(理)一轮针对训练 第2章 基本初等函数、导数及其应用 第10课时

一、选择题
1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．0 解析：选B.由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.
2．已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( )
A ．(0,0)
B ．(1,1)
C ．(0,1)
D ．(1,0)
解析：选D.由题意知，函数f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f (x )中可得P (1,0)．
3．(2011·高考江西卷)曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )
A ．1
B ．2
C ．e D.1e
解析：选A.∵y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1.
4．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2013(x )等于( )
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos x
解析：选C.∵f n (x )＝f n ＋4(x )，
故f 2012(x )＝f 0(x )＝sin x ，
∴f 2013(x )＝f ′2012(x )＝cos x .
5．(2013·济南质检)若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )
A ．0
B ．锐角
C ．直角
D ．钝角
解析：选D.由已知得：
f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )．
∴f ′(1)＝e(cos1－sin1)．
∵π2>1>π4
，而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1， ∴f ′(1)<0.
即f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率k <0.
∴切线的倾斜角是钝角．
二、填空题
6．(2011·高考重庆卷改编)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点()1，2处的切线方程为________． 答案：y ＝3x －1
7．(2013·黄石质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.
解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，
由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.
答案：e
8．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13
x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝________.
解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，
∴导函数f ′(x )的图象开口向上．
又∵a ≠0，其图象必为第三张图．
由图象特征知f ′(0)＝a 2－1＝0，且－a >0，∴a ＝－1.
故f (－1)＝－13－1＋1＝－13
. 答案：－13
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y ＝(1－x )(1＋1x
)；(2)y ＝ln x x ； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝(1＋sin x )2.
解：(1)∵y ＝(1－x )(1＋1x )＝1x －x ＝x －12－x 12，
∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12
. (2)y ′＝(ln x x )′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝(sin x cos x )′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x
＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x
. (4)y ′＝[(1＋sin x )2]′
＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′
＝2(1＋sin x )·cos x
＝2cos x ＋sin2x .
10．已知曲线y ＝13x 3＋43
. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；
(3)求斜率为1的曲线的切线方程．
解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43
上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为k 1＝4.
∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.
(2)设曲线y ＝13x 3＋43
与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为k 2＝x 20.
∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即
y ＝x 20·x －23x 30＋43
. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43
， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，
∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，
∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，
解得x 0＝－1或x 0＝2，
故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.
(3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为：
x 20＝1，x 0＝±
1. 切点为(－1,1)或⎝⎛⎭
⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53
＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.
一、选择题
1．下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln2
；③(e x )′＝e x ； ④(1ln x
)′＝x ；⑤(x ·e x )′＝e x ＋1. A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 解析：选B.求导运算正确的有②③2个，故选B.
2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A ．[0，π4)
B ．[π4，π2
) C ．(π2，3π4] D ．[3π4
，π) 解析：选D.∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2
. 令e x ＋1＝t ，则e x ＝t －1且t >1，
∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t
. 再令1t
＝m ，则0<m <1， ∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12
)2－1，m ∈(0,1)． 容易求得－1≤y ′<0，∴－1≤tan α<0，得34
π≤α<π. 二、填空题
3．(2013·苏州十校联考)已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭
⎫π4＝________. 解析：由已知：f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x .则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，因此f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ⎝⎛⎭
⎫π4＝0.
答案：0
4．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.
解析：∵{a n }是等比数列，且a 1＝2，a 8＝4，
∴a 1·a 2·a 3·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212.
∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，
∴f ′(0)等于f (x )中x 的一次项的系数．
∴f ′(0)＝a 1·a 2·a 3·…·a 8＝212.
答案：212
三、解答题
5.
(2013·营口质检)如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a ＜－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .
(1)求直线l 1的方程；
(2)求△ABD 的面积S 1.
解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点，
∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4，
所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，
即4x ＋y ＋2＝0.
(2)点A 的坐标为(－1,2)，
由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)，
点D 的坐标为(a ，－4a －2)，
∴△ABD 的面积为
S 1＝12
×|2a 2－(－4a －2)|×|－1－a | ＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.。