湖南师大附中2019届高三第五次模拟考试(教师版) 数学(理)

湖南师大附中2019届高三第五次模拟考试
数 学(理科)
本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{4，2，a －1}，B ＝{0，－2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 满足的集合为(D)
A ．{1}
B ．{－1}
C ．{－1，1}
D ． 2．已知复数z 满足z ＋||z ＝3＋i ，则z ＝(D)
A ．1－i
B ．1＋i C.43－i D.4
3＋i
3．下列说法正确的是(D) A ．命题“
x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定为“
x ∈[]0，1，都有x 2－1≤0”
B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”及它的逆命题均为真命题
C ．命题“在锐角△ABC 中，sin A<cos B ”为真命题
D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2
＋x ≠0”
【解析】命题“
x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定应为“
x ∈[]0，1，都有x 2－1<0”，
所以A 错误；
命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”的逆命题为假命题，故B 错误；
锐角△ABC 中，A ＋B>π2π2>A>π2－B>0，∴sin A>sin ⎝⎛⎭⎫π
2－B ＝cos B ，所以C 错误，
故选D.
4．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为(C)
A ．90，86
B ．94，82
C ．98，78
D ．102，74 【解析】执行程序框图，x ＝86，y ＝90，s ≠27；x ＝90，y ＝86，s ≠27；x ＝94，y ＝82，s ≠27；x ＝98，y ＝78，s ＝27，结束循环，输出的x ，y 分别为98，78，故选C.
5．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －
m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2＋m 则a ，b ，c 的大小关系为(B)
A ．a<b<c
B ．a<c<b
C ．c<a<b
D ．c<b<a
【解析】∵函数f ()x 是偶函数，∴f ()x ＝f ()－x 在R 上恒成立，∴m ＝0， ∴当x ≥0时，易得f(x)＝2||x －1为增函数， ∴a ＝f(log 0.53)＝f(log 23)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2，
∵log 23<2<log 25，∴a<c<b ，故选B.
6．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(D)
A ．70种
B ．140种
C ．840种
D ．420种
【解析】从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 3
3种安排方法，
3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 3
3种安排方法，
故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．
7．已知(x ＋1)5＋(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，则a 7＝(B) A ．9 B ．36 C ．84 D ．243
【解析】令t ＝x －1，则(x ＋1)5＋(x －2)9＝(t ＋2)5＋(t －1)9，只有(t －1)9中展开式含有t 7
项，所以a 7＝C 29＝36，选B.
8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，
则x ＋y
y 的取值范围是(B)
A.⎣⎡⎦⎤12，23
B.⎝⎛⎦⎤0，23
C.⎝⎛⎦⎤－1，－13
D.⎣⎡⎦
⎤3
2，2 【解析】将题中可行域表示如右图，易知k ＝y
x 在A(－1，3)处取得最小值－3，且斜率k
小于直线x ＋y ＝1的斜率－1，故－3≤k<－1，则－1<x y ≤－1
3，故0<x ＋y y ≤23
.
9．正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C)
A.13
B.12
C.33
D.3
2
【解析】如图，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角．设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝3
2SA ＝3a ，OB
＝
22SA ＝2a ，所以△EOB 为直角三角形，所以cos ∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝3
3
，故选C.
10．如图所示，点F 是抛物线y 2
＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2
＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是(C)
A ．(2，6)
B ．(6，8)
C ．(8，12)
D ．(10，14)
【解析】抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝x A ＋2， 圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，
∴三角形FAB 的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，
由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，则x B ∈(2，6)，所以6＋x B ∈(8，12)，故选C.
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(3，0)，B(1，2)，D(3，2)，动点P 满足OP →
＝λOA →＋μOB →
，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，则点P 落在三角形ABD 里面的概率为(A)
A.12
B.33
C.32
D.23
【解析】以OA ，OB 为邻边做平行四边形OACB ，延长OB 至E ，使得OE ＝2OB ， ∵OP →＝λOA →＋μOB →
，且λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，∴P 点位于平行四边形ABEC 的内部(包含边界)，则点P 落在三角形ABD 里面的概率P ＝S △ABC S ABEC ＝1
2
，选A.
12．已知函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤
0，46π3，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次
记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1<x 2<x 3<…<x n ，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(C)
A.1 276π3 B ．445π C ．455π D.1 457π
3
【解析】函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝π2＋k π得x ＝1
2k π＋π3，k ∈Z ，即f(x)
的对称轴方程为x ＝1
2k π＋π3
，k ∈Z .
∵f(x)的最小正周期为T ＝π，0≤x ≤46π3，当k ＝30时，可得x ＝46π
3，
∴f(x)在⎣
⎡⎦⎤
0，46π3上有31条对称轴，
根据正弦函数的性质可知：函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6与y ＝3的交点x 1，x 2关于π3对称，
x 2，x 3关于5π6对称，…，即x 1＋x 2＝2π6×2，x 2＋x 3＝5π6×2，…，x n －1＋x n ＝2×⎝⎛⎭⎫29
2
π＋π3，
将以上各式相加得：x 1＋2x 2＋3x 3＋…＋2x 30＋x 31＝2⎝⎛⎭⎫
2π6
＋5π6＋…＋
89π6＝(2＋5＋8＋…＋89)×π
3
＝455π，
则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＋x 3＋…＋x n －1＋(x n －1＋x n )＝
2⎝⎛⎭⎫π2
＋3π2＋…＋59π2＝455π.故选C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个
交点，则双曲线的离心率为．
14．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2
－x ，f(x)，则f′(1)＝__0__． 【解析】因为f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，所以f′(x)＝3x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫23x －1， 所以f′⎝⎛⎭⎫23＝3⎝⎛⎭⎫232
＋2f′⎝⎛⎭⎫23×23－1，则f′⎝⎛⎭
⎫23＝－1，f(x)＝x 3－x 2－x ， 则f′(x)＝3x 2－2x －1，故f′(1)＝0.
15．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为16
3，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3
__．
【解析】依题意，记三棱锥P －ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P －ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝⎛⎭⎫3
4×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，
因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝43
3，
因此R 2
＝r 2
＋⎝⎛⎭⎫2332＝20
3
，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3.
16．已知在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ⊥CD ，AC ＝CD ，则四边形
ABCD 的面积的最大值为．
【解析】如图所示，
设∠ABC ＝θ，θ∈(0，π)，则在△ABC 中，由余弦定理得， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos θ＝6－42cos θ，
∴四边形ABCD 的面积为S ＝S △ABC ＋S △ACD ＝1
2
(AB·BC·sin θ＋AC·CD)，
化简得：S ＝1
2(22sin θ＋6－42cos θ)＝3＋2(sin θ－2cos θ)＝3＋10sin (θ－φ)，
其中tan φ＝2，当sin (θ－φ)＝1时，S 取得最大值为3＋10.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分． 17．(本题满分12分)
设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋
1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设b n ＝
a n
2n －1
＋2，n ∈N *.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <3
2.
【解析】(1)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋
1＋1，
∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，2分
则a n ＋12n －32·a n
2n －1
＝1， 即
a n ＋12n ＋2＝32⎝⎛⎭
⎫a n 2n －1＋2.∴b n ＋1＝32b n ，(n ≥2)，4分 当n ＝1时，2S 1＝a 2－22＋1，且S 1＝a 1＝1，则a 2＝5， ∴b 1＝a 120＋2＝3，b 2＝a 221＋2＝92，满足b 2＝3
2b 1，
∴b n ＋1＝3
2
b n ，(n ∈N *)．
故数列{b n }是首项为3，公比为32的等比数列，即b n ＝3·⎝⎛⎭⎫32n －1.6分 (2)由(1)知b n ＝a n 2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，∴a n ＝3n －2n ，
则1a n ＝1
3n －2
n ，8分 当n ≥2时，⎝⎛⎭
⎫32n
>2，即3n －2n >2n
， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝⎛⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎫12n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －1<32.11分 当n ＝1时，1a 1＝1<3
2
，上式也成立．
综上可知，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <3
2.12分
18．(本题满分12分)
如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.
(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；
(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ()θ≤90°
，试求cos θ的取值范围．
【解析】(1)在梯形ABCD 中，
因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2，2分 所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 60°＝3，
所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC ⊥AC.4分
因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE.6分
(2)建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示， 令FM ＝λ(0≤λ≤3)，
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，M (λ，0，1)， 所以AB →＝(－3，1，0)，BM →
＝(λ，－1，1)， 设n 1＝(x ，y ，z)为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，
得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，
λx －y ＋z ＝0，
取x ＝1，所以n 1＝(1，3，3－λ)，9分
因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量．
所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1＝1
（λ－3）2＋4. 因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值
7
7
， 当λ＝3时，cos θ有最大值12.所以cos θ∈⎣⎡⎦⎤77，1
2.12分
19．(本题满分12分)
如图，已知椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1的左、右顶点为A 1，A 2，上、下顶点为B 1，B 2，记四边
形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2.
(1)求圆C 2的标准方程；
(2)已知圆C 2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C 1于P ，M 两点．
(ⅰ)求证：OP ⊥OM ；
(ⅱ)试探究1OP 2＋1
OM 2
是否为定值．
【解析】(1)因为A 2，B 1分别为椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1的右顶点和上顶点，则A 2，B 1坐标
分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A 2B 1的方程为：x ＋2y ＝2.2分
则原点O 到直线A 2B 1的距离为d ＝21＋22
＝25，则圆C 2
的半径r ＝d ＝2
5， 故圆C 2的标准方程为x 2＋y 2＝4
5
.4分
(2)(i)可设切线l ：y ＝kx ＋b(k ≠0)，P(x 1，y 1)，M(x 2，y 2)，
将直线PM 方程代入椭圆C 1可得⎝⎛⎭
⎫14＋k 2x 2
＋2kbx ＋b 2－1＝0，由韦达定理得： ⎩⎪⎨⎪
⎧x 1＋x 2＝－2kb 14
＋k 2，
x 1x 2
＝b 2
－114＋k
2
，
则y 1y 2＝(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝k 2x 1x 2＋kb(x 1＋x 2)＋b 2＝－k 2＋14
b 2
14
＋k 2，6分
又l 与圆C 2相切，可知原点O 到l 的距离d ＝
|b|k 2＋12
＝25，整理可得k 2＝54b 2
－1，
则y 1y 2＝1－b 214＋k 2，所以OP →·OM →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，故OP ⊥OM.8分
(ii)由OP ⊥OM 知S △OPM ＝1
2
||OP ||OM ，
①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时1OP 2＋1OM 2＝5
4
； ②当直线OP 的斜率存在时，设OP ：y ＝k 1x 代入椭圆方程可得x 24＋k 21x 2＝1，则x 2＝41＋4k 21，
故OP 2
＝x 2
＋y
2
＝(1＋k 21)x 2
＝4（1＋k 21）1＋4k 2
1
，10分
同理OM 2
＝4⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－1
k 12
1＋4⎝⎛⎭
⎫－1k 12＝4（k 21＋1）k 21＋4， 则1OP 2＋1OM 2＝1＋4k 2
14（1＋k 21）＋k 21＋4
4（1＋k 21）＝54
. 综上可知：1OP 2＋1OM 2＝54
为定值.12分 20．(本题满分12分)
中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人．这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示：
否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
(2)
的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.
参考数据：
参考公式：K2＝n（ad－bc）
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
，其中n＝a＋b＋c＋d. 【解析】
2分
等高条形图如图：
4分
通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又K 2
＝2 000（60×1 560－140×240）2
300×1 700×200×1 800
≈
39.216>6.635，
因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.6分 (2)①p ＝20300×0.9＋55300×0.8＋105300×0.6＋70300×0.5＋50
300×0.4＝0.6.8分
②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫150，3
5， P(x ＝k)＝C k 150
⎝⎛⎭⎫35k ⎝⎛⎭
⎫
25150－k
，k ＝0，1，2，…，150，10分
所以Eξ＝150×3
5＝90.12分
21．(本题满分12分)
设函数f(x)＝x 22－aln x －1
2
，a ∈R .
(1)若函数f(x)在区间[]1，e (e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；
(2)若在[1，e](e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 20
2－a ＋1x 0
－x 0
－1
2
成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)f′(x)＝x －a x ＝x 2
－a
x
，其中x ∈[1，e]，
①当a ≤1时，f ′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]
上有唯一的零点，符合题意．
②当a ≥e 2时，f ′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意.3分
③当1<a<e 2时，1≤x<a 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴f(a)<f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点，当a<x ≤e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，
∴当f(e)<0时符合题意，即e 22－a －1
2
<0，
∴a>e 2－1
2
时，函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点；
∴a 的取值范围是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
a|a ≤1或a>
e 2
－12.6分 (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 20
2－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－aln x 0＋a x 0
<0
在[1，e]上有解，即函数g(x)＝x ＋1x －aln x ＋a
x
在[]1，e 上的最小值小于零．
g ′()x ＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2
－ax －a －1x 2＝()x ＋1()
x －a －1x 2
，8分
①当a ＋1≥e 时，即a ≥e －1时，g ()x 在[]1，e 上单调递减，所以g ()x 的最小值为g ()e ，
由g ()e ＝e ＋1＋a e －a<0可得a>e 2＋1e －1，∵e 2＋1e －1>e －1，∴a>e 2＋1e －1
； ②当a ＋1≤1时，即a ≤0时，g ()x 在[]1，e 上单调递增，所以g ()x 的最小值为g ()1，由g ()1＝1＋1＋a<0可得a<－2；10分
③当1<a ＋1<e 时，即0<a<e －1时，
可得g ()x 的最小值为g ()a ＋1，∵0<ln ()a ＋1<1，∴0<aln ()a ＋1<a ，
g ()a ＋1＝a ＋1＋1a ＋1－aln ()a ＋1＋a a ＋1
＝a ＋2－aln(a ＋1)>2，所以g ()1＋a <0不成立． 综上所述：可得所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫e 2
＋1e －1，＋∞.12分 (二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)若直线l ：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R )与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．
【解析】(1)曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝22，
由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.5分 (2)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0，
设A(ρ1, α)，B (ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝22sin ⎝
⎛⎭⎫α－π4， 由|OM|＝|ρ1＋ρ22|，得|OM|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎫α－π4≤2， 当α＝3π4
时，|OM|取最大值 2.10分 23．(本题满分10分)选修4—5: 不等式选讲
已知函数f ()x ＝||x ＋a ＋||x －2.
(1)当a ＝1时，求不等式f ()x ≥7的解集；
(2)若f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2，求a 的取值范围．
【解析】(1)当a ＝1时， f ()x ＝⎩⎨⎧－2x ＋1，x ≤－1，
3，－1<x<2，2x －1，x ≥2，
当x ≤－1时，由f ()x ≥7得－2x ＋1≥7，解得x ≤－3；
当－1<x<2时， f ()x ≥7无解；
当x ≥2时，由f ()x ≥7得2x －1≥7，解得x ≥4，
所以f ()x ≥7的解集为(]－∞，－3∪[)4，＋∞.5分
(2)f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2等价于||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2在
[]0，2上恒成立，当x ∈[]0，2时，||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2＝2等价于(||x ＋a －||x ＋2a )max ≤2恒成立，而||x ＋a －||x ＋2a ≤||（x ＋a ）－（x ＋2a ）＝||a ，∴||a ≤2，
故满足条件的a 的取值范围是[]－2，2.10分。