6--矩阵-特殊矩阵

2
AA
T a i1
ai2
a in
n
a i1 ai2 a in
i行 Nhomakorabea

k 1
n
a ik
2

故

k 1
10 14
单位矩阵的用处 例
设 1 A 5 1 4 , B 2 7 6 , AX B X , 求 X . 8
思考题： 若 XA=B-X, 方程该如何变形？ XA+X E=B X(A+E)=B，
18 X 19 8 9
( a ii 0 )
性质：（1）A 是对称阵

A
T
A
T
A 是反对称阵 （2）A,B 是 n 阶对称阵
A
A
A B 是对称阵
注意： A,B是n阶对称阵 AB 是对称阵
证明： A,B是n阶对称矩阵，则
AB 对称 AB BA
证
“”
A
T
A, B
T
B , ( AB )
： A kE .
| kE n | k .
n
思考题：
( A E ) ? A 2 AE E
2 2 2
等式成立
A E
2
2
? ( A E )( A E )
(A E ) A C A B
n n 1 n
n1
B C
n 2
n1 n
A B
n1
E B
n1
证
令B
1 2
( A A ), C
T
1 2
( A A )即可。
T
唯一性。 若 A B C B 1 C 1 , 为 A 的两个分解， 使得 B , B 1 对称， C , C 1 反对称， 则需证明 B B 1 , C C 1 .
练习： 设 A 与 B 为两个 n 阶矩阵，A 为反对称矩阵， B 为对称矩阵，则 AB-BA 为对称矩阵。 证
n
E A B ( A E )( A B
n n
n1
A
B AB
n 2
E B )
例 解
设
1 A 1 1
0 1 1
0 n 0 ，计算 A 1
1 0 0 1 0 A 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 3 2 B O B 0 0 0 1 0 0
x 12 x 11 证 x 22 x 11 设 X x n1 x n 2 a 1 x 11 a 2 x 12 a 1 x 11 a 2 x 22 XA a1 x n1 a 2 x n 2 x1n a 1 x 11 a 1 x 12 a 1 x 1 n x2n a 2 x 11 a 2 x 22 a 2 x 2 n , 有 AX x nn a n x n 1 a n x n 2 a n x nn a n x1n an x2n ( a j x ij ) a n x nn ( a i x ij )
由 AX XA 得 由 ai a j (i j) x ij 0 ( i j )
a i x ij a j x ij
( a i a j ) x ij 0

即X为对角阵
a 11 b 11 b 22 a 22 b 22 a nn b nn b nn

(2) A
T
A
BA
（二）单位矩阵
性质：
(1 )
1 I In E En
1
1
E m Am n Am n
Am n E n Am n
EA AE A
若 A 为 n 阶矩阵，则
(2)
E
k
E
( 3)
| E | 1
（三） 数量矩阵
k A k
k
对角矩阵是一种 特殊的对角阵
上述数量矩阵可以写作
2
所以
A 2 A 8 E ( A 2 E )( A 4 E ).
2
（四） 三角形矩阵—两种类型
a 11 0 0 a 12 a 22 0 a1n a2n a nn
a 11 a 21 a n1 0 a 22 an2 0 0 0 0 0 a nn
n n
1 0 n A n 1 n( n 1) n 2 0 0 0 0 0 1 0 0 E 1 1 1 0
0 0 1
B
A (E B)
n ( n 1) 2
B
n
n ( n 1) 2
上三角矩阵 性质:
下三角矩阵
A、B 是同阶、同类型的三角形矩阵
则 kA, A+B, AB 仍为 同阶同类型 三角形矩阵。
(五）对称矩阵、反对称矩阵
若 a ij a ji 若 a ij a ji ， 称 A ( a ij ) 是对称矩阵 ， 称 A ( a ij ) 是反对称矩阵
由已知条件得：
A
T
A, B
T
T
B
T
( AB BA )
T
( AB ) ( BA )
B A
T
T
A B
T
T
B ( A) ( A)B
AB BA
即 AB BA 为对称矩阵。
例 证
A 为 n 阶实矩阵，且 AA
思路：证明所有 a ij 0
T
O A O
B nB E
2
B nB E .
2
单位矩阵的用处 例
设 1 A 5 1 4 , B 2 7 6 , AX B X , 求 X . 8
解 即
由题设知，X为二阶方阵， 且有 AX + E X=B 由分配律得: (A+E) X＝B
2 5 1 4 X 3 7 6 8
T
B A
T
T
BA
AB
故 AB 是对称阵。
“ ” AB 是对称阵， AB ( AB )
T
＝B A
T
T
BA
例：
A是n阶对称矩阵，P为任意矩阵，则
P AP 为对称矩阵。
T
证： ( P T AP ) T P T A T ( P T ) T P T AP .
练习： 设 A 为 n 阶矩阵，则有唯一的对称矩阵B， 以及反对称矩阵C，使得A=B+C.
矩阵多项式
例
设 A 是 n 阶方阵，
则 (
2 2
f (x) x 2x 8
2
f ( A) A 2 A 8 f ( A) A 2 A 8
E
)
*
称为矩阵 A 的一个多项式。 矩阵多项式的分解： 分解*式
因 x 2 x 8 ( x 2 )( x 4 )
特殊矩阵
• 对角形矩阵
• 单位矩阵 • 数量矩阵 • 三角形矩阵 • 对称矩阵
这是几种常见的特殊矩阵。
(一） 对角矩阵
a 11 a 22 A a nn
0
0

a ij 0 ( i j )
记为： A diag a 11， a 22，
a nn

注
1 0 0
0 2 0
0 0 3
0 0 0
不是对角矩阵
性质 （1）若 A,B 为对角矩阵，k 为常数
则 kA , A B , AB , BA 仍为对角矩阵，且 AB BA .
a 11 a 22 AB a nn
b 11
a ik 0 ,
a i 1 a i 2 a in 0 ( i 1,2 , , n )
i列
例
设
a1 A
a2
， 其中 a 1 , a 2 , , a n 两两不同， an
证明：与A可交换的矩阵一定是对角矩阵。
3 X 5 3 5
1 2 2 5
1 X 3
3 5
1 2 2 5
1 E. 3
1 4 2 7
6 5 8 6