人教A版高中数学选择性必修第一册3-3-1抛物线及其标准方程课件

(二)基本知能小试 1．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则点P的轨迹是
()
A．抛物线 B．线段
C．直线
解析：动点P的条件满足抛物线的定义．
答案：A
D．射线
2．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨 迹方程为________．
答案：y2＝8x
素养．
知识点一 抛物线的定义 (一)教材梳理填空 抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的 距离相等的点的轨迹叫
做抛物线． (2)焦点：定点F. (3)准线：定直线l.
[微思考] 在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛 物线吗？
提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于定直 线的一条直线，l不过定点F时，点的轨迹是抛物线．
解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，p＝2，准线方程为 x＝－p2＝－1. 答案：2 x＝－1
2．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 解：(1)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准 线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标 准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. (2)对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
[解] 由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F12，0的距离比它到 y 轴的距离大12， 所以动点 M 到 F12，0的距离与它到直线 l：x＝－12的距离相等．由抛物线的定 义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为 y2＝2px(p>0)的形式，而p2＝12，所以 p＝1,2p＝2，故点 M 的轨迹方程为 y2＝ 2x(x≠0)．
3或32，－
3.
2．[变结论]若本例中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值， 并求出点M的坐标． 解：如图，由于点 M 在抛物线上，所以|MF|等于点 M 到其 准线 l 的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN| ＝3＋12＝72.当 A，M，N 三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值， 亦即|MA|＋|MF|取最小值72，这时 M 的纵坐标为 2.可设 M(x0,2)，代入抛物线方程得 x0＝2，即 M(2,2)．
[对点练清] 1．[变结论]若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
解：设点 N 的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点 M 的轨迹方程为 y2＝2x(x≠0)， 所以由抛物线的定义得 x0＋12＝2，解得 x0＝32.因为 y20＝2x0，所以 y0＝± 3，
故点 N 的坐标为32，
如图所示，过 M 作 MH⊥l，垂足为 H， 依题意得|MB|＝|MH|， 所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当 A，M，H 三点共线时，|MA|＋|MH|取得 最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时 M2，12.变电房 M 建在 A 地正南方向 且与 A 地相距72 km 时，所用电线长度最短，最短长度为 6 km.
[典例 1] 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为 y＝23； (2)经过点(－3，－1)．
[解] (1)因为抛物线的准线交 y 轴于正半轴，且p2＝23，则 p＝43，所以所求 抛物线的标准方程为 x2＝－83y.
(2)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为 y2＝－2px(p>0) 或 x2＝－2py(p>0)．
[析题建模]
解：(1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为 原点，建立直角坐标系xOy，则B(0,2)，A(2,4)． 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在 的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线． 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则p＝4， 故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. (2)要使架设电路所用电线长度最短， 即|MA|＋|MB|值最小．
0－122＋2－02＝ 217.
二、应用性——强调学以致用 2.如图所示，A 地在 B 地东偏北 45°方向，相距 2 2 km 处，
B 地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l 相距 4 km.已知 曲线形公路 PQ 上任意一点到 B 地的距离等于到高铁线 l 的距离，现要在公路旁建造一个变电房 M(变电房与公路之间的距离忽略不计)， 分别向 A 地、B 地送电． (1)试建立适当的直角坐标系，求环形公路 PQ 所在曲线的轨迹方程； (2)问变电房 M 应建在相对 A 地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路 所用电线长度最短？并求出最短长度．
当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为 x2＝－12y； 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为 y2＝16x. ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－12y 或 y2＝16x.
题型二 抛物线定义及应用 [学透用活]
[典例 2] 若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F12，0的距离比它到 y 轴的距离大12. 求点 M 的轨迹方程．
解析：抛物线 y2＝－8x 的焦点在 x 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是 (－2,0)．
答案：B
2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.
答案：C
3．抛物线 x＝4y2 的准线方程是
A．y＝12
B．y＝－1
C．x＝－116
D．x＝18
解析：由 x＝4y2 得 y2＝14x，故准线方程为 x＝－116.
答案：C
()
题型一 抛物线的标准方程 [学透用活]
四种位置的抛物线标准方程的对比 (1)共同点： ①原点在抛物线上； ②焦点在坐标轴上； ③焦点的非零坐标都是一次项系数的14.
(2)不同点： ①焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程 的右端为±2py，左端为x2. ②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)正半轴上，方 程右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)负半 轴上，方程右端取负号．
题型三 抛物线的实际应用 [学透用活]
[典例 3] 某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶 5 m 时，水面宽 8 m， 一木船宽 4 m，高 2 m，载货后船露在水面上的部分高为34 m，问水面上涨到与 拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
[解] 以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物 线方程为 x2＝－2py(p>0)，
由题意知，点 A(4，－5)在抛物线上(设 AA′为水面宽且 AA′＝8 m)，所以 16＝－2p×(－5)，2p＝156，所以抛物线方程为 x2＝－156y(－4≤x≤4)．
设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于 B，B′(B′与 B 关于 y 轴对称)时，船开始不能通航，设 B 点坐标为(2，y)，由 22＝ －156y，得 y＝－54，此时水面与抛物线拱顶相距|y|＋34＝54＋34＝ 2(m)．
若抛物线的标准方程为 y2＝－2px(p>0)，
则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得 p＝16； 若抛物线的标准方程为 x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得 p＝92. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝－13x 或 x2＝－9y.
[方法技巧] 1．用待定系数法求抛物线标准方程的4步骤
x2＝－2py(p>0) __0_，__－__p2_ __y_＝__p2__
2．抛物线标准方程的特点
(1)是关于x，y的二元二次方程． (2)p的几何意义是 焦点到准线 的距离．
(二)基本知能小试
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是
()
A．(2,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0)
2．求抛物线的标准方程时需注意的 3 个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系． (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2＝mx 或 x2＝ny，这样可以减 少讨论情况的个数． (3)注意 p 与p2的几何意义．
[对点练清] 1．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝______，准线方程为________．
知识点二 抛物线的标准方程
(一)教材梳理填空 1．抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
焦点坐标 准线方程 _p2_，___0__ _x_＝__－____
y2＝－2px(p>0) _－__p2_，___0__ _x_＝__p2__
图形
标准方程 x2＝2py(p>0)
焦点坐标 准线方程 _0_，___p2__ __y_＝__－__p2_
[方法技巧] 抛物线定义的2种应用
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准 实现距
线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的 离转化
相互转化，从而简化某些问题 解决最 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用 值问题 抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题
[方法技巧] 求解抛物线实际应用题的5步骤
[对点练清]
喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出的水流呈抛物线形，且最高点B
高5 m，与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，
则管柱OA的长是多少？ 解：如图所示，建立直角坐标系，则 B 点坐标为(0,0)，设水流 所形成的抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0)． 因为点 C(5，－5)在抛物线上，所以 25＝－2p·(－5)， 因此 2p＝5，所以抛物线的方程为 x2＝－5y. 因为点 A(－4，y0)在抛物线上， 所以 16＝－5y0，即 y0＝－156， 所以 OA 的长为 5－156＝1.8(m)． 所以管柱 OA 的长为 1.8 m.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛
物线准线的距离之和的最小值． 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于 到焦点的距离．由图可知，当点 P，A(0,2)和抛物线的焦点 F 12，0 三 点 共 线 时 距 离 之 和 最 小 ． 所 以 最 小 距 离 d ＝
3．3 抛物线
3．3.1 抛物线及其标准方程 [新课程标准] 1．掌握抛物线的定义，理解抛物线标准方程的推导过程． 2．掌握抛物线方程的四种形式，会用待定系数法求抛物线的方程并作出几何图形． 3．了解抛物线的几何意义，会用几何意义解决相关问题． 4．通过对抛物线及其标准方程的学习，达成逻辑推理、直观想象和数学运算的核心