弹性力知识学知识题2

习 题
2-1 如果某一问题中，0z zx xy σττ===，只存在平面应力分量x σ
，y σ，xy τ，且它们不
沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应力 问题？(是)
2-2 如果某一问题中，0z zx zy εγγ===，只存在平面应变分量x ε ，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？(是)
2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。

(自由表面薄层中：000z yz xz
x y xy σττσστ=≠近于平面应力
问题)
2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图2-12，当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。

(000z yz yz xz yz εττγγ===∴==只有0x y xy εεγ≠接近平面应变问题)
2-5 在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件0C M =∑，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？(xy yx ττ=)
3-1 试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。

3-2 取满足相容方程的应力函数为：（1）2ax y Φ=，（2）2
bxy Φ=，（3）2cxy Φ=，试求
出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。

3-3 试考察应力函数223(34)2F
xy h y h
Φ=
-能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），
画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。

3-4 试证2323334312410qx y y qy y y h h h h ⎛⎫⎛⎫Φ=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l ，深度为h ，体力不计）。

3-5 设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力
q ，图3-10，试求应力分量。

4-1 试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。

4-2 试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。

4-3 在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。

并证明,0B
u A u ρϕρρ
=+=可以
满足此基本方程。

4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。

4-5 试由一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式［§4-3中的式(a)，(b)，(c)］。

5-1 长l 悬臂梁，B 端作用集中力P 分别用
1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程 求B 端挠度(设2312v b x b x =+)
6-6 试求图6-25所示结构的结点位移和应力，取1,0t m μ==。

l
A
B
P
7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个应力的平均值。

7-2 设某一物体发生如下的位移：
012301230123u a a x a y a z v b b x b y b z w c c x c y c z
=+++=+++=+++ 试证明：各个形变分量在物体内为常量（即所谓均匀形变）；在变形以后，物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面保持平行，平行线保持平行，正平行六面体变成斜平行六面体，圆球面变成椭球面。

8-5 半空间体在边界平面的一个圆面积上受有均布压力q 。

设圆面积的半径为a ，试求圆心下方距边界为h 处的位移。

3-1 考察应力函数3ay Φ=在图示矩形板和坐标系能解决什么问题。

解①4444224
000x x y y ∂Φ∂Φ
∂Φ===∂∂∂∂满足双调和方程（相容方程）可作应力函数
②应力分量(2-24)：22222600x y xy ay
y
x x y
σστ∂Φ
∂Φ∂Φ=====-=∂∂∂∂
③力边界条件(2-25)：x yx x
y xy y l m f m l f στστ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
上下边界01:00x y l m f f ==±==
左边界1060x x y l m f ay f σ=-==-=-= 右边界1060x x y l m f ay f σ=-====
④0a >解决偏心拉伸问题 0a <解决偏心压缩问题
3.2 解：①2222022x y xy ay ax y x
σστ∂Φ∂Φ
=====-∂∂
力边界：x yx x
y
xy y l m f m l f στστ⎧+=⎪⎨
+=⎪⎩
上边界 0122x y y l m f ax f ay σ==-==-=- 下边界 0122x y y l m f ax
f ay σ===-==
左边界 1002x x y xy l m f f ax στ=-==-==-= 右边界 10
2x y xy l m f x f ax στ======-
②222220
2x y xy bx by y x
σστ∂Φ∂Φ
=====∂∂
力边界：x yx x
y
xy y l m f m l f στστ⎧+=⎪⎨
+=⎪⎩
上边界 0120x yx y y l m f by f τσ==-=-=-=-= 下边界 0120x yx y l m f by f τ=====
左边界 1022x x y xy l m f bx f by στ=-==-=-=-=-
右边界 1022x y xy l m f x bx
f by στ======
③22222260
3x y xy cxy
cy y
x
x y
σστ∂Φ
∂Φ∂Φ
=====-=∂∂∂∂
力边界：x yx x
y
xy y l m f m l f στστ⎧+=⎪⎨
+=⎪⎩
上边界 20130x yx y y l m f cy f τσ==-=-=-=-=
下边界 2
0130x yx y l m f cy f τ=====
左边界 21063x x y xy l m f cxy f cy στ=-==-=-=-=-
右边界 21063x y xy l m f x cxy
f cy στ======
3-3、3-4
解：1、将两种函数分别代入式中，得知能满足双调和方程，因此，可作为应力函数。

2、由应力函数，可求得应力分量，考虑各边界条件后，可求得面力（或合力），从而得知各自能解决的问题，见表3-12所列。

表3-12 两种应力函数所对应的应力、面力、合力
应力函数
3
3
23
2
Fxy Fxy
U
h h
=-(1)
2323
33
432
1
410
qx y y qy y y
U
h h h h
⎛⎫⎛⎫
=-+-+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
(2)
应力分量
3
2
3
12
,0
63
2
x y
xy
Fxy
h
Fy F
h h
σσ
τ
==
=-+
23
33
3
3
2
3
643
5
43
1
2
123
2
x
y
xy
qx y qy qy
h h h
q y y
h h
qx y
h h
σ
σ
σ
=-+-
⎛⎫
=-+-
⎪
⎝⎭
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
边界条件上
边
/2/2
()0,()0
y y h xy y h
στ
=-=-
==
/2/2
(),()0
y y h xy y h
q
στ
=-=-
=-=下
边
/2/2
()0,()0
y y h xy y h
στ
==
==
/2/2
()0,()0
y y h xy y h
στ
==
==
边界条件左
端
/2/2
/2/2
/2
/2
()0,()
()
h h
x x l xy x l
h h
h
x x l
h
dy dy F
ydy Fl
στ
σ
=-=-
--
=-
-
==
=-
⎰⎰
⎰
/2/2
/2/2
/22
/2
()0,()
()/2
h h
x x l xy x l
h h
h
x x l
h
dy dy ql
ydy ql
στ
σ
=-=-
--
=-
-
==
=-
⎰⎰
⎰
右
端
/2/2
/2/2
/2
/2
()0,()
()
h h
x x l xy x l
h h
h
x x l
h
dy dy F
ydy Fl
στ
σ
==
--
=
-
==
=
⎰⎰
⎰/2/2
/2/2
/22
/2
()0,()
()/2
h h
x x l xy x l
h h
h
x x l
h
dy dy ql
ydy ql
στ
σ
==
--
=
-
==-
=-
⎰⎰
⎰
面力（合力）
解决问题
悬臂梁一端受集中力和力矩作
用；或简支梁两端受力矩作用
悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力
和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用，
上边受均布载荷作用
3-5 解1、半逆解法确定Φ主要边界0,()0x x b σ==故可设0x σ= 即221220
()()()x x f x f x yf x f x y y y σ∂Φ∂Φ
∂Φ
=-===Φ=+∂∂∂ 444441444
22
4
()
()0
0d f x d f x y x dx dx x y y ∂Φ∂Φ
∂Φ
=+==∂∂∂∂ 4
0∇Φ=即44144()
()0d f x d f x y dx dx +=对y 的任意值均成立则有：
44
()
0d f x dx = 32()f x Ax Bx Cx =++(略去了与应力无关的常数项) 414
()0d f x dx
= 321()f x Ex Fx =+(略去了与应力无关的常数项及次项) 故3232()y Ax Bx Cx Ex Fx Φ=++++ 2、应力22220
(62)62x x y y f x f y y Ax B Ex F gy y
x
σσρ∂Φ
∂Φ
=-==-=+++-∂∂
22(32)xy Ax Bx C x y
τ∂Φ
=-=-++∂∂
3、边界条件定常数：0()0
0xy x C τ==∴=
2232
00()(32)()000xy x b b xy y q A q
Ab Bb q b q dx Ab Bb Ab B B b
ττ===-⎫=∴-+=⎪⎬=∴+=+=⎪
=
⎭⎰上端面即
0000()03200()0
20b
y y b
y y dy Eb F E F xdx Eb F σσ==⎫=+=⎪
==⎬=+=⎪
⎭
⎰⎰
则2330(1)(2)x y xy q x
qx x
y gy b b
b b
σσρτ==--=
- 4-1
解：①物理方程完全相似，因为极坐标和直角坐标都是正交坐标等。

②平衡方程多了非微分项，这是由于
ⅰ)微分体二径向边不平行，使θσ对ρ方向的平衡产生了影响。

ⅱ)二环向边不等长使ρσ在ρ方向，0ρτ在Q 方向产生附加影响。

③几何方程多了非微分项这是由于
微分体二径向边平不平行，u ρ引起周向应变u ρ
ρ
u ϕ引起剪应变
u u ϕϕ
ρ
ρ
∂-
∂
4-2 仿照直角坐标系的旋转变换
cos sin sin cos u u u u ρϕ
ϕυϕ
ϕυϕ
=+⎧⎨=-+⎩ 介上式：cos sin sin cos u u u u u ρϕρϕϕϕυϕϕ=+⎧⎨=+⎩ 4-3 轴对称位移问题，导出按位移求解的基本方程，并证明0B
u A u ρϕρρ
=+
=满足此方程
解：按位移轴对称条件（应力也轴对称）：0()0()0u u u ρϕρρρρσσρτ====
代入平衡方程
0d d ρρϕσσσρ
ρ-+
= (a) 几何方程0u du
u d ρρ
ρ
ρϕρϕεεγρρ
ρ
∂===
=∂ (b)
物理方程2
2
()()011E E ρρϕϕϕρρϕσεμεσεμετμμ=-=-=-- (c)
(c)代入(a)得
1
(1)()0d d d d ρϕρϕεεμ
μεερ
ρ
ρ
++
--= (d)
(b)代入(d)得位移轴对称问题按位移求解基本方程： 22
210du u d u d d ϕρρρρρρ
+-= 或1()0d
d u d d ρρρρρ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。

由几何方程所得应变间的关系即相容方程：
0du u d ρρ
ρϕρϕρεεγρ
==
=中第2式微分
21111
d du u d d ϕρρρϕεεερ
ρρρρρ=
-=-即相容方程0d q q d ϕϕρερρ
+-= 5-1 长l 悬臂梁，B 端作用集中力P 分别用
1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程求B 端挠度(设2312b x b x υ=+) 解：1) 2312b x b x υ=+满足位移边界条件()00
0x x dv v dx ==⎛⎫
== ⎪⎝⎭ 应变能2
221220011(26)22l l d v U EI dx EI b b x dx dx ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
⎰⎰2223
11222(33)EI b l b b l b l =++
外力势能23112()()x V P v P b l b l ==-=-+
11112222x l
x l U
v b P b b b U v b P b b b δδδδ==⎫⎛⎫∂∂=⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎬
⎛⎫∂∂⎪= ⎪⎪
∂∂⎝⎭⎭
总势能2223
231122122(33)()U V EI b l b b l b l P b l b l ∏=+=++-+
由0δ∏=得：2212102(23)0EI b l b l Pl b ∂∏
=+-=∂解得12Pl
b EI =
233122
02(36)0EI b l b l Pl b ∂∏
=+-=∂ 26P b EI
=-
则挠曲线方程为23
23
()263B x l
Pl P Pl v x x
v v EI EI
EI
==-== 2)2312v b x b x =+满足位移边界条件00
()00x x dv v dx ==⎛⎫
== ⎪⎝⎭，
应变能2223
11222(33)U EI b l b b l b l =++
位移变分方程U W δδ=
2
2
1122331222(23)22(36)6Pl b EI b l b l Pl EI P EI b l b l Pl b EI ⎫=
⎪⎫
+=⎬
⎬+=⎭
⎪
=-
⎭
6-6 试求图示结构的结点位移和应力，取10t m μ==
解：1、离散化如图，建立坐标系0x y ，划分单元①②，节点编号1，2，3，4 单元节点编号 节点坐标
e
i
j
k
节点号 x y
① 1 4 2 1 0 1 ②
2
3
1
2 1 0
3
1 1 4
2、单元刚度矩阵 单元①
111()(01)222i j j i A b c b c =-=+=
(或111122
A x x ==) 应变矩阵[]0
0000101010000101002101101i j m
i j m i
i
j
j
m
m b b b B c c c A c b c b c b ⎡⎤-⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥=
=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦
弹性矩阵[]2102001002012
100100
2E E D μμ
μμ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢
⎥⎢⎥==⎢
⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣
⎦
应力矩阵[][][]0020200202002121101E S D B -⎡⎤
⎢
⎥==-⎢
⎥--⎣⎦
单元刚度矩阵
[][][][][]
[]101101020200103121121
3014002020101101T T
K B D B tA
E
B S tA =--⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---==⎢⎥---⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥--⎣
⎦ 单元②单刚与①相同
[]B 符号相反，[]S 符号也相反[]101101020200103121121
3014002020101101E K --⎡⎤⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥
---=⎢⎥---⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥--⎣
⎦ 3、整体分析 整体刚度矩阵
14221141241241011110
i j m i j m b b y y b y y b y y c c x x c x x c x x ==-==-=-=-===-==-=-=-=K 11 K 14 K 12 K 41
K 44 K 42 K 21 K 24 K 22 K 22 K 23 K 21 K 32
K 33 K 31 K 11 K 13 K 12
[][][]11
1213142122232431
323341424430012011031011020130112010030211021103100440
011213001021003112010013K K K K K K K K E E K K K K K K K K K ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥
⎢⎥---⎡⎤
⎢⎥⎢⎥---⎢
⎥⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎢⎥
⎢⎥---⎢⎥---⎢⎥⎣⎦
整体刚度方程 4、位移边界条件处理
1112223344300120110310110200130112001
00302112110
310004011213000102100310120100130u F v u v F E u v u v ---⎧⎫⎧⎫
⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪---⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪---⎪⎪⎢⎥⎪⎪
----⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥---⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪
---⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥---⎪⎪⎪⎪
⎢⎥
⎪⎪⎪⎪---⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭
5、方程求解，去除123344000000u u u υυυ======六个方程 得：12211222121
(3)312131(3)
2u F F u F E v F v F F E
=
+⎧⎫⎧⎫
⎡⎤=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎩⎭
⎩⎭=+ 6、单元应力，设12F F F ==则，1222F F
u v E
E
=
=-
222200000
00
0T
T
F
F F
F E
E E
E
δδ-⎡⎤
⎡⎤=-
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦
{}
[]{}0020200220202000000021011010T x y xy E F
F s E E σσσδτ⎧⎫-⎧⎫
⎡⎤⎪⎪⎪⎪
⎡⎤⎢⎥===--=⎨⎬⎨⎬⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎪--⎩⎭
⎣⎦⎩⎭
{}
[]{}0020202220202000
00
022*******T x y xy F E F
F s F E
E
σσσδτ⎧⎫--⎧⎫
⎡⎤
--⎪⎪⎪⎪⎡⎤
⎢⎥===-=+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎪--⎩⎭
⎣⎦⎩⎭
平均应力{}{}120x y xy F F σσσστ⎧⎫-⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎡⎤=+=+⎨⎬⎨⎬⎣⎦
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个主应力的平均值。

①+② ②
①+② ②
② ② ① ①
①
①
①
②
①+② ①+② ② ① ②
①
① ①
② ②
① ②
证：取坐标面与三个主平面重合，由题意
l m n == 由式(7-3)，2221231231()3
n l m n σσσσσσσ=++=++ 7-2 解：1)123x y z u v w
a b c x
y
z
εεε∂∂∂=
==
==
=∂∂∂ 122331xy yz yx v u w v
u w b a c b a c x y
y z
z x
γγγ∂∂∂∂∂∂=
+=+=
+=+=
+=+∂∂∂∂∂∂ 2)平面方程0Ax By Cz D +++=，按题意平面上任一点(,,x y z )位移到(,,)x u y v z w +++代入方程后仍是平面方程111222333000()()()()0A a b c x B a b c y C a b c z D a b c +++++++++++++++=
3)设直线方程：111121220
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩即二平面的交线
变形后，按2)得二个新的平面的交线，仍为直线 4)二个平行平面：
120
Ax By Cz D Ax By Cz D +++=+++=法线的方向数ABC 。

点(,,)x y z 用
(,,)x u y z w υ+++代替整理后，二平面的法线的方向数仍相同，即平行。

由此推论：正平行
六面体变形后成为斜平行六面体(由于xy yz zx γγγ的存在单元体变斜)
5)把二平行线定义为二平行平面的法线，变形后按4)二新的平行平面的法线仍平行 6)园球面方程2222x y z a ++=，点(,,)x y z 用(,,)x u y z w υ+++代入可得形如
2222111Ax By Cz a ++=的方程，即椭球面。

8-5 解：按(8-6)微元集中力q d d ρθρ⋅产生z u 对d θ积分后
得2
222(1)z h du h z μ⎤
=-+⎥+⎦
112
222222
22
2200
2(1)(1)2(1)()()a a z h q qh u h h h z E E μμμρρ-⎤-+=-+=+-+⎥+⎦
22
(1)(12)q h E μμ⎤+=-⎥⎦。