2016高考数学(文)一轮模拟训练第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4-2b(新课标)

限时·规范·特训
[A 级 基础达标]
1. [2014·北京高考]已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝( ) A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7)
D. (3,9)
解析：2a －b ＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)，选A 项． 答案：A
2. [2015·广州模拟]已知AB →＝(－1，－2)，BC →＝(－3，－4)，则CA →
＝( )
A. (4,6)
B. (－4，－6)
C. (2,2)
D. (－2，－2)
解析：CA →＝－AC →＝－(AB →＋BC →)
＝－[(－1，－2)＋(－3，－4)]＝－(－4，－6)＝(4,6)． 答案：A
3. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m
n 等于( )
A. －2
B. 2
C. －12
D. 12 解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n ) a －2b ＝(4，－1)，由于(m a ＋n b )∥(a －2b )， 可得－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0， 可得m n ＝－1
2，故选C. 答案：C
4. 已知点A (1，－2)，若向量AB →与向量a ＝(2,3)同向，且|AB →
|＝13，则点B 的坐标为( )
A. (2,3)
B. (－2,3)
C. (3,1)
D. (3，－1)
解析：设AB →＝(x ，y )，则AB →＝k a (k >0)，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2k y ＝3k
，
由|AB →|＝13得k ＝1，故OB →＝OA →＋AB →
＝(1，－2)＋(2,3)＝(3,1)．故选C.
答案：C
5. [2015·朝阳模拟]在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →
，则λ＋μ的值为( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 1
解析：由AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，得AM →＝2λAB →＋2μAC →
，又M 、B 、C 三点共线，∴2λ＋2μ＝1，λ＋μ＝1
2.
答案：A
6. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(22，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则函数f (x )＝3x ＋|λ|
x ＋1
(x >－1)的最小值为( )
A. 10
B. 9
C. 6
D. 3
解析：∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝3
1＝3.
f (x )＝3x ＋
3x ＋1＝3(x ＋1)＋3x ＋1
－3≥23(x ＋1)·3
x ＋1
－3＝6－3
＝3，当且仅当3(x ＋1)＝3
x ＋1，即x ＝0时等号成立，∴函数f (x )的最
小值为3，故选D.
答案：D
7. 已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．
解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →. 设点D 的坐标为(x ，y )，
则DC →
＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →
＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y ＝4
，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)
8. [2015·遵义模拟]△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n ，则cos A ＝________.
解析：∵m ∥n ，∴(3c －b )·c ＝(a －b )(3a ＋3b )， 即bc ＝3(b 2＋c 2－a 2)，
∴b 2＋c 2－a 2bc ＝13，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16. 答案：16
9. [2015·广东江门月考]已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →
，则实数λ的值为________．
解析：如图所示，由AP →＝λPD →且P A →＋BP →＋CP →
＝0，则P 为以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →
，则λ＝－2.
答案：－2
10. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝1
3BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA →＝a ，BC →
＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF →，DF →，CD →.
解：EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－16b －a ＋12b ＝1
3b －a ，
DF →＝DE →＋EF →＝－16b ＋⎝
⎛⎭
⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD →＝CF →＋FD →＝－12b －
⎝ ⎛⎭
⎪⎫16b －a ＝a －23b .
11. 已知点A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →
，求点C 的坐标．
解：(1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →
＝(a －1，b －1)． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →
，
∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.
(2)∵AC →＝2AB →
，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－3
， ∴点C 的坐标为(5，－3)．
12. [2015·武夷月考]已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：
(1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？P 在第三象限？ (2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
解：(1)∵AB →
＝(3,3)，
∴OP →
＝(1,2)＋(3t,3t )＝(3t ＋1,3t ＋2)， 若点P 在x 轴上，则3t ＋2＝0，解得t ＝－2
3； 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－1
3；
若点P 在第三象限，则⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋3t <0，2＋3t <0.解得t <－23. (2)不能，若四边形OABP 成为平行四边形， 则OP →＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋3t ＝3，
2＋3t ＝3.
∵该方程组无解，
∴四边形OABP 不能成为平行四边形．
[B 级 知能提升]
1. [2014·福建高考]在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )
A. e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)
B. e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)
C. e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)
D. e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 解析：设a ＝k 1e 1＋k 2e 2，
A 选项，∵(3,2)＝(k 2,2k 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧
k 2＝3，2k 2
＝2，无解．
B 选项，∵(3,2)＝(－k 1＋5k 2,2k 1－2k 2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －k 1＋5k 2＝3，2k 1－2k 2＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧
k 1＝2，
k 2＝1.
故B 中的e 1，e 2可把a 表示出来． 同理，C 、D 选项同A 选项，无解． 答案：B
2. [2015·广东佛山模拟]设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是________．
解析：k AB ＝－1＋2a －1，k AC ＝2
－b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB
＝k AC ，即－1＋2a －1＝2－b －1，∴2a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝2a ＋b a ＋4a ＋2b
b ＝4
＋b a ＋4a
b ≥4＋2
b a ·4a
b ＝8，
∴1a ＋2b 的最小值是8(当且仅当a ＝14， b ＝1
2时“＝”成立)．
答案：8
3. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为________．
解析：∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．
又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n
2＝1.则m ＋n ＝2. 答案：2
4. [2015·郑州模拟]如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →
＝b .
(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →
； (2)若OE →＝λOA →
，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →
，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →
，
所以OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .
(2)由题意知，EC →∥DC →
， 故设EC →＝xDC →.
因为EC →＝OC →－OE →
＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －5
3b ， 所以(2－λ)a －b ＝x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧
2－λ＝2x ，
－1＝－5
3x ，
解
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝35，
λ＝45.
故λ＝45.。