2020年之江教育联盟高三上学期9月第一次联考数学试题及答案

2020届浙江省之江教育联盟高三上学期9月第一次联考数学
试题
一、单选题
1．已知集合{}{}
1,0A x x B x x =<=<，则（ ） A ．{}
0A B x x ⋂=< B ．A B R
=U
C ．{}
1A B x x ⋃=>
D ．A B =∅I
【答案】A
【解析】分别根据集合交集与并集定义求解，再判断选择. 【详解】
因为{}{}
1,0A x x B x x =<=<，
所以{}
0A B x x ⋂=<，{}
1A B x x ⋃=<， 故选：A 【点睛】
本题考查集合交集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．若双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >），则其渐近线方程为（ ）
A ．2y x =±
B ．y x =±
C ．y =
D ．y x = 【答案】B
【解析】由双曲线的离心率为c e a ===即可求得渐近线方程b y x a =±. 【详解】
由题,因为c e a ===所以1b a =, 所以渐近线方程为y x =±, 故选:B 【点睛】
本题考查求双曲线的渐近线方程,考查双曲线的离心率的应用.
3．若实数满足约束条件
2330
2330
10
x y
x y
y
+-≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+≥
⎩
，则2
z x y
=+的最大值是（）
A．5-B．9-C．5 D．9
【答案】C
【解析】由不等式组画出可行域,根据2
y x z
=-+,即在可行域内找到满足截距最大的点,
进而代入求解.
【详解】
由不等式组画出可行域,如图所示,
因为2
z x y
=+,则2
y x z
=-+,作出直线2
y x z
=-+,平移直线,当过点A时,截距最大,此时点()
3,1
A-,则2315
z=⨯-=,
故选:C
【点睛】
本题考查利用线性规划求最值,考查数形结合思想.
4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）是（）
A．
4
201211
3
π++
B．4201211
π++
C ．
4
2012103
π++ D ．4201210π++ 【答案】D
【解析】由三视图可分析,该组合体为一个直径为2的球及一个棱台,由此求得表面积. 【详解】
由图可得该组合体为一个直径为2的球及一个棱台, 则球的表面积为2414ππ⨯=, 棱台的表面积为()221
2244243142012102
⨯+⨯+
⨯+⨯+⨯=+, 故该几何体的表面积为4201210π++, 故选:D 【点睛】
本题考查由三视图求组合体的表面积,考查空间想象能力. 5．在同一平面直角坐标系中，函数()()0a
f x x x =>，()11lo
g 2a g x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭（0a >且1a ≠）的部分图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】对底数a 进行讨论，结合幂函数，对数的性质可得答案；
【详解】
当a ＞1时，幂函数()a
f x x =在()0,∞+递增且过()0,0，由1
01a
<
<，得()11log 2a g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭（0a >且1a ≠）在1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭递减函数，且()110log 02a g =>；
当0＜a ＜1，幂函数()a
f x x =在()0,∞+是递增且过()0,0，由
1
1a
>，得()11log 2a g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）在1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭是递增函数，且
()1
1
0log 02
a
g =<. 当x →+∞时，幂函数()a
f x x =在a ＞1时比在0＜a ＜1增长的快. 故选：A 【点睛】
本题考查了对数函数、幂函数的图象和性质，分类讨论思想，属于基础题． 6．“3a >”是“关于x 的不等式211x x a ++-<有解”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设()123,212112,123,1x x f x x x x x x x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=++-=+-≤<⎨⎪
≥⎪⎪⎩
,由函数图象可得()f x 的最小
值,即求得a 的范围,进而判断{}|3a a >与其关系,即可得到结论. 【详解】
由题,设()123,212112,123,1x x f x x x x x x x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=++-=+-≤<⎨
⎪
≥⎪⎪⎩
, 则()f x 图象如图所示,
当1
2x =-时,()f x 取得最小值为32
,
若不等式211x x a ++-<有解,则3
2
a >, 因为{}|3a a > 3|2a a ⎧
⎫>⎨⎬⎩
⎭,
所以“3a >”是“关于x 的不等式211x x a ++-<有解”的充分不必要条件, 故选:A 【点睛】
本题考查求分段函数最小值,考查充分条件与必要条件的判定,考查分类讨论思想. 7．在四面体ABCD 中，AB BC ⊥，BC CD ⊥，1AB BC CD ===，3AD =
，
点E 为线段AB 上动点（包含端点），设直线DE 与BC 所成角为θ，则cos θ的取值范围为（ ） A ．30,
3⎡⎢⎣⎦
B ．20,
2⎡⎢⎣⎦
C ．2523⎢⎣⎦
D ．32,32⎣⎦
【答案】D
【解析】先利用勾股定理可得CD AC ⊥,则CD ⊥平面ABC ,再建立空间直角坐标系,利用空间向量及数量积求解即可. 【详解】
由AB BC ⊥,1AB BC ==,所以2AC =又3AD =
1CD =,所以222CD AC AD +=,则CD AC ⊥,
因为BC CD ⊥,所以CD ⊥平面ABC , 如图所示建系,
则()0,0,0B ,()0,1,1D ,()0,1,0C ,设(),0,0E x []()
0,1x ∈,
则()0,1,0BC =u u u r ,(),1,1ED x =-u u u r
, 所以2
32cos 22BC ED BC ED
x θ⎡⋅==⎢⋅+⎣⎦u u u r u u u r u u u
r u u u r ，, 故选:D 【点睛】
本题考查空间向量法求异面直线成角,考查空间想象能力.
8．设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，212PF F F =，
且1134PF QF =则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．1
3
- B ．
57
C ．
35
D ．
34
【答案】B
【解析】由题可设14PF k =,13QF k =,作2
F D PQ ⊥,利用椭圆的定义用,,a c k 表示2QF ,DQ PD ,2PF ,再根据勾股定理可得,a c 的齐次方程,进而求解.
【详解】
由题,2122PF F F c ==,则12222PF
a PF a c =-=-, 因为1134PF QF =,设14PF k =,13QF k = ,则422k a c =-,即()1
2
k a c =-, 且21223QF a QF a k =-=-,
作2F D PQ ⊥,则12PD F D k ==,所以5DQ k =,
根据勾股定理可得2222
22PF PD QF DQ -=-,
即(
)()()()2222
22235c k a k k -=--,整理可得2257120a c ac +-=, 解得7
5
a c =或a c =（舍）, 所以57
c e a ==, 故选:B
【点睛】
本题考查椭圆的离心率,考查椭圆的定义的应用,考查数形结合思想. 9．已知数列{}n a ，满足13a =，1
2n n n
a a a +=+（n *∈N ），则使2020
4n a >成立的最小正整数n 为（ ） A ．10 B ．11
C ．12
D ．13
【答案】C 【解析】由
1
2n n n
a a a +=+可得()2211211n n n n a a a a ++=++=+,则可得()()
1
2
211111n n n a a a --+=+=+,即不等式2020
4
n a >转化为1
2
2020414n -->,进而求解.
【详解】 由题,因为
1
2n n n
a a a +=+,即212n n n a a a +=+,所以()2211211n n n n a a a a ++=++=+, 则()2
2111a a +=+,()()2
2
232111=1a a a +=++,L ,()()1
2
211111n n n a a a --+=+=+,
所以1
214n n a -+=,即1
241n n a -=-,
因为2020
4n a >,即1
2
2020414n -->,又n *
∈N ,所以12n ≥,
故选:C 【点睛】
本题考查构造法求数列的通项公式,考查解数列的不等式.
10．设函数()f x =a ∈R ），若存在[]02,3x ∈，使得()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则a 的取值范围为（ ） A ．[]ln33,ln 22-- B ．[]ln36,ln 22-- C ．[]ln36,ln 24-- D ．[]ln 22,ln33++
【答案】B
【解析】由()00f f x x =⎡⎤⎣⎦可得()()1
f
x f x -=,利用反函数的性质可得()00f x x =,
则当[]02,3x ∈时()[]02,3f x ∈,即0000ln 9ln 4x x a x x +-≤≤+-,进而利用单调性求解. 【详解】
因为()00f f x x =⎡⎤⎣⎦,所以()()1
f x f x -=,
因为()f x 与()1
f
x -关于直线y x =对称,
所以()00f x x =,
因为[]02,3x ∈,所以()[]02,3f x ∈,即23≤≤,则
004ln 9x x a ≤+-≤,
所以0000ln 9ln 4x x a x x +-≤≤+-,
设()ln h x x x =+,因为()h x 在[]2,3x ∈上单调递增,所以()[]2ln 2,3ln3h x ∈++, 因为存在[]02,3x ∈,使得()00f f x x =⎡⎤⎣⎦, 所以[]ln36,ln 22a ∈--, 故选:B 【点睛】
本题考查反函数的应用,考查运算能力与转化思想.
二、双空题
11．设复数z 满足()1i z i -=，则z =______，z =______.
【答案】11i 22-
+ 2
【解析】先将z 整理为a bi +的形式,再求得复数的模.
【详解】 由题,()()()1111111222
i i i i z i i i i +-=
===-+--+,
所以z ==
,
故答案为:1122-+i 【点睛】
本题考查复数的模,考查复数的除法运算.
12．过点()3,1P 作圆C ：()2
211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则
PA =______，直线AB 的方程为______.
【答案】2 230x y +-=
【解析】利用勾股定理可得PA =
代入求解即可；再求出以点()3,1P 和点
()1,0C 为直径的圆的方程,将两圆的方程相减即可得到公共弦AB 的方程.
【详解】
由题,圆C :()2
211x y -+=的圆心为()1,0C ,半径1r =,
则2PA =
=
=,
以点()3,1P 和点()1,0C 为直径的圆的方程为()2
2
15224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭, 与圆C 的方程作差可得230x y +-=,即为直线AB 的方程, 故答案为:2；230x y +-= 【点睛】
本题考查圆的几何性质的应用,考查两点间距离公式的应用,考查求公共弦方程. 13．已知函数()2
2
sin sin 6f x x x π⎛
⎫
=--
⎪⎝
⎭
，x ∈R ，则()f x 的最小正周期为______，单调递增区间为______. 【答案】π ,63k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
（k Z ∈）
【解析】先利用降幂公式及和（差）角公式可得()1sin 226f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,利用2T πω=
求得周期,根据222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤-
≤
+∈求得单调增区间.
【详解】
由题,()()2
2
1
1sin sin 1cos 21cos 26223f x x x x x ππ⎡⎤⎛
⎫⎛
⎫=--
=---- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦
11cos 22sin 2426x x x π⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭
,
所以22
T π
π==, 令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈,则,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈,
即单调增区间为,63k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）
故答案为:π；,
6
3k k π
π
ππ⎡
⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
（k Z ∈） 【点睛】
本题考查三角恒等变换的化简,考查正弦型函数的周期和单调区间,考查运算能力.
三、填空题
14．等比数列{}n a
中，1a
2a =，则
22013
82019
a a a a +=+__________，
1234a a a a =__________．
【答案】
8
9 92
【解析】根据已知条件，求出等比数列{}n a 的公比q ，然后将所求式子进行化简，利用等比数列的基本量进行计算. 【详解】
因为等比数列{}n a
中，1a =
2a =，
所以21a q a ==， 所以
()220132201366
82019220131
a a a a a a a a q q ++==++
6
18
9
==
6
4
46
12341
a a a a a q
=⋅=⋅
99
4
82
=⨯=.
故答案为：
8
9
；
9
2
【点睛】
本题考查等比数列通项中基本量的计算，属于简单题.
15．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22
y px
=（0
p>）上任意一点，Q 是线段PF上的点，且2PQ QF
=
u u u r u u u r
，则直线OQ的斜率的最大值为______.
【解析】要求直线OQ的斜率的最大值,由直线的斜率公式可知应求点Q的横、纵坐标的关系,由题可设点
2
,
2
y
P y
p
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,点,0
2
p
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,进而根据
21
33
OQ OP OF
=+
u u u r u u u r u u u r
求得OQ
uuu r
,再由均值不等式求得最值.
【详解】
由题可得,0
2
p
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,设
2
,
2
y
P y
p
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,显然,当00
y<时,0
OQ
k<；当
y>时,0
OQ
k>, 要求OQ
k的最大值,设
y>,
因为2PQ QF
=
u u u r u u u r
,所以2PQ QF
=
u u u r u u u r
,即()
2OQ OP OF OQ
-=-
u u u r u u u r u u u r u u u r
,
所以
2
00
2
21
,
33363
y y
p
OQ OP OF
p
⎛⎫
=+=+
⎪
⎝⎭
u u u r u u u r u u u r
,
所以
2
2
2
3
2
36
OQ
y
k
y p
y p
p y
p
==≤=
+
+
当且仅当22
2y p
=时等号成立,即OQ
k
,
故答案为
【点睛】
本题考查与抛物线有关的最值问题,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力与转化思想.
16
．已知1AB AC ==u u u r u u u r ，AB u u u r
与AC u u u r 所成角为60︒，点P 满足1AP AC -≤u u u r u u u r ，若
AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r
，则x y +的最大值为______.
【答案】23
13
+
【解析】可建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设可得动点P 在圆内运动,设点
13cos ,sin 2P θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
,则可用θ的三角函数表示x y +,进而求得最大值. 【详解】
由题,如图建系,()0,0A ,()10B ,,13,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则()1,0AB =u u u
r ,13,2AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ,
因为1AP AC CP -=≤u u u r u u u r u u u r
,则点P 在以点C 为圆心,半径为1的圆内（包括边界）, 则设13cos ,sin 22P θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
, 因为AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以1
1cos 2
233sin x y y θθ⎧+=+⎪⎪+=, 所以()323
cos 1133
x y θθθϕ+=
++=++, 因为R θ∈,所以()max sin 1θϕ+=,
所以x y +的最大值为1+
,
故答案为:1+ 【点睛】
本题考查平面向量中基底向量的系数和的最值,考查坐标法表示向量的应用.
17．当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是__________． 【答案】[]4,8-
【解析】先对不等式进行整理，得到2440a x b x ≤≤⎛⎫
+
+ ⎪⎝⎭
对[]1,4x ∈恒成立，设2
4
t x x =+
，利用导数求出t 的值域，然后根据一次函数保号性得到关于,a b 的不等式组，通过配凑系数，得到答案. 【详解】
因为322044ax bx a x ≤++≤对[]1,4x ∈恒成立， 两边同除以2x 得2440a x b x ≤≤⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
对[]1,4x ∈恒成立， 故令24
t x x
=+
，[]1,4x ∈，不等式转化为40at b ≤+≤， 38
1t x
'=-
，令0t '=得2x =， 所以()1,2x ∈，0t '<，t 单调递减，()2,4x ∈，0t '>，t 单调递增， 所以2x =时，t 取最小值为3， 当1x =时，5t =；当4x =时，174
t =； 所以t 的值域为[]
3,5， 根据一次函数保号性可知
034
054
a b a b ≤+≤⎧⎨
≤+≤⎩ 令()()357m a b n a b a b +++=+，
得3571m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩
，
所以784a b ≤+≤-， 故答案为：[]4,8- 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题.
四、解答题
18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC ∆的面积为2
3sin b B
.
（1）求sin sin A C ；
（2）若6cos cos 1A C =，3b =，求角B 的大小及ABC ∆的周长，
【答案】（1）2
sin sin 3
A C =
（2）3B π=，周长3+【解析】（1）先利用三角形面积公式可得2
1sin 23sin ABC
b S b
c A B
∆==
,即3sin sin 2c B A b =,再利用正弦定理化边为角即可求解；
（2）由（1）及6cos cos 1A C =可得1
cos cos sin sin 2
A C A C -=-,可解得3
B π=,
再根据正弦定理可得2sin b
R B
==则可得8ac =,进而根据余弦定理可得a c +,即可求解. 【详解】
解:（1）由三角形的面积公式可得2
1sin 23sin ABC
b S b
c A B
∆==
, 3sin sin 2c B A b ∴=,
由正弦定理可得3sin sin sin 2sin C B A B =,
sin 0B ≠Q ,2
sin sin 3
A C ∴=
（2）6cos cos 1A C =Q ,即1cos cos 6
A C =
, 1
cos cos sin sin 2A C A C ∴-=-,
()1
cos 2A C ∴+=-,1cos 2
B ∴=,
0B Q π<<,3
B π
∴=
,
223sin sin sin a b c
R A B C
====Q
， 2
sin sin 3
A C =Q ,8ac ∴=,
2222cos b a c ac B =+-Q ,
229a c ac ∴+-=,()2
33a c ∴+=,
33a c ∴+=,∴周长为333a b c ++=+.
【点睛】
本题考查三角形面积公式的应用,考查利用正弦定理化边为角,考查余弦定理的应用,考查运算能力.
19．如图，已知三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，1
22
AB BC PA PC ===
=，120ABC ∠=︒．
（1）证明：PA BC ⊥；
（2）设点E 为PC 中点，求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析；(2)
217
【解析】(1)由题可利用余弦定理计算AC ,再利用勾股定理证明PA AC ⊥,进而得到
PA ⊥平面ABC ,进而证明PA BC ⊥
(2)由(1)可知PA ⊥面ABC ,故可以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,求出AE 对应的向量与面PBC 的法向量即可求得AE 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】
(1) 2AB BC ==,120ABC ∠=︒,由余弦定理得
2222cos 12AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=,故23AC =又22241216PA AC PC +=+==,故PA AC ⊥.又平面PAC ⊥平面ABC ,且平面
PAC I 平面ABC AC =,故PA ⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ,故PA BC ⊥.
证毕.
(2)由(1)有PA⊥平面ABC,故以A为坐标原点,垂直,
AC AP为x轴,AC
u u u r
为y轴正向,AP
u u u r
为z轴正向建如图空间直角坐标系.
则(0,0,0)
A,3,0)
B,(0,0,2)
P,(0,23,0)
C,3,1)
E.
故3,1)
AE=
u u u r
,(0,3,2)
PC=-
u u u r
,(3,0)
BC=-
u u u r
,
设平面PBC的法向量(,,)
m x y z
=
u r
则
2320
030
z
m PC
m BC x y
⎧
⎧-=
⋅=⎪
⇒
⎨⎨
⋅=-+=
⎪
⎩⎩
u u u v
v
u u u v
v,
令1
y=有
3
1
3
x
y
z
⎧=
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
,故(3,1,3)
m=
u r
,设AE与平面PBC所成角为θ,则
()()()
222
2
2321
sin
7
31313
AE m
AE m
θ===
+++
u u u r u r
g
u u u r u r
故答案为：
21
7
【点睛】
本题主要考查线面垂直的一般证明方法,包括线线垂直与勾股定理等基本方法.
一般求解先与面的夹角的正弦值,均先求直线的向量与平面法向量,再根据直线与法向量的夹角的余弦值等于直线与平面夹角的正弦值求得即可.
20．已知各项均为正数的数列{}n a的前n项和为n S，且2
42
n n n
S a a
=+.
（1）求数列{}n a的前n项和n S；
（2）求证：
22
123
2
22
n
n n n n
S S S S
++
<L
【答案】（1）()1
n
S n n
=+（2）证明见解析
【解析】（1）先求得当1n =时,12a =,再利用1n n n a S S -=-可得12n n a a --=,即数列
{}n a 为以2位首项,2为公差的等差数列,进而求解；
（2）由（1）()1n S n n =+,可知()1
12
n n n n <+<+,进而求证.
【详解】
（1）解:当1n =时,由2
11142a a a =+,得12a =,
当2n ≥时,由()
()22
1114442n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-,得12n n a a --=,
所以数列{}n a 为以2为首项,2为公差的等差数列, 所以2n a n =, 所以()1n S n n =+ （2）由（1）知()1n S n n =+,
因为()1
12
n n n n <
+<+,
所以1231
1231232
n n S S S S n n ++++<
++++<+++++L L L ,
所以22123222
n n n n n
S S S S ++<++++<
L 【点睛】
本题考查由n a 与n S 的关系求数列的通项公式,考查数列的不等式的证明,考查等差数列的应用.
21．已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,A x y 和()22,B x y ，焦点为F .线段AE 的中点为()03,M y ，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段AE 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）2
4y x =（2
【解析】（1）先利用中点公式可得126x x +=,再根据抛物线的定义可得
12AF BF x x p +=++,进而求解；
（2）1
2
ABC S AB d =
⋅V ,d 为点C 到直线AB 的距离,可设直线AB :x my n =+（0m ≠）
,则AB 的中垂线方程为:()23y m m x -=--,可得到点C 的坐标,将直线AB 的方程与抛物线联立,利用弦长公式求得弦长AB ,再利用点到直线距离公式求得d ,则可得到ABC ∆的面积为关于m 的函数,进而利用导函数求得最大值即可. 【详解】
解:（1）由题意知126x x +=,
则1268AF BF x x p p +=++=+=,
2p ∴=,
∴抛物线的标准方程为24y x =
（2）设直线AB :x my n =+（0m ≠）, 由2
4x my n y x
=+⎧⎨
=⎩,得2
440y my n --=, 124y y m ∴+=
212426x x m n ∴+=+=,即232n m =-,
即()
212212
16304812m y y m
y y m ⎧∆=->⎪⎪
+=⎨⎪⋅=-⎪⎩
, 12AB y y ∴=-=设AB 的中垂线方程为:()23y m m x -=--,即()5y m x =--, 可得点C 的坐标为()5,0,
Q 直线AB :232x my m =+-,即2230x my m -+-=,
∴点C 到直线AB
的距离d =
=,
(
)21
412
S AB d m ∴=
⋅=+
令t =则223m t =-
（0t <<,
令()(
)2
44f t t
t =-⋅,
()()2443f t t '∴=-,令()0f t '∴=,
则3
t =,
在0,3⎛ ⎝⎭上()0f t '>
；在3⎛ ⎝上()0f t '<, 故()f t
在⎛ ⎝⎭单调递增
,3⎛ ⎝单调递减, ∴
当t =,
即m =
,max S =
【点睛】
本题考查求抛物线的标准方程,考查利用导函数求最值,考查抛物线内的三角形面积问题,考查运算能力.
22．已知函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =--∈.
（1）当1a =-时，设1x ，2x 为()f x 的两个不同极值点，证明：
()()123ln2f x f x +<--；
（2）设1x ，2x 为()f x 的两个不同零点，证明：()12123f x x x x +<+-. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）求出函数()f x 的导函数()f x '
，1x ，2x 为()f x 的两个不同极值点，转化
为12,x x 为方程2210x bx -+=的两不等正根，再利用韦达定理和基本不等式即可证明； （2）要证明()12123f x x x x +<+-，只要证明()1212ln 1x x x x +≤+-和
()()2
12122a x x b x x -+-+<-，分别利用导数进行证明即可.
【详解】
(1)当1a =-时，2()ln f x x x bx =+-，
2121
()2(0)x bx f x x b x x x
'
-+∴=+-=>，
12,x x Q 为()f x 的两个不同极值点，
12,x x ∴为方程2210x bx -+=的两不等正根，
22
112221,21bx x bx x ∴=+=+，
且由韦达定理121
2
x x =
， ()()()()
22
12111222ln ln f x f x x x bx x x bx +=+-++- 221212ln 2x x x x =---
1212ln 22ln 23x x x x <--=--，
()()123ln 2f x f x ∴+<--.
（2）要证明()12123f x x x x +<+-，
即()()()2
12121212ln 3x x a x x b x x x x +-+-+<+-，
下面分别证明()1212ln 1x x x x +≤+-和()()2
12122a x x b x x -+-+<-，
两式相加即得结论.
（i ）()1212ln 1x x x x +≤+-， 令120t x x =+>， 即证ln 10t t -+≤.
令函数()ln 1g t t t =-+，则1
1()1t
g t t t
-'=-=
， ()g t ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，
()(1)0g t g ∴≤=.
（ii ）再证明()()2
12122a x x b x x -+-+<-， 即()()2
12122a x x b x x +++>.
12,x x Q 为()f x 的两个不同零点，不妨设120x x <<， 2111ln x ax bx ∴=+①
2
222ln x ax bx =+②
∴①-②可得()()()11212122
ln x a x x x x b x x x =+-+-， 两边同时乘以1212
x x x x +-， 可得()()
()()11222121212ln x x x x a x x b x x x x ⋅+=+++-， 即()()11222121212
1ln 1x x x x a x x b x x x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭+++=-. 令12(0,1)x m x =∈，则()()21212(1)ln 1
m m a x x b x x m +⋅+++=-. 即证
(1)ln 21
m m m +⋅>-， 即2(1)4ln 211
m m m m -<=-++， 即证4ln 201
m m +-<+. 令函数4()ln 21h m m m =+-+， 则2
2214(1)()0(1)(1)m m m m m h m '
-=-=>++， ()h m ∴在(0,1)单调递增，
()(1)0h m h ∴<=.
由（i ）（ii ）可得()()()2
12121212ln 3x x a x x b x x x x +-+-+<+-， ()12123f x x x x ∴+<+-.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，构造函数是解决本题的关键，考查考生的等价转化能力、数学计算能力，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，难度大，是难题题.。