高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》专项训练及答案

【高中数学】数学《平面向量》期末复习知识要点
一、选择题
1．已知a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r
r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为
（ ） A ．-4 B ．-2
C ．2
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r
方向上的投影a b b ⋅r r r .
【详解】
()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ， 即2220b a a b -+=r r r r g .
2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，
所以a r 在b r
方向上的投影为4a b b
⋅=r r r .
故选：D . 【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题.
2．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
.
故选B 【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．已知向量()()
75751515a b ︒︒︒︒
==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
因为1
1,1,cos75cos15sin 75sin15cos602
a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r
，所以
||1a b -===r r ，故选B.
点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r
，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合
数量积的运算法则即可求出.
4．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r
方向上的投影为4-，则
向量BA u u u r 与AC u u u r
的夹角为（ ） A ．45° B ．60°
C ．120°
D ．150°
【答案】C 【解析】 【分析】
设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u
r 方向上的投影为cos =4BD α-u u u r
，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
【详解】
312AB AC ==，D 是AC 的中点，
则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r
方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r
的夹角为θ，
则cos =4BD α-u u u r
，
∴()
cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC
BA AC BA AC BA AC
θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC
α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r
u ur r u
， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】
本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
5．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r
，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数λ=( )
A
．
3
B
．
2
C
．
3
D
．
2
【答案】D 【解析】 【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
中计算即可. 【详解】
由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，知O 为ABC ∆的重心，
所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，
所以23
EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u
r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC
=u u u r u u u r
，||||
AB AC λ===u u u r
u u u r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
6．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r
A ．12A
B AD -+u u u r u u u r B ．12AB AD -u u u
r u u u r
C ．12AB A
D +u u u r u u u r D ．12
AB AD -u u u r u u u r
【答案】A
【解析】 【分析】
由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】
如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法
则可知1.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v
故选A. 【点睛】
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
7．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r
的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，利用数量积的分配律即得解. 【详解】
AD AB
⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ， ()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2
333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：C 【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
8．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，设
z OP OA =⋅u u u r u u u r
，则z 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可.
【详解】
解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r
，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.
9．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．2
C ．2
D 2
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合22
1244
y y
CD =-即可求解
【详解】
如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得
0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，22221212121
2,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r ，
()2
22221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()2
22122212016
y y y y ---= 解得2
2
1
216y y -=（0舍去），所以2222
12124444
y y y y CD -=-==
故选：A 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题
10．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v
的值是
（ ）
A ．4
5
-
B ．1516
-
C ．14
-
D ．58
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果. 【详解】
()()()()
•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
222115
1416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,选B.
【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v
的值为（ ）
A ．22
B ．19
C ．-19
D ．-22
【答案】D 【解析】
由余弦定理可得22211
cos 216
AB BC AC B AB BC +-==⋅，又
()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫
⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.
【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
12．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．垂心
C ．重心
D ．内心
【答案】B 【解析】 【分析】
可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB
AC AB B AC C
λ+u u u r
u u u r
u u u
r u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线
上，从而得到结论．
【详解】
Q ()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 即()||cos ||cos AB AC
AP AB B AC C
λ=+u u u r u u u r
u u u r u u u
r u u u r ，
Q cos BA BC B BA BC ⋅=u u u r u u u r u u
u r u u u r ，cos CA CB C CA CB
⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB AC
BC BC BC AB B AC C
⋅+=-+=u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC
AB B AC C
λ+u u u r u u u r
u u u
r u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r
，
∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.
故选：B ． 【点睛】
本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.
13．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r
（ ）
A ．3144A
B A
C -u u u
r u u u r B ．1136
AB AC -u u u r u u u r
C ．2133AB AC -u u u r u u u r
D ．3144AB AC +u u u
r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r
，化简得到答案. 【详解】 ()
11312444
MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
u u u u r r u u u r .
故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
14．如图,在梯形ABCD 中, 2DC AB =u u u r u u u r , P 为线段CD 上一点,且1
2
DP PC =，E 为BC
的中点, 若EP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r
（λ， R μ∈）,则λμ+的值为（ ）
A ．
13
B ．13
-
C ．0
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用向量的线性运算，化简求得1526
EP AD AB =-u u u v u u u v u u u v
，求得,λμ的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，根据向量的运算法则，可得： ()
1214111232326
EP EC CP BC CD AC AB AB AC AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+=+=--=-
()
1111522626
AD AB AB AD AB =+-=-u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v 又因为EP AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v ，所以51,62
λμ=-=，
所以511
623
λμ+=-+=-，故选B. 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量EP u u u v
是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
15．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r
的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为
()
2
11a -+，由二次函数性质可得结果.
【详解】
由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r
，
,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r
， ()2
111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.
故选：B . 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属
于基础题.
16．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r
，则以下说法不正确的是（ ）
A ．若//a b r r ，则1tan 2α=
B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2
α=
C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1
tan 2
α= D ．||a b -r r 1
【答案】B 【解析】 【分析】
A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.
B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.
C 选项求得()f
α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利
用向量模的运算来判断正确性. 【详解】
A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1
tan 2
α=，A 正确.
B 选项，若a b ⊥r r
，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C 选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r
，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，
22
k π
αϕπ+=+
，22
k π
ϕπα=+
-，
tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα
⎛⎫
=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确.
D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r 1，此时a =r ，
,a b r r
反向.故选项D 正确.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.
17．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33
AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v
，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v
（ ）
A ．8+
B ．8-
C ．12
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
【详解】 由题意1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则22521151133226
32OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
18．已知向量(),1a x =-r ，
(b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ） A
B
C ．2
D ．4 【答案】C
【解析】 由a b r r ⊥，(),1a x =-r ，
(b r =
，可得：x 0x ，==
，即)1a =-r 所以
2a =
=r 故选C
19．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）
A ．12
B ．
C ．24
D ．【答案】C
【解析】
【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和
12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.
【详解】 解：设1MF m =，2MF n =， ∵1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，
∴24m n a -==，122210F F c ==. ∵120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==，
∴()2222m n m n mn -=+-，
即2401624mn =-=，
∴12mn =， 解得6m =，2n =， 设2NF t =，则124NF a t t =+=+，
在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，
解得6t =，
∴628MN =+=，
∴1MF N ∆的面积111862422
S MN MF =
⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，
120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）
A 19
B 11
C 3
D 7 【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】 因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。