八上第10讲应用问题中的量与等量

第10讲应用问题中的量与等量
知识要点:
等量关系是利用方程（组）解应用题的关键所在，可从如下几个方面着手来确定问题中的等量关系：
1 •相关计算公式：在几何应用问题中，可根据周长、面积、体积等计算公式确定等量关系；
2•相关数量关系：在行程问题、工程问题、利润问题等中，应熟练掌握相关量之间的关系，如速度、时间与路程，工作效率、工作时间与工作量，单价、总价与数量，成本、售价与利润等等.
3•关键词语：在某些应用问题中常有这样的表述：共有” 比…多（少）…”、是…的几倍”、比…的几
倍多（少）”等，这反映数量之间的和、差、倍、分等关系•在解题时，可根据这些关键字词来找等量关系，按叙述的顺序列出方程（组）•
4 •利用单位“1:”在一些倍分关系的应用问题中，找准标准量“1,”其它量都是与“ 1”相比较而来的，从而
能够利用分率表示某些具体量，再根据相关条件建立方程（组）求解.
5•图、表应用：一些应用题中文字叙述较繁，数量较多，不容易理解，可以借助线段图或表格整理相关数量，直观表达.
在一些复杂的应用问题中，还要注意采取灵活的方法，如“抓住不变量”、“逆向推导”、“挖掘隐含条件”
典型例题：
例1两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以
使一辆车前进60km，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，以使其中一辆车尽可能地远离出发点，则最远离出发点_______________________ km时该返回.
分析：本题关键在于挖掘题目隐含的等量关系：要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，
而乙车留下供两车返回时所用的油.
解：设从开始出发到分别，甲、乙车各用了x桶油，则乙车应留下2x桶油，并借给甲车x桶油，使甲车装
满24桶油，根据题意得（乙车总油量为24桶）x x 2^24，解得x = 6
•••甲车可行驶到6 60 2^- 2 60 =1080 （km）处返回.
例2在三点到四点之间，时针与分针的夹角何时为平角？
分析：钟面上，时针每小时转30o,每分钟转0.5o,分针每分转6o.三点时，时针与分针夹角为90o, x分后
分针转了6x度，时针转了0.5x度，分针追上时针并超过了1800,由此可建立方程求解.
解：设从三点开始，经x分后分针与时针的夹角为1800,根据题意得
解得x -41 ~
13
答：在3点41?分时，时针与分针的夹角为180o.
13
例3从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路•一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡
时每小时行驶35千米.车从甲地开往乙地需 9小时，乙地开往甲地需 7 1小时，问：甲、乙两地间的公路有多
2
少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
分析：本题中数量关系非常明确，利用从甲地到乙地、从乙地到甲地的时间可建立方程组求解•需要注意的 是从甲地到乙地的上坡、下坡在从乙地到甲地时分别为下坡、上坡.
解：设从甲地到乙地的上坡路长为
x 千米，下坡路长为 y 千米，根据题意得
20 35 y
x
1 7 20 35
2
二 x y =210
210千米，从甲地到乙地须行驶 140千米的上坡路.
例4某工程由甲、乙两队合作 6天完成，厂家需付甲、乙两队共
8700元；由乙、丙两队合作
10天完成,
厂家需付乙、丙两队共 9500元；由甲、丙两队合作 5天，完成全部工程的 2，厂家需甲、丙两队共 5500元.现
3
厂家要求不超过15天完成此项工程，可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.
分析：先求出每队的工作效率及每天所需资金，再通过计算每队单独完成所需费用，进行比较得出结论. 解：设甲、乙、丙三队的工作效率分别为
x 、y 、z ,根据题意可得
'6(a +b) =8700 」10(b +c) =9500
、5(a +c) =5500
•••厂家要求不超过15天完成此项工程
•丙队不符合要求，厂家应选甲队或乙队
••T0a =8000 （元），15b =9750 （元），因为 8000 <9750 •甲队单独完成此项工程花钱最少.
例5两个三位整数，它们的和加1得1000,如果把大数放在小数的左边， 并在这两数之间点上一个小数点， 则所组成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所组成的数的
6倍，求这两个数.
分析：本题的关键是问题中的组合数如何表示.如果设大数为 x ,小数为y , “把大数放在小数的左边，并在
^1000）“把小数放在大数的左边，中间点一个小数点”所组成
x =140
y =70
答：甲、乙两地间的公路有 x y 」
6 y z 」 10
15
1 x =— 10 1
解得＜y = —
15 1 z =——
30
•••甲、乙、丙三队单独完成此项工程分别需要 10天、15天、30天. 设厂家每天需付甲、乙、丙三队和费用分别为
a 元、
b 无、
c 元，则有
a =800
解得」b=650
c =300
这两数之间点上一个小数点”所组成的数为（
解：设大数为X ,小数为y ,根据题意得
x +y +1 =1000
」 y
x
x + 丫 =6(y+
)
1000 1000
答：大数为857,小数为142.
例6某果品商店进行组合销售，甲种搭配：
2千克A 种水果，4千克B 种水果；乙种搭配：3千克A 种水
果，8千克B 种水果，1千克C 种水果；丙种搭配：2千克A 种水果，6千克B 种水果，1千克C 种水果•已知 A 种水果每千克2元，B 种水果每千克1.2元，C 种水果每千克10元.某天该商店销售这三种水果共 441.2元，
其中A 种水果的销售额为116元，问C 种水果的销售额为多少元？
分析：本题中数据较多，关系较复杂，可以用表格帮助我们分析较复杂的数量关系.
商店每天的销售额与甲、
乙、丙三种搭配的销售数量有关，因此可从三种搭配的销售数量入手，但销售件数有三个未知数，题中只有两个 等量关系，需整体考虑求解.
解：如图，甲、乙、丙三种搭配所需各种水果的数量如表所示，
设这一天卖出甲、乙、丙三种搭配分另为 x 套、y 套、z 套,
屮冲亦亠/白 ’2（2x+3y+2z ） =116 ‘2x+3y+2z =58
（1） 根据题意得
，i y 丿
整理得/ y
v f Q.8x +25.6y +21.2z=44 12 .22x+64y+53z = 1103 （2）
⑵一11XD,得 31（y z ） =465, A y z =15
乙、丙两种搭配中 C 种都是用1千克，而甲种搭配中不用 C 种水果
••• C 种水果共销售了 15千克，15 10 =150 （元）
A C 种水果的销售额为150元.
例7某工厂有九个车间，每个车间原有一样多的成品，每个车间每天能生产一样多的成品，而每个检验
员检验的速度也一样快， A 组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品
（所有成品指原有的和后来生产的成
品）检验完毕后，再去检验另两个车间的所有成品，又用了三天检验完毕.在此五天内， B 组的检验员也检验完
毕其余的五个车间的所有成品，问
B 组有几个检验员？
分析：本题和 “牛吃草”问题实质一样，检验员检验完的成品数量等于生产出来的成品数量与原有成品数 量之和.
的数为（ y 1000
，再由这两数的关系可得方程组.
解得
x =857 y =142
解：设每个车间原有成品 x 个，每天每个车间能生产 y 个成品；则一个车间生产两天后的所有成品为 (x 2y )
个，一个车间生产 5天后的所有成品为(x 5y )个，由于A 组的8个检验员每天的检验速度相等，可得
2
(x 2y) = 2(x 5y)， 解得 x =4y
2
3
•I 一个检验员一天的检验速度为：/X ⑼_：_8=X 乌J y
2
8
4
又T B 组所检验的是5个车间，这5个车间生产5天后的所有成品为5(x ・5y)=45y 个，而这45y 个成品 需要B 组的人检验5天，所以B 组的人一天能检验 9y 个.
•••所有检验员的检验速度都相等，所以， B 的检验员有：9y-：-3y=12 (人)
4
答：B 组有12个检验员.
例8某班参加一次智力竞赛，共三题，每题或者得满分或者得
0分•其中题A 满分20分，题B 、题C 满
分分别为25分•竞赛结果如下：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，只答对其中两道题的有
15
人•答对题 A 的人数与答对题 B 的人数之和为29;答对题A 的人数与答对题 C 的人数之和为25;答对题B 的 人数与答对题C 的人数之和为20.问这个班平均成绩是多少分？
分析：本题的叙述比较长，头绪比较乱，需要慢慢弄清题意，理出头绪： (1)
任意一个同学的答题情况只有 3种：答对1题、或答对2题、或答对3题；
(2) 由答对题A 、题B 的人数和为29人，答对题 A 、题C 的人数和为25人，答对题B ,题C 的人数和为 20人，不难得出答对题 A 、题B 、题C 的人数和为37人.
(3)
在答对题A ，题B 、题C 的人数和37人中，答对3题的人重复了 3次，只答对两题的人重复了
2 次.
A 、答对题
B 、答对题
C 的人数分别为x 、y 、乙根据题意得
x =17
解得y =12
z =8
•••只答对一题的人数为： (17 12 8) -1 3-2 15=4 (人) •全班人数为： 1 4 15=20 (人)
(另：37— 1 X 2 —15=20
.••全班平均成绩为17 20 12
25 8 25
詔2
20
答：这个班平均成绩是 42分. 课后训练:
1•甲是乙现在的年龄时，乙 10岁；乙是甲现在的年龄时，甲 25岁，那么( )
(A)
甲比乙大5岁 (B )甲比乙大10岁 (C )乙比甲大10岁
产量比七月份要增加(
)
解：设答对题 x y =29 x z =25 y z =20
(D )乙比甲大5岁
2•某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了 20 %，若八月份产品要达到六月份的产量U 八月份的
(A) 20% (B) 25% (C) 80% (D) 75%
3.
—件工作，甲、乙、丙合作需 7天半完成；甲、丙、戊合作需 5天完成；
甲、丙、丁合作需 6天完成;
乙、丁、戊合作需 4天完成，那么这 5人合作完成这件工作所需时间为（
）
（A ） 3 天
（B ） 4天
（C ） 5 天
（D ）7 天
4.
在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到 47、61、60，那么这三个人中最大年
龄与最小年龄的差是 _________ .
5. 因工作需要，对甲、乙、丙三个小组的人员进行三次调整，第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出
分别为
6. 某种电器产品，每件若以原定价的九五折销售，可获利 定价的七五折销售，则亏损
50元，该种商品每件的进价为
7 .如图，在长方形 ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸
如图所示，求图中阴影部分面积.
&团体购买公园门票，票价如下:
购票人数 1〜50 51 〜100 100以上 每人门票费
13元
11元
9元
今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费 支付门票费1008元，问这两个旅游团各有多少人
9.江堤边有洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用两台抽水机抽水，
40
分钟可抽完；如果用 4台同样的抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在 10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 多少台？
10 .某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过
3500米.今有甲、乙、丙三个施工队，分别施工人
行道、非机动车道和机动车道.他们于某天零时同时开工，每天
24小时连续施工.若干天后的零时，甲完成任
务；几天后的18时，乙完成任务，自乙队完成的当天零时起，再过几天后的
8时，丙完成任务，已知三个施工
7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出 7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一 组调出7人给另一组，三次调整后，甲组有 5人，乙组有
13人，丙组有6人. 则甲、乙、丙三个小组原有人数
元.
1314元，若合在一起作为一个团体购票，总计
150元，若以原
B
队每天完成的施工任务分别为300米、240米、180米，问这段路面有多长？
参考答案:
•••当c > 10时，b > 5, a > 23,则马路长超过 3500米, ••• c =5 , b =2 , a =11，马路总长为 300 11 =3300 (米).
1. A .设甲现在x 岁，乙现在y 岁，且x > y ,则有
y
_(x_y)=10，解得* 〔x +(x _y) =25
x = 20 ，右
y =15
x v y ,可得 x = 15
y =20，
不合题意.
2. B .设八月份的产量比七月份要增加 x ,则(1—20%) (1 x) =1,解得x=25% .
2
3. A .设甲、乙、丙、丁、戊的工效分别分
a 、
b 、
c 、
d 、
e ,则有a b c …①,
15
1
ace …②,
5
1
1
a c d …③，
b d e …④，①+②+③+2 x ④得3(a b
c
d e) =1，所以这 6 4
5人合作需3天.
4. 28岁.设三人年龄分别为 x 、y 、z 岁，则有《
x y
z = 47 2 x z ""2 y 亠z |x = 36 + y = 61，解得 <y = 38.
z=10
x =60
2
5. 5, 13,
6.可逆向思考解决.
6. 800.设商品原定价为 x 元，贝 U 0.95x -150 =0.75x
50 , x =1000 , 0.95 1000 -150 =800 (元).
7. 44cm 2.设长方形的长、宽分别为 xcm 、ycm ,则 x 3y =14, x • y -2y =6，解得 x = 8 , y = 2 . & 41, 71 .经分析，有一团人数不超过
50,另一团人数超过 50,但不超过100,不妨设 K x < 50, 5K y
w 100,
则有"x+xyH 314
9(x +y) =1008
口 x = 41 解得J
』=71
9. 6台.设需要x 台抽水机，抽水前洼地原有水量
a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为
b 立方米，而每台
抽水机每分钟可抽出 c 立方米.根据题意得a ・40b =2 40c …①，a ，16b =4 16c …②，a ・10b =x 10c …③.由 ①②得
a n 160。

,
b =2
c ，代入③可得x =a 型 =6 .
3 3
10c
18
8 10 . 3300米.乙队最后一天完成 240
180 (米)，丙队最后一天完成180 60 (米)，设甲队a 天
24
24
完成，再过b 天后的18时乙队完成，自乙队完成的当天零时起，再过
c 天后的8时丙队完成.则有
300a =240(a b) 180 =180(a b c) 60，即 5a =4(a b) 3=3(a b c) 1 j =4b +3 a +b =3c_2
3
b c -1 ,T a 、b 、c 都是正整数
5
••• c 是5的倍数5, 10, 15…,。