【考前三个月】2018届高考数学(浙江专用,理科)必考题型过关练：专题3 第8练(含答案)

第8练 函数性质在运用中的巧思妙解
题型一 直接考查函数的性质
例1 (2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
破题切入点 首先找出f (x )在(0，＋∞)递增的等价条件，然后从集合的观点来研究充要条件． 答案 C
解析 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；
当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．
所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0。

即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件． 题型二 函数性质与其他知识结合考查
例2 (2013·安徽)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到
n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n ，则n 的取
值范围为( ) A ．{2,3} B ．{2,3,4} C ．{3,4}
D ．{3,4,5}
破题切入点 从已知的比值相等这一数量关系出发，找图象上的表示形式，再找与原函数图象的关系，进一步判断出结果． 答案 B
解析 过原点作直线与函数y ＝f (x )的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n 的取值范围是{2,3,4}．
题型三 对函数性质的综合考查 例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．
(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
破题切入点 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．
解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数， x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0。

∴a <3
2。

又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32。

(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，
∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－2a >0
log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧
a <3
2
a ＝3
2
，
故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1。

总结提高 (1)函数单调性的等价结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0
⇔f (x )在[a ，b ]上递增．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0⇔f (x )在[a ，b ]上递减．
(2)判断单调性时还可根据四则运算法则：若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则． (3)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
(4)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数．
如f (x )＝f (x )＋f (－x )2＋f (x )－f (－x )2，f (x )＋f (－x )2为偶函数，而f (x )－f (－x )
2为奇函数．
(5)求函数的单调性要注意先研究定义域．
1．已知函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝13x ＋2 013－a ，则f (log 31
2)等于( )
A 。

1
2 011×2 012
B 。

1
2 012×2 013
C 。

1
2 013×2 014
D 。

1
2 015×2 014
答案 D
解析 由题意，可知函数f (x )为奇函数， 所以f (0)＝
1
30
＋2 013
－a ＝0，
解得a ＝1
2 014，所以当x ≥0时，
f (x )＝13x ＋2 013－1
2 014。

所以f (log 32)＝
3log 213+2013－12 014
＝
12 015－12 014＝－12 015×2 014。

从而f (log 31
2)＝f (－log 32)
＝－f (log 32)＝1
2 015×2 014。

2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x 。

则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)等于( ) A ．335
B ．337
C ．1 678
D ．2 012
答案 B
解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6。

∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2， 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，
∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 010
6＝335。

而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝335＋2＝337。

3．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在[－1,0]上是增函数，下面五个关于f (x )的命题中：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上为减函数；⑤f (2)＝f (0)．正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
答案 C
解析 由于f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，函数f (x )是以2为最小正周期的周期函数，故命题①正确；由于f (2－x )＝f (－x )＝f (x )，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，命题②正确；偶函数在定义域上关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故命题③不正确；根据周期性，函数在[1,2]上的单调性与[－1，0]上的单调性相同，故命题④不正确；根据周期性，命题⑤正确．故选C 。

4．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数
a 满足f (log 2a )＋f (log 1
2
a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )
A ．[1,2]
B 。

⎝⎛⎦⎤0，1
2 C 。

⎣⎡⎦⎤
12，2 D ．(0,2]
答案 C
解析 由题意知a >0，又log 1
2
a ＝log 2a －
1＝－log 2a 。

∵f (x )是R 上的偶函数，
∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (
log 1
2
a )，
∵f (log 2a )＋f (
log 1
2
a )≤2f (1)，
∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，选C 。

5．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且xf (x )在(－∞，0)上递减，若a ＝20。

2·f (20。

2)，
b ＝ln 2·f (ln 2)，
c ＝(log 1
214
)·f (
log 1
2
1
4
)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b
D ．a >c >b
答案 B
解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称， 所以y ＝f (x )关于y 轴对称． 所以函数y ＝xf (x )为奇函数．
因函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减， 从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．
因为1<20。

2<2,0<ln 2<1，
log 1
2
1
4＝2，
从而0<ln 2<20。

2<
log 1
2
14，
所以b >a >c 。

6．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；
②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称． 则下列结论中正确的是( ) A ．f (4。

5)＜f (7)＜f (6。

5) B ．f (7)＜f (4。

5)＜f (6。

5) C ．f (7)＜f (6。

5)＜f (4。

5) D ．f (4。

5)＜f (6。

5)＜f (7) 答案 A
解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数． 所以f (4。

5)＝f (4＋12)＝f (1
2)，
f (7)＝f (4＋3)＝f (3)， f (6。

5)＝f (4＋52)＝f (5
2)．
又f (x )在[0,2]上为增函数．
所以作出其在[0,4]上的图象知f (4。

5)＜f (7)＜f (6。

5)．
7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 8(x ＋1)，则f (－2 013)＋f (2 014)的值为________．
答案 13
解析 当x ≥0时，有f (x ＋2)＝－f (x )， 故f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )． 由函数f (x )在R 上为偶函数， 可得f (－2 013)＝f (2 013)， 故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)， f (2 014)＝f (4×503＋2)＝f (2)． 而f (1)＝log 8(1＋1)＝log 82＝1
3，
f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)＝－lo
g 81＝0。

所以f (－2 013)＋f (2 014)＝1
3。

8．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a ≤
b ，
b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则
函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________． 答案 1
解析 依题意，h (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，0<x ≤2，
－x ＋3，x >2.
当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数； 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1。

9．(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________． 答案 (－5,0)∪(5，＋∞)
解析 由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2
－4x ，因此f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2－4x ，x ≥0－x 2－4x ，x <0
不等式f (x )>x 等价于⎩
⎪⎨⎪⎧ x ≥0x 2－4x >x ，或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0
－x 2－4x >x ，
解得：x >5或－5<x <0。

10．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：
①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；
③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
其中正确命题的序号为________．(把正确命题的序号都填上) 答案 ①②④ 解析
1＋2x ＋1－2x
2
＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t
＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，由f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于
－x ＋x ＋2
2＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确．
11．设函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1。

(1)求证：f (x )是R 上的增函数；
(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3。

(1)证明 方法一 设x 1<x 2， ∴Δx ＝x 2－x 1>0，∴f (Δx )>1，
∴f (x 2)＝f (x 1＋Δx )＝f (x 1)＋f (Δx )－1>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数．
方法二 ∵f (0＋0)＝f (0)＋f (0)－1，∴f (0)＝1， ∴f (0)＝f (x －x )＝f (x )＋f (－x )－1＝1， ∴f (－x )＝2－f (x )．设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)－1
＝f (x 2)＋2－f (x 1)－1＝f (x 2)－f (x 1)＋1>1， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数．
(2)解 f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3， ∴f (3m 2－m －2)<3＝f (2)．
又由(1)的结论知f (x )是R 上的增函数， ∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <4
3。

12．定义在R 上的单调函数y ＝f (x )满足f (2)＝3，且对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)试求f (0)的值并证明函数y ＝f (x )为奇函数．
(2)若f (m ·3x )＋f (3x －9x )<3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，① 令x ＝y ＝0，代入①式，得
f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0。

令y ＝－x ，代入①式，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．
(2)因为f (2)＝3，即f (2)>f (0)， 又f (x )在R 上是单调函数， 所以f (x )在R 上是增函数， 因为f (m ·3x )＋f (3x －9x )<3， 可化为：f ((m ＋1)·3x －9x )<f (2)，
所以(m ＋1)3x －9x <2对任意x ∈R 恒成立． 即9x －(m ＋1)3x ＋2>0对任意x ∈R 恒成立． 令t ＝3x ，则t >0，
问题等价于：t 2－(1＋m )t ＋2>0在(0，＋∞)上恒成立， 令g (t )＝t 2－(m ＋1)t ＋2，其对称轴方程为t ＝m ＋12，
当
m ＋1
2
<0，即m <－1时， g (t )在(0，＋∞)上递增且g (0)＝2>0， 所以m <－1满足题意． 当
m ＋1
2
≥0，即m ≥－1时， g (t )min ＝g (
m ＋1
2
)>0， 所以－1≤m <22－1。

综上所述，实数m 的取值范围为m <22－1。