岳阳县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

岳阳县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，
b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．1
5- B ．119 C ．11 D ．19
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．
2． 已知两不共线的向量，，若对非零实数m ，n 有m +n 与﹣2共线，则=（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣
D ．
3． 设x ，y ∈R ，且x+y=4，则5x +5y 的最小值是（ ）
A ．9
B ．25
C ．162
D ．50
4． 如图，长方形ABCD 中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB ．在长方形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
B ．1﹣
C ．
D ．1﹣
5． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）
A ．2
1n a n n =-+ B ．(1)2n n n a -=
C ．(1)2
n n n a += D ．2
1n a n =+ 6． 如果命题p ∨q 是真命题，命题￢p 是假命题，那么（ ）
A ．命题p 一定是假命题
B ．命题q 一定是假命题
C ．命题q 一定是真命题
D ．命题q 是真命题或假命题
7． 下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A ．
B ．y=﹣2x+5
C ．y=lnx
D ．y=
8． 若函数1,0,
()(2),0,x x f x f x x +≥⎧=⎨
+<⎩
则(3)f -的值为（ ）
A ．5
B ．1-
C ．7-
D ．2
9． 设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈I （I ⊆A ），有x+l ∈A ，且f （x+l ）≥f （x ），
则称f （x ）为I 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2
，且
函数f （x ）为R 上的1高调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）
A ．0＜a ＜1
B ．﹣≤a ≤
C ．﹣1≤a ≤1
D ．﹣2≤a ≤2
10．对于复数
,若集合具有性质“对任意,必有”,则当
时,等于 ( )
A1 B-1 C0 D
11．执行如图的程序框图，如果输入的100N =， 则输出的x =（ ）
A ．0.95
B ．0.98
C ．0.99
D ．1.00
12．若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x ∈Z|x 2＜2}，则∁U P=（ ） A ．{2} B ．{0，2}
C ．{﹣1，2}
D ．{﹣1，0，2}
二、填空题
13．已知函数
为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
14．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．
15．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________．
16．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则
圆的方程为 ．
17．若函数f （x ）=x 2﹣2x （x ∈[2，4]），则f （x ）的最小值是 ．
18．定义)}(),(min{x g x f 为)(x f 与)(x g 中值的较小者，则函数},2m in{)(2
x x x f -=的取值范围是
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线的参数方程是243x t
y t
=-+⎧⎨
=⎩（为参数）.
（1）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程； （2）求曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值.
20．已知数列{a n }是等比数列，首项a 1=1，公比q ＞0，且2a 1，a 1+a 2+2a 3，a 1+2a 2成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式
（Ⅱ）若数列{b n }满足a n+1=（），T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ．
21．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；
（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.
22．已知函数()x
f x e x a =-+，21
()x g x x a e
=++，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求的取值范围； （3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：12
1x x e +<．
23．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +（n ∈N *）．证明：对一切n ∈N *
，有
（Ⅰ）
＜
；
（Ⅱ）0＜a n ＜1．
24．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA的大小
（2）求BC的长．
岳阳县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
2．【答案】C
【解析】解：两不共线的向量，，若对非零实数m，n有m+n与﹣2共线，
∴存在非0实数k使得m+n=k（﹣2）=k﹣2k，或k（m+n）=﹣2，
∴，或，
则=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面的基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．【答案】D
【解析】解：∵5x＞0，5y＞0，又x+y=4，
∴5x+5y≥2=2=2=50．
故选D．
【点评】本题考查基本不等式，关键在于在应用基本不等式时灵活应用指数运算的性质，属于基础题．4．【答案】B
【解析】解：由题意，长方形的面积为2×1=2，半圆面积为，所以阴影部分的面积为2﹣，由几何概型
公式可得该点取自阴影部分的概率是；
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
5．【答案】C
【解析】
试题分析：可采用排除法，令1n =和2n =，验证选项，只有(1)
2
n n n a +=，使得121,3a a ==，故选C ． 考点：数列的通项公式．
6． 【答案】D
【解析】解：∵命题“p 或q ”真命题，则命题p 与命题q 中至少有一个命题为真命题，
又∵命题“非p ”也是假命题，
∴命题p 为真命题． 故命题q 为可真可假． 故选D
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．
7． 【答案】C
【解析】解：对于A ，函数y=
在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于B ，函数y=﹣2x+5在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于C ，函数y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意；
对于D ，函数y=在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意．
故选：C ．
【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题，是基础题目．
8． 【答案】D111] 【解析】
试题分析：()()()311112f f f -=-==+=. 考点：分段函数求值． 9． 【答案】 B
【解析】解：定义域为R 的函数f （x ）是奇函数， 当x ≥0时，
f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2=
图象如图，
∵f （x ）为R 上的1高调函数，当x ＜0时，函数的最大值为a 2
，要满足f （x+l ）≥f （x ），
1大于等于区间长度3a 2﹣（﹣a 2），
∴1≥3a 2﹣（﹣a 2
），
∴﹣≤a ≤ 故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．
10．【答案】B 【解析】由题意，可取，所以
11．【答案】C 【解析】1111
12233499100x =
+++⋅⋅⋅+
⨯⨯⨯⨯ 111111199
(1)()()()2233499100100
=-+-+-+⋅⋅⋅+-=
． 12．【答案】A
【解析】解：∵x 2
＜2 ∴﹣
＜x ＜
∴P={x ∈Z|x 2
＜2}={x|﹣
＜x ＜
，x ∈Z|}={﹣1，0，1}，
又∵全集U={﹣1，0，1，2}， ∴∁U P={2} 故选：A ．
二、填空题
13．【答案】2．
【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，
∴定义域关于原点对称，
即﹣2a+3a﹣1=0，
∴a=1，
∵函数为奇函数，
∴f（﹣x）==﹣，
即b•2x﹣1=﹣b+2x，
∴b=1．
即a+b=2，
故答案为：2．
14．【答案】[1，5）∪（5，+∞）．
【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，
∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，
由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称，
故只需要令x=0有
5y2=5m
得到y2=m
要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是
y2≥1
得到m≥1
∵椭圆方程中，m≠5
m的范围是[1，5）∪（5，+∞）
故答案为[1，5）∪（5，+∞）
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．
15．【答案】
3
【解析】
，故倾斜角为3
π. 考点：直线方程与倾斜角．
16．【答案】 （x ﹣1）2+（y+1）2=5 ．
【解析】解：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ，
∵点A （2，1）关于直线x+y=0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心（a ，b ）在直线x+y=0上， ∴a+b=0，①
且（2﹣a ）2+（1﹣b ）2=r 2
；②
又直线x ﹣y+1=0截圆所得的弦长为，
且圆心（a ，b ）到直线x ﹣y+1=0的距离为d=
=
，
根据垂径定理得：r 2﹣d 2
=
，
即r 2﹣（
）2
=③；
由方程①②③组成方程组，解得；
∴所求圆的方程为（x ﹣1）2+（y+1）2
=5．
故答案为：（x ﹣1）2
+（y+1）2
=5．
17．【答案】 0 ．
【解析】解：f （x ））=x 2﹣2x=（x ﹣1）2
﹣1，
其图象开口向上，对称抽为：x=1， 所以函数f （x ）在[2，4]上单调递增， 所以f （x ）的最小值为：f （2）=22
﹣2×2=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，一般运用数形结合思想进行处理．
18．【答案】(],1-∞ 【解析】
试题分析：函数(){}
2min 2,f x x x =-的图象如下图：
观察上图可知：()f x 的取值范围是(],1-∞。

考点：函数图象的应用。

三、解答题
19．【答案】（1）参数方程为1cos sin x y θθ
=+⎧⎨
=⎩，3460x y -+=；（2）145. 【解析】
试题分析：（1）先将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得22(1)1x y -+=,利用圆的参数方程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线C 上任一点坐标,用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值.
试题解析：
（1）曲线C 的普通方程为22cos ρρθ=，∴22
20x y x +-=， ∴22
(1)1x y -+=，所以参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
， 直线的普通方程为3460x y -+=. （2）曲线C 上任意一点(1cos ,sin )θθ+到直线的距离为
33cos 4sin 65sin()914555d θθθϕ+-+++==≤，所以曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值为145. 考点：1.极坐标方程；2.参数方程.
20．【答案】
【解析】解：（I ）∵2a 1，a 1+a 2+2a 3，a 1+2a 2成等差数列．
∴2（a 1+a 2+2a 3）=2a 1+a 1+2a 2．
∴2（1+q+2q 2）=3+2q ，化为4q 2=1，公比q ＞0，解得
q=．
∴a n
=．
（II ）∵数列{b n }满足a n+1=
（
）
，∴
=，
∴b n =n ，∴b n =n •2n ﹣1．
∴数列{b n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1．
2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，
∴﹣T n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n
=﹣n •2n ，
∴T n =（n ﹣1）•2n +1．
21．【答案】（1）21sin 212cos a S a a θ
θ=⋅+- （2
）2a =+【解析】
试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =，
在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-， 所以221
12cos x a a θ=+-， 所以21
1
sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ=⋅⋅=⋅+-，
（2）因为()()222cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ+--⋅=+-'⋅，
()()22
22cos 121212cos a a a a a θθ+-=⋅+-，
令0S '=，得022cos ,1a
a θ=+
且当0θθ<时，022cos 1a a
θ>
+，0S '>， 当0θθ>时，022cos 1a a θ<+，0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以22112
a a =+，
解得2a =±
因为1a >，则2a =+点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

22．【答案】（１）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（２）1a >或0a <；（３）证明见解析．
【解析】
试
题解析： （1）'()1x
f x e =-． 令'()0f x >，得0x >，则()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；]
令'()0f x <，得0x <，则()f x 的单调递减区间为(,0)-∞．
（2）记()()()F x f x g x =-，则21()2x x F x e x a a e
=--+-， 1'()2x x F x e e
=+
-．
∵1220x x e e +-≥=，∴'()0F x ≥， ∴函数()F x 为(,)-∞+∞上的增函数， ∴当[]0,2x ∈时，()F x 的最小值为2(0)F a a =-．
∵存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，
∴()F x 的最小值小于0，即20a a -<，解得1a >或0a <．1
（3）由（1）知，0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即最小值为(0)1f a =+，
则只有1a <-时，函数()f x 由两个零点，不妨设12x x <，
易知10x <，20x >，
∴1222()()()()f x f x f x f x -=--2222()()x x e x a e
x a -=-+-++2222x x e e x -=--， 令()2x x h x e e x -=--（0x ≥），
考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想．
23．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +
（n ∈N *），
∴a n ＞0，a n+1=a n +
＞0（n ∈N *），a n+1﹣a n =＞0， ∴
，
∴对一切n ∈N *，＜
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k ∈N *，＜，
∴，
∴当n≥2时，
=
＞3﹣[1+]
=3﹣[1+]
=3﹣（1+1﹣）
=，
∴a n＜1，又，
∴对一切n∈N*，0＜a n＜1．
【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．
24．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…
=…
∴∠BDA=60°…
（2）∵AD⊥CD，
∴∠BDC=30°…
在△ABC中，由正弦定理得，…
∴．…。