曲阜市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

曲阜市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，）
C ．（﹣∞，0]
D ．（﹣∞，0）
2． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（
）
A ．y=x+2
B ．y=
C ．y=3x
D ．y=3x 3
3． 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．标准差
4． “a=1”是“直线l ：y=kx+a 与圆C ：x 2﹣2x+y 2=0相交”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5． 已知集合，则下列式子表示正确的有（
）
{}
2
|10A x x =-=①；②；③；④．1A ∈{}1A -∈A ∅⊆{}1,1A -⊆A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
6． 函数
是（
）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
7． 下列四组函数中表示同一函数的是（ ）
A ．，
B ．，()f x x =2
()g x =2()f x x =2
()(1)g x x =+
C ．，
D ．，1111]
()f x =
()||g x x =()0f x =()g x =
8． 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．
D ．±3
9． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（ ）
A ．T 1=T 19
B ．T 3=T 17
C ．T 5=T 12
D ．T 8=T 11
10．已知数列｛｝满足（）.若数列｛｝的最大项和最小项分别为n a n
n n a 2
728-+=*
∈N n n a M 和，则（ ）
m =+m M A ．
B ．
C ．
D ．
211
2
27
32
259
32
435二、填空题
11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．12．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 4（k ∈N *）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
13．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．所示的框图，输入
，则输出的数等于
15．已知一组数据，，，，的方差是2，另一组数据，，，，（）1x 2x 3x 4x 5x 1ax 2ax 3ax 4ax 5ax 0a >
的标准差是，则
．
a =16．在中，，，为的中点，，则的长为_________.ABC ∆90C ∠=
2BC =M BC 1
sin 3
BAM ∠=
AC 三、解答题
17．（本小题满分12分）已知点,直线与圆
()()(),0,0,4,4A a B b a b >>AB 相交于两点, 且,求.
22:4430M x y x y +--+=,C D 2CD =（1）的值；()()44a b --A （2）线段中点的轨迹方程；AB P （3）的面积的最小值.
ADP ∆18．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a 的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；
（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
19．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+，数列{b n}满足b n=
（Ⅰ）证明：b n∈（0，1）
（Ⅱ）证明：=
（Ⅲ）证明：对任意正整数n有a n．
20．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN ∥平面OCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离．
21．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角，，所对的边分别为，已知cos (cos )cos 0C A A B +-=．A B C c b a ,,（1）求角B 的大小；
（2）若，求b 的取值范围．
2=+c a 【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
22．（本小题满分12分）已知函数，数列满足：，（）.21
()x f x x +=
{}n a 12a =11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
N n *∈（1）求数列的通项公式；
{}n a
（2）设数列的前项和为，求数列的前项和.
{}n a n n S 1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
n n T 【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
曲阜市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，
∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，
令h（x）=，则h′（x）=，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴h（x）max=h（e）=，
∴＜h（e）=，
∴m＜．
∴m的取值范围是（﹣∞，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
2．【答案】C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；
该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；
这组数对对应的点在函数y=3x的图象上．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．
3．【答案】D
【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，
B 样本方差S 2= [（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D 正确
故选D ．
【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．　
4． 【答案】D
【解析】解：圆C ：x 2﹣2x+y 2=0，即（x ﹣1）2+y 2=1
若直线l ：y=kx+a 和圆C ：x 2+y 2=2相交，则圆心（1，0）到直线kx ﹣y+a=0的距离d ＜r ，即
＜1，即|k+a|＜
，
即k 2+a 2+2ka ＜1+k 2，即a 2+2ka ＜1，当a=1时，2k ＜0，即k ＜0，
故当a=1时不能判断直线和圆的位置关系，若直线和圆相交，a 不一定等于1．
所以“a=1”是“直线l ：y=kx+a 和圆C ：x 2+y 2=2相交”的既不充分也不必要条件．故选：D ．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及充分条件和必要条件的应用．　
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：，所以①③④正确.故选C.{}1,1A =-考点：元素与集合关系，集合与集合关系．6． 【答案】B 【解析】解：因为
==cos （2x+
）=﹣sin2x ．
所以函数的周期为： =π．
因为f （﹣x ）=﹣sin （﹣2x ）=sin2x=﹣f （x ），所以函数是奇函数．
故选B ．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．　
7． 【答案】C 【解析】
试题分析：A 定义域值域均不相同，B 对应法则不相同，D 定义域不相同，故选C. 考点：定义域与值域．8． 【答案】B
【解析】解：角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，可得，（m ＞0）
解得m=3．故选：B ．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．　
9． 【答案】C 【解析】解：∵a n =29﹣n ，
∴T n =a 1•a 2•…•a n =28+7+…+9﹣n =∴T 1=28，T 19=2﹣19，故A 不正确T 3=221，T 17=20，故B 不正确T 5=230，T 12=230，故C 正确T 8=236，T 11=233，故D 不正确故选C
10．【答案】D 【解析】
试题分析：数列，， n n n a 2728-+=112528++-+=∴n n n a 112527
22n n
n n
n n a a ++--∴-=-，当时，,即；当时,,()11
2522729
22
n n n n n ++----+==41≤≤n n n a a >+112345a a a a a >>>>5≥n n n a a <+1即.因此数列先增后减,为最大项，，,最
...765>>>a a a {}n a 32259,55==∴a n 8,→∞→n a n 2
11
1=a ∴小项为，的值为．故选D.211M m +∴32
43532259211=
+考点：数列的函数特性.
二、填空题
11．【答案】 ．
【解析】解：在△ABC 中，∵6a=4b=3c
∴b=，c=2a，
由余弦定理可得cosB===．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．
12．【答案】　②④　
【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），
圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，
圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，
两圆的圆心距d==，
两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2=2k+，
任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故答案为：②④
【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．
13．【答案】　6　．
【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，
∴当x=a时，
又∵a+2a=6，∴a=2，
∴f（x）=2+2x，
∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于6，故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　
14．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则。

15．【答案】2【解析】
试题分析：第一组数据平均数为，
2)((()()(,2
52
42
32
22
1=-+-+-+-+-∴x x x x x x x x x x x ．
22222212345((((()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=考点：方差；标准差．
16．【解析】
考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.
三、解答题
17．【答案】（1）；（2）；（3）．()()448a b --=()()()2222,2x y x y --=>
>6【解析】
试题分析：（1）利用，得圆心到直线的距离
，再进行化简，即可求
2CD =2d =2解的值；（2）设点的坐标为，则代入①，化简即可求得线段中点的轨()()44a b --A P (),x y 2
2
a x
b y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩AB P 迹方程；（3）将面积表示为，再利用基本
()()()11
4482446224
ADP b S a a b a b a b ∆
==+-=+-=-+-+A 不等式，即可求得的面积的最小值.
ADP ∆（3）
,(
)()()11
4482446662
24
ADP b S a a b a b a b
∆=
=+-=+-=-+-+≥+=A 当时, 面积最小, 最小值为.
∴4a b ==+6+考点：直线与圆的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于()()446ADP S a b ∆=-+-+中档试题.18．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，解得a=0.03．
（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：
=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．
（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A ，B ，数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C ，D ，E ，F ，若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：
（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），共15个，如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，
则事件M 包含的基本事件有：（A ，B ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），共7个，
所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=．
【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方
图和列举法的合理运用．　
19．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由b n =，且a n+1=a n +
，得
，
∴
，下面用数学归纳法证明：0＜b n ＜1．
①由a 1=∈（0，1），知0＜b 1＜1，②假设0＜b k ＜1，则
，
∵0＜b k＜1，∴，则0＜b k+1＜1．
综上，当n∈N*时，b n∈（0，1）；
（Ⅱ）由，可得，，
∴==．
故；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
，
故．
由知，当n≥2时，
=．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．　
20．【答案】
【解析】解：方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD
（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP⊥CD于P，连接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP
∵，∴，，
∴
所以AB与MD所成角的大小为．
（3）∵AB∥平面OCD，
∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，
∵
，，∴，所以点B到平面OCD的距离为．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：A（0，0，0），B（1，0，0），，
，
O（0，0，2），M（0，0，1），
（1），
，
设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0
即
取，解得
∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，
∴MN∥平面OCD．
（2）设AB与MD所成的角为θ，
∵∴，∴
，AB 与MD 所成角的大小为
．
（3）设点B 到平面OCD 的距离为d ，则d 为在向量
=（0，4，
）上的投影的绝对值，
由
，得d=
=
所以点B 到平面OCD 的距离为
．
【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．　
21．【答案】（1）；（2）.
3
B π
=[1,2)【
解
析
】
22．【答案】
【解析】（1）∵，∴. 211()2x f x x x +=
=+11
(2n n n
a f a a +==+即，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 12n n a a +-={}n a ∴. （5分）
1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=（2）∵数列是等差数列，
{}n a ∴，1()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n ++=
==+∴. （8分）1111(1)1
n S n n n n ==-
++∴1231111n n T S S S S =++++
11111111(()()()1223341
n n =-+-+-++-+ . （12分）111n =-+1
n
n =
+。