河南省新乡、许昌、平顶山高考数学一模试题 理(含解析)新人教A版

河南省新乡、许昌、平顶山2013届高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
23
2．（5分）在复平面内复数，对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则
i
==，同理可得，
=
对应的复数是
3．（5分）（2012•许昌模拟）设函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2（x+）（x∈R），则函数最小正周期为的偶函数
）﹣x+）2x+
4．（5分）（2012•许昌县一模）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）
；
，
y=
y=
（﹣﹣=
6．（5分）（2012•许昌模拟）设向量，均为非零向量，（+2）⊥，（+2）⊥，则，
的夹角为（）
由已知（+2）⊥（+2）⊥，可得（）•（+2）•
解：∵（+2）⊥（+2）⊥，
+2）•=0+2）•=0
•=22
==
本题主要考查了平面向量的数量积的性质：若⊥⇔•=0=0
7．（5分）（2012•许昌模拟）如果双曲线=1（m＞0，n＞0）的渐近线方程渐近线为y=x，则椭圆的离心率为（）
中，
==
8．（5分）（2012•许昌县一模）若α是锐角，且cos（）=﹣，则sinα的值等
）﹣，利用两角差的正弦即可求得
＜＜，又）
）
）﹣]
﹣（sin
×﹣（﹣）×
）是基础，考查转化与运算能力，属
9．（5分）（2012•许昌县一模）某学校对高一新生的体重进行了抽样调查．右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是．（）
=120
10．（5分）（2012•许昌模拟）已知a＞0，则f（x）=lg（ax2﹣bx﹣c）的值域为R的充要条
828
12．（5分）（2012•许昌模拟）设x，y满足时，则z=x+y既有最大值也有最小
﹣
解：满足
的斜率满足：，即﹣
的取值范围是：﹣＜
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）（2012•许昌县一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=3c2，
则cosC最小值为．
（
（
∴cosC=≥（当且仅当
最小值为
故答案为：．
14．（5分）（2012•许昌模拟）已知四面体A﹣BCD中三组对棱分别相等，且长分别为2，，
，则四面体A﹣BCD的外接球的半径为．
，，，故
，
=2
故答案为：
15．（5分）（2012•许昌县一模）甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门，则两人所选
课程中恰有一门相同的概率为．
甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门的基本事件的总数为
所选课程中恰有一门相同的事件包含的基本事件的个数为
所以共有
=．
故答案为
16．（5分）（2012•许昌模拟）若关于x的方程有四个不同的实根，则实数k的取值范围是k＞1 ．
的方程
即方程=
的方程
=有
y==
＜
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（8分）（2012•许昌县一模）根据如图的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x2013；y1，y2，…，y2013
（Ⅰ）写出数列{x n}，{y n}的通项公式（不要求写出求解过程）
（Ⅱ）求数列{x n﹣y n}的前n项和S n（n≤2013）
﹣
）﹣（n≤2013）
18．（8分）（2012•许昌模拟）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90°，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：PD⊥AC；
（Ⅱ）若点M是棱PD的中点．求二面角M﹣AC﹣D的余弦值．
）
，=
=，则由，可得，可取，
=
=．
19．（8分）（2012•许昌模拟）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束．甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计
若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为
（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求甲队获胜场数的分布列和数学期望．
获胜）的概率是，比赛至少打满，建立方程组，即可求
（Ⅰ）由题意
；
；=；
；
+
=0×+1×+2×+3×=
20．（8分）（2012•许昌县一模）在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：=2，=0
（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线l的方程．
（Ⅰ）利用=2，可得坐标之间的关系，利用
联立，利用韦达定理，结合
，则，
=
=2，∴有（
y′=4x，∴k=﹣
﹣
+=0
）+4﹣，∴m=±
的方程为
21．（8分）（2012•许昌模拟）已知函数f（x）=lnx﹣x+ax2．
（I）试确定实数a的取值范围，使得函数f（x）在定义域内是单调函数；
（II）证明：＞．
x=，对
=
，此时
，∵∈（，∴
＞﹣=
22．（10分）（2012•许昌县一模）如图所示四边形ABCD内接于E、O，AC交BD于点E，圆的切线DF交BC的延长线于F，CD平分∠BDF
（Ⅰ）求证：AB•AD=AC•AE
（Ⅱ）若圆的半径为2，弦BD长为2，求切线DF的长．
BD=2
BD=2
DF==
的长为
23．（10分）（2012•许昌县一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（，），直线l过点P，且倾斜角为，方程=1
所对应的曲线经过伸缩变换后的图形为曲线C．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．
（Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|•|PB|的值．
，且倾斜角为，可得直线
，且倾斜角为（∵伸缩变换
，可得，即
的参数方程为（
；
24．（10分）（2012•许昌县一模）已知实数a＞0且函数f（x）=|x﹣2a|﹣|x+a|的值域为P={y|﹣3a2≤y≤3a2}．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若至少存在一个实数m，使得f（m）﹣f（1﹣m）≤n成立，求实数n的取值范围．。