（1）22
12516x y +=；（2）4340x y +-=. 【解析】
试题分析：（1）分别分离处参数中的sin ,cos ϕϕ，根据同角三角函数的基本关系式22
sin cos 1ϕϕ+=，
即可消去参数得到普通方程；（2）由参数方程中13x t =-求出t ，代入4y t =整理即可得到其普通方程.
试题解析：（1）∵
5cos
{
4sin
x
y
ϕ
ϕ
=
=
，∴
cos
5{
sin
4
x
y
ϕ
ϕ
=
=
，两边平方相加，得
22
22
cos sin
2516
x y
ϕϕ
+=+，
即
22
1
2516
x y
+=.
（2）∵
13
{
4
x t
y t
=-
=
，
∴由
4
y
t=代入13
x t
=-，得13
4
y
x=-⨯，
∴4340
x y
+-=.
考点：曲线的参数方程与普通方程的互化.
20．已知点(2,1)
M在椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=＞＞上，A，B是长轴的两个端点，且3
MA MB
⋅=-．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线CD的斜率为2，以E(1，0)为圆心的圆与直线CD相切，且切点为线段CD的中点，求该圆的方程.
【答案】（1）
22
1
82
x y
+=（2）22
5
(1)
36
x y
-+=
【解析】
【分析】
（1）联立方程解出ab
（2）根据题意设出直线CD,联立方程得到两根之和与两根之积，再利用中点加垂直，解出参数．
【详解】
（1）依题意有：
22
41
1
(2,1)(2,1)3
a b
a a
⎧
+=
⎪
⎨
⎪-----=-
⎩
∴28
a=，22
b=
∴
22
1
82
x y
+=
（2）设CD ：2y x m =+
由22218
2y x m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
得2
21716480x mx m ++-=
设11(,)C x y ，22(,)D x y ，CD 中点00(,)Q x y
则121617x x m +=-，21248
17m x x -⋅=-
∴1208217x x x m +==-，001217y x m m =+= ∴Q （817m -，
1
17
m ） 又EQ ⊥CD
∴1
11782117EQ m
k m ==---
∴17
6m =-
∴41(,)36
Q -
∴22
2415(1)()3636
EQ =-+-=
∴该圆的方程为22
5(1)36
x y -+=. 【点睛】
本题综合考查椭圆、圆、直线的位置关系，属于中档题．
21．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .
（1）求证：AM ⊥平面PCD ；
（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小；
（3）求点N 到平面ACM 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）arcsin 3
；（3【解析】 【分析】
（1）由题设得知AM CM ⊥，再证明CD ⊥平面PAD ，可得出AM CD ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出AM ⊥平面PCD ；
（2）先利用等体积法计算出点D 到平面ACM 的距离h ，然后利用h
CD
作为直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值，即可得出直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）先根据条件分析出所求距离为点P 到平面ACM 距离的5
9
，可得出点P 到平面ACM 的距离为h ，再利用第二问的结论即可得出答案. 【详解】 （1）
以AC 为直径的球面交PD 于点M ，则AM CM ⊥，
PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD PA ∴⊥，
四边形ABCD 为矩形，CD AD ∴⊥.
PA AD A =,CD 平面PAD ，AM ⊂平面PAD ，CD AM ∴⊥.
CM
CD C =，AM ∴⊥平面PCD ；
（2）由（1）知，AM ⊥平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，AM PD ∴⊥，
又PA AD =，则M 为PD 的中点，且1
2
AM PD =
=CM =.
ACM ∴∆的面积为11
22ACM S AM CM ∆=
⋅=⨯=ACD ∆的面积为11
42422
ACD S AD CD ∆=⋅=⨯⨯=，
M 为PD 的中点，所以，1118
443263
M ACD ACD
V S PA -∆=⋅=⨯⨯=， 设点D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=，得18
33
ACM S h ∆⋅=，
8
ACM
h S ∆∴=
=
=
设直线CD 与平面ACM 所成角的大小为θ，则1sin 2h CD θ=
==
.
因此，直线CD 与平面ACM 所成角的大小为arcsin （3）
PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥，
22AC AB BC =+=6PC ∴==，
AN CN ⊥，且90PAC ∠=，则cos PN PA
APC PA PC
∠=
=， 得28
3
PA PN PC ==，59CN PC ∴=， 故点N 到平面ACM 的距离是点P 到平面ACM 的距离的59
. 又
M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等，
由（2）可知所求距离为5927
h =
. 【点睛】
本题考查直线与平面垂直的证明、直线与平面所成角的计算以及点到平面距离的计算，考查了等体积法的应用，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.
22．已知函数，()32,1,
ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩
（1）求()f x 在区间(),1-∞上的极小值和极大值；
（2）求()f x 在[]1,e -（e 为自然对数的底数）上的最大值． 【答案】（1）极小值为0，极大值为4
27
.（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】
（1）对三次函数32()f x x x 进行求导，解导数不等式，画出表格，从而得到极值；
（2）由（1）知函数32()
f x x x 的性质，再对a 进行分类讨论，求()ln f x a x =在1x ≥的性质，比
较两段的最大值，进而得到函数()f x 的最大值. 【详解】
（1）当1x <时，()2
32f x x x '=-+，令()0f x '=，解得0x =或2
3
x =
.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
故当0x =时，函数()f x 取得极小值为()00f =，
当2
3x =
时，函数()f x 取值极大值为24327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. （2）①当11x -≤<时，由（1）知，
函数()f x 在[]1,0-和2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上单调递减，在20,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增.
因为()12f -=，24
327f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
，()00f =， 所以()f x 在[
)1,1-上的值大值为2. ②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =， 当0a ≤时，()0f x ≤；
当0a >时，()f x 在[]1,e 上单调递增，则()f x 在[]1,e 上的最大值为()f e a =. 故当2a ≥时，()f x 在[]1,e -上最大值为a ； 当2a <时，()f x 在[]1,e -上的最大值为2. 【点睛】
本题三次函数、对数函数为背景，考查利用导数求三次函数的极值，考查分类讨论思想的应用.。