广义积分中值定理证明

广义积分中值定理证明
广义积分中值定理（generalized mean value theorem）是一个有用的数学定理，它表明，在连续，可微函数f（x）之间的任意一部分域G（a，b）中，存在至少一个点c，使得该函数在区间G（a，b）上的广义积分与端点值a和b上函数值之和等式成立。

假定f（x）在区间G（a，b）上是连续可微的，函数f（x）的广义积分定义为：F（b）-F （a）= ∫f（x）dx，其中F（x）为f（x）的反函数，极限定义为limx→a+F（x）=a，limx→b-F（x）=b。

为了证明广义积分中值定理，我们假设存在的c点的确切位置，假设函数f（x）在区间G （a，b）上可微，即：f（x）=f'（x）。

因此，广义积分可以表示为：
F（b）-F（a）=∫af（x）dx+（b-c）f（c）-c f'（c）。

利用上述式子，我们可以得到
F（b）-F（a）= F（b）-F（c）+ F（c）-F（a）
=（b-c）f（c）- c f'（c） +（c-a）f（c）+ c f'（c）
=（b-a）f（c）。

由此可见，当f（x）在G（a，b）上连续可微时，存在满足条件的c点，使得F（b）-F （a）=（b-a）f（c）。

这就是广义积分中值定理。

综上所述，可以得出结论：广义积分中值定理是一个有用的数学定理，它表明，在连续，可微函数f（x）之间的任意一部分域G（a，b）中，存在至少一个点c，使得该函数在区间G（a，b）上的广义积分、端点值a和b上函数值之和之间的等式成立。