昌邑市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

昌邑市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知函数，其中，为自然对数的底数．当时，
函数()e sin x
f x x =x ∈R e 2.71828=L [0,]2
x π
∈()y f x =的图象不在直线的下方，则实数的取值范围（
）
y kx =k A ． B ． C ． D ．(,1)-∞(,1]-∞2
(,e )π-∞2
(,e ]
π
-∞【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．
2． “m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ）
A ．720
B ．270
C ．390
D ．300
4． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量（单位：毫克/升）与时间（单位：P t 小时）间的关系为（，均为正常数）．如果前5个小时消除了的污染物，为了消除0e kt
P P -=0P k 10%27.1%
的污染物，则需要（ ）小时.
A. B. C. D. 81015
18
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新
课标的这一重要思想.
5． 设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；
③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ．其中正确命题的个数是（ ）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 已知f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ）
A ．（1，5）
B ．（1，4）
C ．（0，4）
D ．（4，0）7． 已知i 为虚数单位，则复数
所对应的点在（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8． （2014新课标I ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知a ＞0，实数x ，y 满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（
）
A ．2
B ．1
C ．
D ．
10．用秦九韶算法求多项式f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2+0.3x+2，当x=﹣2时，v 1的值为（ ）
A ．1
B ．7
C ．﹣7
D ．﹣5
11．三角函数的振幅和最小正周期分别是（ ）
()sin(2)cos 26
f x x x π
=-+
A B C D 2
π
π
2
π
π
12．已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣1
D ．1
二、填空题
13．已知向量
、
满足
，则|+|= ．
14．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O 的表面上，且球O 的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 ．
15．求函数
在区间[
]上的最大值 ．
16．已知为常数，若,则_________.
,a b ()()22
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，5a b -=
17．直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐
标原点），则点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为 ．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．
三、解答题
19．已知集合P={x|2x 2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0}．（1）若a=1，求P ∩Q ；
（2）若x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
20．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数有一个零点为4，且满足.
()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈()01f =（1）求实数和的值；
b c （2）试问：是否存在这样的定值，使得当变化时，曲线在点处的切线互相平行？0x a ()y f x =()()
00,x f x 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；0x （3）讨论函数在上的零点个数.
()()g x f x a =+()0,4
21．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +，数列{b n }满足b n =
（Ⅰ）证明：b n ∈（0，1）（Ⅱ）证明：
=
（Ⅲ）证明：对任意正整数n 有a n
．
22．已知向量=（x，y），=（1，0），且（+）•（﹣）=0．
（1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．
23．已知向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）﹣k在
的零点个数．
24．已知等差数列{a n}的首项和公差都为2，且a1、a8分别为等比数列{b n}的第一、第四项．
（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）设c n=，求{c n}的前n项和S n．
昌邑市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】由题意设，且在时恒成立，而
()()e sin x
g x f x kx x kx =-=-()0g x ≥[0,]2
x π∈．令，则，所以在上递
'()e (sin cos )x g x x x k =+-()e (sin cos )x h x x x =+'()2e cos 0x h x x =≥()h x [0,]2
π
增，所以．当时，，在上递增，，符合题意；当
21()h x e π
≤≤1k ≤'()0g x ≥()g x [0,
]2
π
()(0)0g x g ≥=时，，在上递减，，与题意不合；当时，为一
2
e k π≥'()0g x ≤()g x [0,]2
π
()(0)0g x g ≤=21e k π
<<()g x '个递增函数，而，，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得
'(0)10g k =-<2'()e 02
g k π
π
=->0x ，当时，，从而在上单调递减，从而，与题
0'()0g x =0[0,)x x ∈'()0g x ≤()g x 0[0,)x x ∈()(0)0g x g ≤=意不合，综上所述：的取值范围为，故选B ．
k (,1]-∞
2． 【答案】B
【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x ﹣1=0，2x ﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y ﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；
当m ≠0，2时，两条直线相互垂直，则
×
=﹣1，解得m=1．
综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．
∴“m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．故选：B ．
【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．　
3． 【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；所求方案有： +
+
=390．
故选：C ．4． 【答案】15 【
解
析
】
5．【答案】B
【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，
则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；
②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；
③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，
平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，
平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，
由AB、BC、BB1两两相交，得：
若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，
则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，
得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
6．【答案】A
【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+a x﹣1得，f（1）=5，
则函数f（x）过定点（1，5）．
故选A．
7．【答案】A
【解析】解：==1+i，其对应的点为（1，1），
故选：A．
8．【答案】C
【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx||sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
9．【答案】C
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，
由，解得，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，
∴﹣1=﹣2a，
解得a=．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
10．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2
=（（（（（x﹣5）x+6）x+0）x+2）x+0.3）x+2，
∴v0=a6=1，
v1=v0x+a5=1×（﹣2）﹣5=﹣7，
故选C．
11．【答案】B
【解析】()sin
cos 2cos
sin 2cos 26
6
f x x x x
π
π
=-+
31
cos 222sin 2)22
x x x x ==-
，故选B ．
6
x π
=+12．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax+y ，得y=﹣ax+z ，
若a=0，此时y=z ，此时函数y=z 只在B 处取得最小值，不满足条件．若a ＞0，则目标函数的斜率k=﹣a ＜0．平移直线y=﹣ax+z ，
由图象可知当直线y=﹣ax+z 和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a ＜0，则目标函数的斜率k=﹣a ＞0．平移直线y=﹣ax+z ，
由图象可知当直线y=﹣ax+z ，此时目标函数只在C 处取得最小值，不满足条件．综上a=1．故选：D ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z 的几何意义是解决本题的关键．注意要对a 进行分类讨论．　
二、填空题
13．【答案】　5　．
【解析】解：∵ =（1，0）+（2，4）=（3，4）．∴
=
=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
14．【答案】 ．
【解析】解：如图，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，
∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，
再设球的半径为r，由球O的表面积为7π，得4πr2=7π，∴r=．
设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH=，
∴r2=（）2+（a）2，即r=a，
∴a=．
则三棱柱的底面积为S==．
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx
=+sin2x
=sin（2x﹣）+．
又x∈[，]，
∴2x﹣∈[，]，
∴sin（2x﹣）∈[，1]，
∴sin（2x﹣）+∈[1，]．
即f （x ）∈[1，]．故f （x ）在区间
[，]上的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．　
16．【答案】【解析】
试题分析：由，得，
()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，22
()4()31024ax b ax b x x ++++=++即，比较系数得，解得或
2222
24431024a x abx b ax b x x +++++=++22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩
1,7a b =-=-，则.
1,3a b ==5a b -=考点：函数的性质及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简的解析式是解答的关键.()f ax b +17．【答案】 ．
【解析】解：∵△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），∴圆心到直线ax+by=1的距离d=，
即d=
=
，
整理得a 2+2b 2=2，
则点P （a ，b ）与点Q （1，0）之间距离d=
=
≥
，
∴点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．　
18．【答案】 ．
【解析】解：在△ABC 中，∵6a=4b=3c ∴b=
，c=2a ，
由余弦定理可得
cosB===．
故答案为：
．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a 表示b ，c 是解决问题的关键，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】 【解析】解：（1）
当a=1时，Q={x|（x ﹣1）（x ﹣2）≤0}={x|1≤x ≤2}则P ∩Q={1}
（2）∵a ≤a+1，∴Q={x|（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0}={x|a ≤x ≤a+1}∵x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，∴P ⊆Q ∴
，即实数a 的取值范围是
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．　
20．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）当或时，在有两个零点；1
,14
b c ==1a <-0a >()g x ()0,4当时，在有一个零点.
10a -≤≤()g x ()0,4【解析】试题分析：
（1）由题意得到关于实数b ,c 的方程组，求解方程组可得；1
,14
b c =
= （3）函数
的导函数，结合导函数的性质可得当或时，在
()g x ()()2132444g x x a x a ⎛
⎫=+--+ ⎪⎝
⎭'1a <-0a >()g x 有两个零点；当时，在有一个零点.
()0,410a -≤≤()g x ()0,4试题解析：
（1）由题意，解得；
()()01{ 440
f c f b c =+=-+=1
{ 41
b c =
=（2）由（1）可知，()()3
2
4f x x a x =+--1414a x ⎛⎫
+
+ ⎪⎝
⎭
∴；()()2132444f x x a x a ⎛⎫=+--+
⎪⎝
⎭
'
假设存在满足题意，则是一个与无关的定值，0x ()()2000132444f x x a x a ⎛⎫
=+--+ ⎪⎝
⎭
'a 即是一个与无关的定值，()20001
24384
x a x x -+--
a 则，即，平行直线的斜率为；0240x -=02x =()1724
k f ==-'（3），()()()3
2
4g x f x a x a x =+=+-1414a x a ⎛⎫
-+
++ ⎪⎝
⎭
∴，()()2132444g x x a x a ⎛
⎫=+--+
⎪⎝⎭'其中，
()21441244a a ⎛
⎫∆=-++= ⎪⎝
⎭()224166742510a a a ++=++>设两根为和，考察在上的单调性，如下表
()0g x '=1x ()212x x x <()g x R
1°当时，，，而，0a >()010g a =+>()40g a =>()15
2302
g a =--
<∴在和上各有一个零点，即在有两个零点；()g x ()0,2()2,4()g x ()0,42°当时，，，而，0a =()010g =>()40g a ==()15
202
g =-
<∴仅在上有一个零点，即在有一个零点；
()g x ()0,2()g x ()0,43°当时，，且，0a <()40g a =<13024g a ⎛⎫=->
⎪⎝⎭
①当时，，则在和上各有一个零点，
1a <-()010g a =+<()g x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
即在有两个零点；
()g x ()0,4②当时，，则仅在上有一个零点，10a -≤<()010g a =+≥()g x 1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
即在有一个零点；
()g x ()0,4综上：当或时，在有两个零点；1a <-0a >()g x ()0,4当时，在有一个零点.
10a -≤≤()g x ()0,4点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f （x ）在[a ，b ]内所有使f ′（x ）＝0的点，再计算函数y ＝f （x ）在区间内所有使f ′（x ）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．21．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由b n=，且a n+1=a n+，得，
∴，下面用数学归纳法证明：0＜b n＜1．
①由a1=∈（0，1），知0＜b1＜1，
②假设0＜b k＜1，则，
∵0＜b k＜1，∴，则0＜b k+1＜1．
综上，当n∈N*时，b n∈（0，1）；
（Ⅱ）由，可得，，
∴==．
故；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
，
故．
由知，当n≥2时，
=．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．　
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意向量=（x，y），=（1，0），且（+）•（﹣）=0，
∴，
化简得，
∴Q点的轨迹C的方程为．…
（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．①…
（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x P，y P），x M、x N分别为点M、N的横坐标，则
，
从而，，…
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
则，即2m=3k2+1，②
将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得，解得，
故所求的m的取值范围是（，2）．…
（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，
解得﹣1＜m＜1．…
综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2），
当k=0时，m的取值范围是（﹣1，1）．…
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．　
23．【答案】
【解析】解：（1）∵向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．
∴f（x）=cos+=sin+cos+=sin（+）+，
∴最小正周期T==4π，
2kπ﹣≤+≤2kπ+，
则4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z．
故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z；
（2））∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为
：y=g（x）=sin[（x﹣+）]+=sin（﹣）+，
∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣）+﹣k，
∵x∈[0，]，可得：﹣≤x﹣≤π，
∴﹣≤sin（x﹣）≤1，
∴0≤sin（x﹣）+≤，
∴若函数y=g（x）﹣k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，
∴实数k的取值范围是[0，]．
∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是0；
当0≤k＜1时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是2；
当k=0或k=时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是1．
【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．
24．【答案】
【解析】解：（1）由等差数列通项公式可知：a n=2+（n﹣1）2=2n，
当n=1时，2b1=a1=2，b4=a8=16， (3)
设等比数列{b n}的公比为q，则， (4)
∴q=2， (5)
∴ (6)
（2）由（1）可知：log2b n+1=n (7)
∴ (9)
∴，
∴{c n}的前n项和S n，S n=． (12)
【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式，等比数列性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．。