2021_2022学年高中数学第1章统计44.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差学案北师

4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4．2 标准差
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．(重点)
2．方差、标准差在实际问题中的应用．(难点) 1.通过求一组数据的平均数、中位数、众
数、极差、方差、标准差，培养数学运算素养．
2．通过方差、标准差在实际问题中的应用，
提升数据分析素养.
一、平均数、中位数、众数 1．众数的定义
一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．
2．中位数的定义及求法
把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．
3．平均数的定义
如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n
n
，叫作这n 个数的平均数．
二、极差、方差、标准差 1．标准差、方差 (1)标准差的求法：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．
s ＝
1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2
].
(2)方差的求法：
标准差的平方s 2
叫作方差．
s 2＝1
n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]
其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本均值． (3)方差的简化计算公式：
s 2＝1
n
[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2
]
＝1n
(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2.
2．极差
一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差． 3．数字特征的意义
平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．
思考：一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有一样的结论？
[提示] 一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个．
1．一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数的大小关系是( )
A ．平均数＞中位数＞众数
B ．平均数＜中位数＜众数
C ．中位数＜众数＜平均数
D ．众数＝中位数＝平均数
D [可得该组数据的平均数、中位数和众数均为50.]
2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.假设该样本的平均数为1，那么样本方差为( )
A.
6
5
B.65
C. 2
D ．2
D [∵样本的平均数为1，即15×(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a ＝－1，∴样本方差s 2
＝15×[(－
1－1)2
＋(0－1)2
＋(1－1)2
＋(2－1)2
＋(3－1)2
]＝2.]
3．一次选拔运发动的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如下图．记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 等于( )
18 0 1 17
0 3 x 8 9
A.5 B ．6 C ．7
D ．8
D [由题意知，10＋11＋0＋3＋x ＋8＋9＝7×7，解得x ＝8.]
4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
那么：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
(1)7 (2)2 [(1)x＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4
10
＝7.
(2)∵s2＝1
10
[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]
平均数、中位数、众数的计算【例1】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运发动的成绩如表所示：成绩
(单位：m)
人数2323411 1 分别求这些运发动成绩的众数、中位数与平均数．
[解] 据的平均数是x＝1
17
(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝,17)≈1.69.所以这17名运发动成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75,1.70,1.69.
中位数、众数、平均数的应用要点
中位数、众数反映了一组数据的“中等水平〞“多数水平〞，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用．
(1)求中位数的关键是将数据排序，一般按照从小到大的顺序排列．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势．
(2)确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数．当一组数据中有不少数据屡次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势．
(3)平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大，因此假设在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体．有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体．
1．(1)16位参加百米半决赛同学的成绩各不一样，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，那么其他15位同学成绩的以下数据中，能使他
得出结论的是( )
A ．平均数
B ．极差
C ．中位数
D ．方差
(2)一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么该组数据的众数是________，平均数是________．
(1)C (2)6 5 [判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．
(2)因为中位数为5，所以
4＋x
2
＝5，即x ＝6.所以该组数据的众数为6，平均数为－1＋0＋4＋6＋6＋15
6
＝5.故填6和5.]
方差、标准差的计算
【例2】 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件
测量，数据为：
甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100.
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
[解] (1)x 甲＝1
6
(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
x 乙＝1
6
(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s 2甲＝16
[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2
＋(103－
100)2
]＝73
，
s 2乙＝1
6
[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2
＋(100－
100)2
]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值一样，又s 2
甲＞s 2
乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
1．计算标准差的五个步骤 (1)算出样本数据的平均数x .
(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：x i －x (i ＝1,2,3，…，n )． (3)算出(2)中x i －x (i ＝1,2,3，…，n )的平方． (4)算出(3)中n 个平方数的平均数，即为样本方差． (5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差． 2．标准差(方差)的两个作用
(1)标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． (2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进展决策．在平均值相等的情况下，比拟方差或标准差以确定稳定性．
2．(1)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数为：90,89,90,95,93,94,93，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下数据的平均值和方差分别为( )
(2)样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，标准差是2，那么xy ＝________.
(1)B (2)96 [去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为x ＝90＋90＋93＋94＋935＝92，方差为s 2＝15[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2
＋(93
－92)2
]＝15
(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.
(2)由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50，
所以x ＋y ＝20.又由(9－10)2
＋(10－10)2
＋(11－10)2
＋(x －10)2
＋(y －10)2
＝(2)2
×5＝10，
得x 2
＋y 2
－20(x ＋y )＝－192，(x ＋y )2
－2xy －20(x ＋y )＝－192，xy ＝96.故填96.]
数据的数字特征的综合应用
1．在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你“我们公司的收入水平很高〞“去年，在50名员工中，最高收入到达了100万，他们年收入的平均数是5.5万〞．如果你希望获得年薪4.5万元，你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？
提示：这里的“收入水平〞是指员工收入数据的某种中心点，即可以是中位数、平均数或众数，假设是平均数，那么需进一步了解企业各类岗位收入的离散情况．
2．极差与方差是怎样刻画数据离散程度的？
提示：方差与极差越大，数据的离散程度就越大，也越不稳定，数值越小，离散程度就越小，越稳定．
【例3】在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数5060708090100
人数
甲组25101314 6
乙组441621212
已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组
在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
[思路探究] 解答此题可从众数、平均数、方差等几方面综合分析．
[解] (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比拟看，甲组成绩好些．
(2)x甲＝1
2＋5＋10＋13＋14＋6
(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)
＝1
50
×4 000＝80(分)，
x乙＝
1
4＋4＋16＋2＋12＋12
(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝
1
50
×4 000＝80(分)．
s2甲＝
1
2＋5＋10＋13＋14＋6
[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－
80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
s2乙＝
1
4＋4＋16＋2＋12＋12
[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－
80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵s2甲＜s2乙，∴甲组成绩比乙组成绩稳定，故甲组好些．
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得总分值的人数比甲组得总分值的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进展必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好.像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“总分值人数〞；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言做出结论.
3．甲、乙两人在一样条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如下图：
(1)分别求甲、乙两人打靶成绩的平均数、中位数及命中9环以上的次数(含9环)；
(2)从以下三个不同角度对这次测试结果进展分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？
[解](1)由图可知，甲打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
，命中9环及9环以上的次数是3；
乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.
(2)由(1)知，甲、乙的平均数一样．
①甲、乙的平均数一样，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．
②甲、乙的平均数一样，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．
③从折线图中看，在后半局部，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．
1．一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序．2．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.
1．思考辨析
(1)当样本中的数据都增加一样的量时，平均数不变．( )
(2)一组样本数据的众数只有一个． ( )
(3)样本的中位数可以有两个值．( )
(4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( )
(5)数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定．( )
(6)样本的标准差和方差都是正数． ( )
[解析] (1)×，根据平均数的定义可知错误．
(2)×，根据众数定义知众数可以一个，也可以多个．
(3)×，由中位数的定义可知错误．
(4)√，极差与标准差都反映了样本数据的波动性和离散程度． (5)×，平均数与数据的波动性无关． (6)√，根据标准差与方差的公式可知．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
2.假设某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如下图，那么这
组数据的中位数和平均数分别是( )
A ．
C ．91和91.5
D ．92和92
A [x ＝
87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5，中位数为91＋92
2
＝91.5.]
3．某教师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，那么该组数据的方差s 2
＝________.
16
5
[该组数据的平均数为
10＋6＋8＋5＋6
5
＝7，方差
s 2＝
(10－7)2
＋(6－7)2
＋(8－7)2
＋(5－7)2
＋(6－7)2
5＝16
5
.]
4．甲、乙两名战士在一样条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
[解] (1)x 甲＝1
10
(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)．
x 乙＝110
(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
(2)由方差公式
s 2＝1
n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]
可求得s 2
甲＝3.0(环2
)，s 2
乙＝1.2(环2
)．
(3)∵x 甲＝x 乙，s 2
甲> s 2
乙，∴乙战士的射击成绩较稳定．。