广东省五所名校2022-2023学年高一下学期期末考试 数学

2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z 满足()323241i
3i 4i z +=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知集合{}3tan ,cos ,sin ,sin ,sin 3446A B y y x ππππ⎧
⎫===⎨⎩⎭
∣，则A B ⋂=（）
A.1,,222⎫⎪-⎬⎪⎭
B.1,,222⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩
⎭ C.21,22⎫⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ D.21,22⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
3.已知sin 325,3,2,log sin ,sin 2a b c απαπαα⎛⎫∈===
⎪⎝⎭，则（）A.a c b
>> B.a b c >>C.b c a >> D.c a b >>4.在ABCD 中，15,,56BE BC DF DC M == 是线段EF 的中点，则AM = （）A.1325AB AD + B.1223AB AD + C.112123AB AD + D.113125AB AD + 5.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式.以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之，为实.一为从隅开方得积.如果把以上这段文字
写成公式，就是：S =在ABC 中，已知角A B C ､､所对边长分别为,,a b c ，
其中a 为棱长为的正方体的体对角线的长度，b 为复数34i +的模，c 为向量(4,-的模，则ABC 的面积为（
）A. C. D.
6.把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上､下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.
若一个圆柱的表面积为1S ，内切球的表面积为2S ，外接球的表面积为3S ，则123::S S S 为（
）
A.1:2:2
B.1:1:1
C.3:2:4
D.2:3:37.为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6人，现抽取了两组数据，其中甲组数据的平均数为8，方差为4，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（）
A.若乙组数据的平均数为8，则新的一组数据的平均数一定为8
B.若乙组数据的方差为4，则新的一组数据的方差一定为4
C.若乙组数据的平均数为8，方差为4，则新的一组数据的方差一定为4
D.若乙组数据的平均数为4，方差为8，则新的一组数据的方差一定为10
8.巴普士（约公元34~世纪），古希腊亚历山大学派著名几何学家.生前有大量的著作，但大部分遗失在历史长河中，仅有《数学汇编》保存下来.《数学汇编》一共8卷，在《数学汇编》第3卷中记载着这样一个定理：“如果在同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，V Sl =（V 表示平面闭合图形绕旋转轴旋转所得几何体的体积，S 表示闭合图形的面积，l 表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知在四边形ABCD 中，CE AD ⊥于点,,3,24E AB CE AE DE AB CE ====∥，利用上述定理可求得四边形ABCD 的重心G 到点A 的距离为（）
A.9
B.5
C.15
D.15
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.我国经济结构处于转型升级阶段，当前的汽车保有量仍处于较低水平，未来增量市场发展空间依旧广阔.根据公安部数据统计，截至2022年末，我国汽车保有量达到3.19亿辆.因此，无论是从增量维度还是存量维度，我国消费者需求足以推动着市场继续发展.下图为2015-2022年全国汽车保有量及增长率情况，则（）
A.2015-2022年全国汽车保有量的极差大于一亿辆
B.2016-2022年全国汽车保有量的中位数大于2.5亿辆
C.2016-2022年全国汽车保有量的增长率平均值低于7.00%
D.2016-2022年全国汽车保有量的增长率逐年降低，一定能说明每年买汽车的人越来越少
10.下列命题为真命题的是（）
A.ABC 的三个内角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，若()sin sin A B A +>，则c a
>B.若角,,A B C 是锐角ABC 的三个内角，则()()
tan 2tan A B C A C ++=+C.若幂函数()f x 的图象过点()16,2A ，则()1
4
f x x =D.若2x >，则1
2x x +-的最小值为2
11.已知O 为坐标原点，点()()()12cos ,sin ,cos ,sin 22P P ππααπβπβ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()()()()()()34cos ,sin ,cos ,sin P P αβαβαβαβ++--，则（）A.12
OP OP =
B.34cos2OP OP α
⋅=
C.若13OP OP
∥，则cos 0
β=D.若24OP OP ⊥
，则cos 0
α=12.在正方体1111ABCD A B C D -中，点G E ､分别是棱111A B BB ､的中点，点F 是棱BC 上的动点，则（
）
A.直线1D G 与直线CE 交于一点
B.点F 满足13BF BC =
时，异面直线AG 与EF 所成的角的余弦值为65
65
C.点F 满足12
BF BC = 时，1BC ⊥平面DEF D.当点F 满足13BF BC = 时，直线GF 与平面11A B CD
所成角的正弦值为7
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某染发剂生产厂家生产了一种新型植物染发剂，现在有35000名女性，21000名男性用了此染发剂.销售科为了了解使用过的顾客对此染发剂的评价，决定按性别比例抽取80名顾客做调查，则应抽取女性__________名.
14.已知函数()()32log 1,12sin ,18x x f x x x π⎧+>⎪=⎨⎪⎩
，若复数()22i z m m =-+是纯虚数，则()()f f m =__________.15.如图，有一底面边长为6m ，高为6m 的正六棱柱形粮仓，侧面11CDD C 的中心点为P ，此时一只蚂蚁正在A 处，它要沿棱柱侧面到达P 所经过的最短路程是__________m
.
16.已知,a e 均是单位向量，若不等式2a e a te ++ 对任意实数t 都成立，则a 与e
的夹角的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知向量,a b 满足()()24,6,23,8a b a b -=-+= .
（1）求sin ,a b ；
（2）若()0a c c ≠ ∥，求b c + 的最小值.
18.（本小题满分12分）
如图，底面边长为6的正三棱锥S ABC -
的表面积为36+,,E F G 分别满足
211,,355
BE BC AG AS BF BS === ，平面EFG 交AC 于点M .
（1）判断点M 的位置，并证明；
（2）求三棱锥E BGM -的体积.
19.（本小题满分12分）
在①分别以,,a b c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知13234
S S S +-=；②()
33ABC AC CB CB S +⋅= ；③4sin sin 03b C c B π⎛⎫++= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足__________.
（1）求角B ；
（2）已知4a =，当29b c
+取最小值时，求ABC 内切圆的半径.20.（本小题满分12分）
深州蜜桃，又称“贡桃”，是河北省深州市的特产，中国国家地理标志产品，因其个头硕大，果型秀美，色泽鲜艳，皮薄肉细，汁甜如蜜，深受老百姓的喜欢.深州市某蜜桃种植村从该村某种植户的蜜桃树上随机摘下了200个蜜桃进行测重，测得其质量（单位：克）均分布在区间[100,700]内，并绘制了如图所示的频率分布直方图，利用样本估计总体的思想，同一组中的数据用该组区间中点值作代表.
（1）求出直方图中a 的值，估计该种植户所种植的蜜桃的质量的平均数和第75百分位数（第75百分位数精确到0.01）；
（2）已知该种植户的蜜桃树上大约还有10000个蜜桃待出售，现有甲､乙两个收购商要与该种植户签订合同：
甲收购商：所有蜜桃均以40元/千克收购；
乙收购商：质量低于200克的蜜桃不收购，质量落在区间[)200,300内的以8元/个的价格收购，质量落在区间[)300,400内的以14元/个的价格收购，质量落在区间[)400,500内的以24元/个的价格收购，质量落在区间[)500,600内的以36元/个的价格收购，质量高于或等于600克的以50元/个的价格收购.请你通过计算，帮助该种植户确定应与哪个收购商签订合同.
21.（本小题满分12分）
如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点E F ､分别是AB BC ､上的点，2BE BF ==，将,AED DCF 分别沿,DE DF 折起，使点,A C 重合于点M .
（1）求证：平面MEF ⊥平面MBD ；
（2）求二面角B DF M --的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知函数()2sin cos 666f x x x x πππωωω⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，当()()()12f x f x f x 时，12x x -的最小值为2
π.（1）求函数()f x 的对称轴；（2）当0ω>时，将函数的()f x 图象向右平移
6π个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若存在[]1,1a ∈-，使不等式()()113lg 212a g x k -⎛⎫++- ⎪⎝⎭ 对,12x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
恒成立，求实数k 的取值范围.
2022-2023学年高一下学期期末联考
数学参考答案及解析
1.D 解析：由题意得()1i 43i z -=-，所以()()()()43i 1i 43i 7171i,i 1i 1i 1i 2222z z -+-===+=---+，对应的点为71,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
.故选D.2.B 解析：由题意得3tan ,cos ,sin 344
A πππ⎧
=⎨⎩，{}{}221sin ,,,sin 11
6222B y y x y y π⎫⎪⎫=-===-⎬⎬⎭⎪⎭
∣∣ ，
所以1,,222A B ⎧⎫⎪
⎪⋂=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
.故选B.3.A 解析：因为5,32παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，所以0sin 1α<<，所以sin 3221,log sin 0,0sin 1a b c ααα=>=<<=<，所以a c b >>.故选A.
4.D 解析：因为15,56AE AB BE AB AD AF AD DF AD AB =+=+=+=+ ，所以()
11132125AM AE AF AB AD =+=+ .故选D.5.C 解析：由题意3,5,6a b c ===，
所以ABC S == 故选C.6.C 解析：设圆柱的母线长为l ，内切球的半径为r ，
外接球的半径为R ，则其轴截面如图所示，则2l r =，R =，
所以22222
123226,4,48S rl r r S r S R r ππππππ=+====，所以123::3:2:4S S S =.故选C.
7.B 解析：设甲组数据的平均数为1x ，方差为2
1s ，乙组数据的平均数为2x ，方差为22s ，混合后的新数据的平均数为x ，方差为2s ，则2
118,4s x ==，对于A ，新的一组数据平均数6868866x ⨯+⨯=
=+，故A 正确；对于B ，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式()()()2222221122266664(8)412121212s x x s x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-++-=+-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知无法确定新的一组数据方差，故B 错误；对于C ，因为乙组数据的平均数为8，方差为4，即2
228,4x s ==，所以6868866x ⨯+⨯==+，所以()22211612s s x x ⎡⎤=+-+⎣⎦()()22222611401222s x x ⎡⎤+-=⨯++⨯⎣⎦()
2404+=，故C 正确；对于D ，因为乙组数据的平均数为4，方差为8，即2224,8x s ==，所以666x =⨯+684666+⨯=+，所以()22211612s s x x ⎡⎤=+-+⎣⎦()()()222261144841222
s x x ⎡⎤+-=⨯++⨯+=⎣⎦10，故D 正确.故选B.8.C 解析：由题意得四边形ABCE 为上底边长为2，下底边长为4，高为3的梯形，CDE 为两个直角边长分别为3和4的直角三角形，
所以四边形ABCD 的面积为
243431522+⨯⨯+=，四边形ABCD 绕AD 旋转一周所得几何体的体积()1113416243164433V πππ=⨯⨯⨯++⨯+⨯⨯=，设重心G 到AD 的距离为1d ，则144152d ππ=⨯，解得12215d =；四边形ABCD 绕AB 旋转一周所得几何体的体积()211493636927833V πππ=⨯⨯++⨯-⨯⨯=，设重心G 到AB 的距离为2d ，则278152d ππ=⨯，
所以2135d =，所以200515
AG ==.故选C.二､多选题
9.AB 解析：2015-2022年全国汽车保有量最多为2022年，超过3亿辆，最少为2015年，大约1.7亿辆，极差大于一亿辆，故A 正确；2016-2022年全国汽车保有量的中位数为2019年的汽车保有量，由图知大于
2.5亿辆，故B 正确；2016-2022年全国汽车保有量的增长率前三个数据大于10.00%，两个大于或等于8.00%，一个在()7.00%,8.00%，一个在(5%,6%)，故平均数大于7.00%，故C 错误；虽然2016-2022
年全国汽车保有量的增长率逐年降低，但汽车保有量是逐年增加的，另外还有每年报废一部分的汽车，所以不一定能说明每年买汽车的人越来越少，故D 错误.故选AB.
10.AC 解析：对于A ，因为A B C π++=，所以
()()sin sin sin A B C C π+=-=，所以sin sin C A >，根据正弦定理得c a >，故A 正确；
对于B ，()()()()tan 2tan tan ,tan tan tan A B C B B A C B B ππ++=+=+=-=-，故B 错误；
对于C ，设()f x x α=，则216α
=，得14α=，所以()14f x x =，故C 正确；
对于D ，11222422x x x x +=-++=-- ，当且仅当122x x -=
-时，即3x =时等号成立，故D 错误.故选AC.11.ACD 解析：()()()()
123sin ,cos ,(cos ,sin ),cos ,sin P P P ααββαβαβ--++ ，()()()41cos ,sin ,(sin P OP αβαβα--∴=- ，()()23cos ),cos ,sin ,(cos OP OP αββαβ=-=+ ，
()()()()4sin ),cos ,sin OP αβαβαβ+=-- ，因为
121,1OP OP =
== ，所以12O OP = ，故A 正确；因为()()()34cos ,sin OP OP αβαβ⋅=++ .
()()()()()()()cos ,sin cos cos sin sin cos2αβαβαβαβαβαββ--=+-++-=，故B 错误；若13OP OP ∥，则
()()sin sin cos cos ααβααβ-+=+，即()()cos cos sin sin 0ααβααβ+++=，所以cos 0β=，
故C 正确；若24OP OP ⊥ ，则()()cos cos sin sin 0βαββαβ--+-=，
即cos 0α=，故D 正确.故选AC D.
12.ABD 解析：对于A ，连接11,,D C GE A B ，由于点,G E 分别是棱111,A B BB 的中点，
故1GE A B ∥，在正方体中，11A B D C ∥，故1GE D C ∥，且GE =112
D C ，故四边形1D GEC 为梯形，故直线1D G 与直线C
E 交于一点，故A 正确；
对于B ，取棱AB 的中点M ，连结1B M ，则11,B M AG B M AG =∥，
又取MB 的中点N ，连接,EN FN ，则111,2
EN B M EN B M =∥，所以NEF ∠（或补角）为异面直线AG 与EF 所成的角，设正方体的棱长为6，则222222355,,1322
EN BE BN NF BN BF EF BE BF =+==+=+由余弦定理得65cos 65NEF ∠=
，故B 正确；
对于C ，连接111,,B C A E A D ，则111,2
EF B C EF B C =∥，又11A D B C ∥，所以1A D EF ∥，故平面DEF 与平面1A DFE 为同一个平面，11111,,,B C BC BC CD CD B C C BC ⊥⊥⋂=∴⊥ 平面11A B CD ，
若1BC ⊥平面1A DFE ，则平面11A B CD ∥平面1A DFE ，
这与平面1A DFE ⋂平面111A B CD A D =矛盾，故C 错误；
由选项C 的证明知，1BC ⊥平面11A B CD ，设正方体的棱长为6，则162BC =B 到平面11A B CD 的距离为11322
BC =所以点F 到平面11A B CD 的距离为22AB 的中点Q ，连接,,GQ GF QF ，则GQ ⊥平面ABCD ，所以2226237GF =++，
所以直线GF 与11A B CD 所成的角的正弦值为
227，故D 正确.故选ABD.
三､填空题
13.50解析：3500080503500021000
⨯
=+，故为50名.故答案为50.2
14.12-解析：若复数()22i z m m =-+是纯虚数，
则2m =，所以()32log 31f ==，
所以()()()22212sin 1cos 1842f f f ππ===-=-.故答案为212-15.326解析：如图，将此棱柱沿1AA 剪开，其展开图为一个长为36m ，宽为6m 的矩形，侧面11CDD C 的中心P 在AF 上的投影为M ，所以若要最短，应沿着侧面1111,ABB A BCC B 走直线到P 处，
由图可知，15,3AM PM ==
，所以AP ==.
故答案为
.16.
3π解析：不等式2a e a te ++ 对任意实数t 都成立，即22()4()a e a te ++ 对任意实数t 都成立，即222222448a a e e a e t a et +⋅+++⋅
对任意实数t 都成立，因为,a e 均是单位向量，所以上式可整理为22410t a et a e +⋅+-⋅ 对任意实数t 都成立，所以()216()810a e a e ⋅--⋅ ，即22()10a e a e ⋅+⋅-
，所以()()2110a e a e ⋅-⋅+ ，得112a e -⋅ ，所以11cos ,2a e - ，得,,3
a e a ππ 与e 的夹角的最小值为3π.故答案为3
π.四､解答题
17.解：由()24,6a b -=- ，得()248,12a b -=- ，
同()23,8a b += 相减得，()1,4b =- ，
代入()24,6a b -=- 中，得()2,2a = .
（1
）所以334cos ,34a b a b a b
⋅=== ，
所以sin ,34
a b = .（2）因为a c ∥，所以()()2,20c λλλ=≠ ，所以(
)21,24b c λλ+=-+=
==
当34λ=-时，b c + 取最小值2
.18.解：（1）23
AM AC = ；证明如下：
11,,,55
AG AS BF BS GF AB ==∴ ∥又AB ⊂ 平面,ABC GF ⊄平面ABC ，
GF ∴∥平面ABC ，
又GF ⊂ 平面EFGM ，平面EFGM ⋂平面ABC ME =，
2,,,3GF ME ME AB BE BC AM ∴∴=∴= ∥∥23
AC （2）取BC 的中点H ，连结,SH AH ，
则SH BC ⊥，令SH a =，此三棱锥的表面积为34⨯1363636
2
a +⨯⨯⨯=+，得4a =，因为三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以S 在底面的
投影为ABC 的中心O ，连接SO ，所以13
OH =⨯
6
2
⨯=，所以SO ==111
553
E BGM G BEM S BEM V V V ---===2
15915
BEM ABC S S =⨯= 19.解：（1）选①依题意
22121sin60,24S a a S === 2222311sin60,sin60,2424
b b S
c === 22213233334444
S S S ac b +-==+- 即222ac a c b =+-，由余弦定理222cos 2a c b B ac
+-=1,2=()0,,3
B B ππ∈∴= .选②由题意()
233ABC AC CB CB +⋅= ，得AB .233ABC CB S = ，即233
ABC BA BC S ⋅= ，1sin
cos sin ,tan 32cos B ac B ac B B B
∴=∴==()0,,3B B ππ∈∴=
.选③4sin sin 03b C c B π⎛⎫++= ⎪⎝⎭
，由正弦定理得4sin sin sin sin 03B C C B π⎛⎫++=
⎪⎝⎭，sin 0C ≠ ，
4sin sin 03B B π⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭
，
1
sin cos 022
B B ∴-=，可得tan B =，因为()0,B π∈，所以3B π=
.（2）因为4,3a B π==
，所以2222cos b a c ac B =+-=
2164c c +-，所以292544b c c c +=+-- 6=，当且仅当25c c
=，即5c =时等号成立，
此时2216421b c c =+-=，所以b =，
113sin
222
ABC S ac B ac ==⨯= 设ABC 内切圆的半径为r ，则()12ABC S a b c r =
++ ，所以r =23372
ABC S a b c =++
所以ABC 内切圆的半径为
2.20.解：（1）由100(0.00050.00250.004a ⨯++++0.0010.0005)1+=，得0.0015a =.
由题中频率分布直方图可知，蜜桃质量在区间
[)100,200的频率为1000.00050.05⨯=，
同理，蜜桃质量在区间[)[)200,300,300,400，
[)[)[]400,500,500,600,600,700的频率依次为0.25,0.4,0.15,0.1,0.05，所以平均数为150x =⨯0.052500.253500.44500.15550+⨯+⨯+⨯+⨯0.16500.05365+⨯=因为0.050.250.40.70.75,0.050.25++=<++0.40.150.850.75+=>所以第75百分位数在第4组，设第75百分位数为n ，
则()0.050.250.40.00154000.75n +++-=，解得100400433.333
n =+≈，
所以该种植户所种植的蜜桃的质量的平均数为365，第75百分位数为433.33.
（2）若按甲收购商的方案收购：由（1）可知每个蜜桃的平均质量为365克，所以这10000个蜜桃大约重3650千克，于是总收益为403650146000⨯=（元）.若按乙收购商的方案收购：
由题意知各区间的蜜桃个数依次为500,2500,4000,1500,1000,500，
所以总收益为2500840001415002410003650050173000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.因为173000146000>，所以应与乙收购商签订合同.
21.解：（1）,,,MD MF MD ME MF ME M MF ⊥⊥⋂= ，
ME ⊂平面,MEF MD ∴⊥平面MEF ，
又MD ⊂ 平面,MBD ∴平面MEF ⊥平面MBD .
（2）设BD 与EF 交于点O ，连接MO ，
在平面MDB 内作MN BD ⊥于点N ，
在平面MDF 内作MG DF ⊥于点G ，连结NG ，
2,,BE BF EF BD MD ==∴⊥⊥ 平面,MEF EF ⊂平面MEF ，
,,MD EF MD BD ∴⊥⊂ 平面,MBD MD BD ⋂=,
D EF ∴⊥平面,MBD MN ⊂ 平面,MBD EF ∴⊥
,,,MN EF BD O EF BD ⋂=⊂ 平面,DEF MN ∴⊥
平面DEF ，又DF ⊂ 平面,DEF MN DF ∴⊥，
又,,,DF MG MG MN M MG MN ⊥⋂=⊂ 平面
,MNG DF ∴⊥平面MNG ，又NG ⊂ 平面MNG ，
,DF NG MGN ∠∴⊥∴为二面角B DF M --的平面角，
8,6,,10,MD MF MD MF DF MG ==⊥∴=∴= 245
MD MF DF ⋅=，MD ⊥ 平面,MEF MD MO ∴⊥，
22234,
2EF MO MF MO ⎛⎫=-=∴= ⎪⎝⎭ 22298,OD MD MO OD ∴=+=∴=
，
817,sin 7MD MO MN MN MGN OD MG ∠⋅∴==∴==51721
，
即二面角B DF M --的正弦值为
21.
22.解：（1）()2sin cos 666f x x x x πππωωω⎡
⎤⎛⎫⎫⎛⎫=+-+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎭⎝
⎭⎣⎦22sin cos (sin 2
6663x x x x ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭22cos 1]sin 22
633x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin2x
ω=由当()()()12f x f x f x 时，12
min 2x x π-=，得T π=，所以22T ππω
==，解得1ω=±，当1ω=时，则()2sin2f x x =，令2,2
x k k ππ=+
∈Z ，解得,24k x k ππ=+∈Z ，当1ω=-时，则()()2sin 22sin2f x x x =-=-，令2,2x k k ππ=+
∈Z ，解得,24k x k ππ=+∈Z ，所以对称轴方程为,24k x k ππ=+∈Z .（2）由（1）知()2sin2f x x =，将函数的()f x 图象向右平移6
π个单位，
再向下平移1个单位，得到函数()2sin 213g x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
，当,12x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，()[]3,1g x ∈-；当[]1,1a ∈-时，[]111,42a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.
因为不等式()()113lg 212a g x k -⎛⎫++- ⎪⎝⎭
对x ∈,12ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
恒成立，所以1min 1()32a g x -⎛⎫++ ⎪⎝⎭
()lg 21k -，所以()110lg 212a k -⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，
又存在[]1,1a ∈-，使得()110lg 212a k -⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，
所以()lg 211k -- ，得102110k <-
，解得k ∈111,220⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以k 的取值范围为111,220⎛⎤ ⎥⎝⎦.。