考点22 点线面的判断与证明(解析版)

考点22 点线面的判断与证明
1. 了解空间线面平行、面面平行的有关概念,能正确地判断空间线线、线面、面面的位置关系;理解关于空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理;并能用图形语言和符号语言表述这些定理 .
2 能运用公理及其推论和相关定理证明一些空间位置关系的简单命题 .
江苏高考对立体几何的考查主要有两个方面,一是对体积(或点到平面的距离)、表面积的一类计算问题的考查,二是对直线与平面的位置关系的考查 . 以一大一小两题的形式进行考查,其中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的位置关系的考查是高考中必考的问题,尤其是直线与平面平行、垂直关系的证明尤为重要 . 在证明的过程中,一定要注意推理的严密性,条件不要遗漏 . 另外,要关注与位置关系有关的一类探究性问题,它体现了新课程中考查学生的探究能力的要求,值得注意。

对于江苏之外地区的高考在大题的考查中，除了考查线面、面面以及线线的位置关系的证明外，第2问设置了空间向量求角与距离的求解题。

复习中,一要重视对本部分概念的内涵与外延的理解、定理的应用,做到弄清搞透;二要重视对典型问题求解基本思想方法的掌握,做到应用自如,特别是化归、转化等思想方法的掌握与应用;三要重视解题过程的规范训练,尽量避免因解题不规范而丢分 . 对于本部分的内容,高考的重点还是线线平行、线面平行、面面平行的判定以及它们的性质的应用
1、【2020年全国2卷】设有下列四个命题：
p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
.
p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④ 【解析】对于命题
1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；
若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内， 同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，
所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；
对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；
对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；
对于命题4p ，若直线m ⊥平面α， 则m 垂直于平面α内所有直线， 直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ， 命题4p 为真命题. 综上可知，
，
为真命题，
，
为假命题，
14p p ∧真命题，12p p ∧为假命题，
23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.
故答案为：①③④.
2、【2020年浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，
当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.
当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而
,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.
综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B
3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．
4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则
A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线
B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线
C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线
D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B
【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.
过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，
平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，
MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35
,,72
MF BF BM =
=∴=，BM EN ∴≠，故选B ．
5、【2018年高考浙江卷】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得
.由
不能得出
与
内任一直线平行，所以
是
的充分不必要条件，故选A.
6、【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l ⊥m ；
②m ∥α；
③l ⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；
（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.
7、【2020年江苏卷】.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．
（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB . 由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB
平面ABC ，所以1B C AB ⊥.
由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB
平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .
8、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．
（2）BE ⊥C 1E ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .
在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .
又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.
（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .
因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.
因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .
9、【2018年高考江苏卷】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．
（2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．
（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．
又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．
又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．
题型一 性质定理与判定定理的综合考查
1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）m 、n 是平面α外的两条直线，在m ∥α的前提下，m ∥n 是n ∥α的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
//m α，则存在l α⊂有//m l .而由//m n 可得//n l ，从而有//n α.反之则不一定成立，,m n 可能相交，
平行或异面.所以//m n 是//n α的充分不必要条件，故选
A
2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α，β平行与同一个平面
C ．α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行
D ．α，β垂直与同一个平面
【答案】C 【解析】
对于A ，α内有无数条直线与β平行，可得α与β相交或α或β平行； 对于B ，α，β平行于同一条直线，可得α与β相交或α或β平行； 对于C ，α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行，可得α∥β； 对于D ，α，β垂直与同一个平面，可得α与β相交或α或β平行． 故选：C ．
3、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知l ，m 是两条不同的直线，α是平面，且//m α，则（ ） A ．若//l m ，则//l α B ．若//l α，则//l m C ．若l m ⊥，则l α⊥ D ．若l α⊥，则l m ⊥
【答案】D 【解析】
A 选项 有可能线在面内的情形，错误；
B 选项中l 与m 还可以相交或异面，错误；
C 选项中不满足线面垂直的判定定理，错误，
D 选项中由线面垂直的性质定理可知正确. 故选：D
A ．β内一定能找到与l 平行的直线
B ．β内一定能找到与l 垂直的直线
C ．若β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行
D ．若β内有无数条直线与l 垂直，则β与α垂直 【答案】B 【解析】
由α，β是两个相交平面，其中l ⊂α，知：
在A 中，当l 与α，β的交线相交时，β内不能找到与l 平行的直线，故A 错误； 在B 中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l 垂直的直线，故B 正确； 在C 中，β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C 错误； 在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．
5、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）如果用,m n 表示不同直线，,,αβγ表示不同平面，下列叙述正确的是（ ）
A ．若//m α，//m n ，则//n α
B ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβ
C ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
D ．若m α⊥，n α⊥，则//m n
【答案】D 【解析】
选项A 中还有直线n 在平面α内的情况，故A 不正确，
选项B 中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故B 不正确， 选项C 中还有,αβ相交，故C 不正确， 故选：D ．
6、(2019苏北模拟） 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，l ⊥α，m ⊂β.给出下列命题：
①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α.
其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号．．．．．．．．．．．
)． 答案： ①④ 【解析】：①由l ⊥α，α∥β，得l ⊥β，又因为m ⊂β，所以l ⊥m ；
②由l ⊥α，α⊥β，得l ∥β或l ⊂β，又因为m ⊂β，所以l 与m 或异面或平行或相交；
③由l ⊥α，m ∥α，得l ⊥m .因为l 只垂直于β内的一条直线m ，所以不能确定l 是否垂直于β； ④由l ⊥α，l ⊥β，得α∥β.因为m ⊂β，所以m ∥α.
7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD
【解析】
若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判
定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n α
β=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，
11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；
垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；
若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．
8、（2020届山东省济宁市高三上期末）己知m
n 、为两条不重合的直线,αβ、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是( )
A ．若//,//m n αβ且//,αβ则//m n
B ．若//,,,m n m n αβ⊥⊥则//αβ
C ．若//,,//,m n n m ααββ⊂⊄，则//m β
D ．若//,,m n n ααβ⊥⊥，则//m β 【答案】BC 【解析】
A. 若//,//m n αβ且//,αβ则可以//m n ，,m n 异面，或,m n 相交，故A 错误；
B. 若//,,m n m α⊥则n α⊥，又,n β⊥故//αβ，B 正确；
C. 若//,,m n n α⊂则m α或m α⊆，又//,m αββ⊄，故//m β，C 正确；
D. 若//,,m n n α⊥则m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊆，D 错误； 故选：BC
9、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：
①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°
. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)
【答案】①④
【解析】
对于①，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AE ，又,EA AB PA AB A ⊥⋂=，所以EA ⊥平面PAB ，从而可得EA PB ⊥，故①正确．
对于②，由于PA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 与平面PBC 不可能垂直，故②不正确．
对于③，由于在正六边形中BC AD ∥，所以BC 与EA 必有公共点，从而BC 与平面PAE 有公共点，所以直线BC 与平面PAE 不平行，故③不正确．
对于④，由条件得PAD ∆为直角三角形，且PA ⊥AD ，又2PA AB AD ==，所以∠PDA=45°．故④正确．
综上①④正确．
答案：①④
题型二 线面平行、垂直的判定与性质
1、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：
（1）AC//平面1EDB ；
（2）平面1EDB ⊥平面1B BD .
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点
取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112
OF BB =.
在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点
所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF .
又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .
(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD ,
所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为正方形
所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.
又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD .
又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .
2、（江苏省南通市海安市2019-2020学年高三下学期3月月考）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：
（1）AC//平面1EDB ；
（2）平面1EDB ⊥平面1B BD .
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点
取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112
OF BB =. 在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点
所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF .
又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .
(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD ,
所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为正方形
所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.
又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD .
又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .
3、(2019镇江期末）如图，在四棱锥VABCD 中，底面ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N.
(1) 求证：BC ⊥平面VCD ；
(2) 求证：AD ∥MN.
规范解答 (1)在四棱锥VABCD 中，
因为VD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以VD ⊥BC.(3分)
因为底面ABCD 是矩形，所以BC ⊥CD.(4分)
又CD ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ，CD ∩VD ＝D ，则BC ⊥平面VCD.(7分)
(2)因为底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC.(8分)
又AD ⊄平面VBC ，BC ⊂平面VBC ，则AD ∥平面VBC.(11分)
又平面ADNM ∩平面VBC ＝MN ，AD ⊂平面ADNM ，则AD ∥MN.(14分)
4、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，点E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．
(1) 求证：EF ∥平面ABC ；
(2) 求证：BB 1⊥AC.
规范解答 (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF∥AC.(4分) 因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分)
(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1⊥AB.
因为平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BB1⊂平面AA1B1B，
所以BB1⊥平面ABC.(12分)
因为AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.(14分)
易错警示在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证，在进行推理论证时一定要将定理的条件写全，不能遗漏，否则，在评分时将给予扣分，高考阅卷对立体几何题证明的规范性要求很高．要适度关注性质定理的使用，因为性质定理的使用往往涉及到添置辅助线或辅助平面，这无疑就增加了试题的难度．
5、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.
求证：(1)MN∥平面PBC；
MD⊥平面PAB.
【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD.(2分)
又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)
又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分)
(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD.(8分)
又MD⊂侧面PAD，所以AB⊥MD.(10分)
因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA. (12分)
又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)
6、(2019苏锡常镇调研（一））如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：
(1) EF∥平面ABC；
(2) BD⊥平面ACE.
规范解答 (1)三棱锥DABC中，因为E为DB的中点，F为DC的中点，所以EF∥BC，(3分)
因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
所以EF∥平面ABC.(6分)
(2)因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面BCD
所以AC⊥平面BCD，(8分)
因为BD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，(10分)
因为DC＝BC，E为BD的中点，所以CE⊥BD，(12分)
因为AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(14分)
7、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.
求证：(1) DE∥平面ABB1A1；
(2) BC1⊥平面A1B1C.
规范解答 (1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB.(3分)
又AB⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1，
所以DE∥平面ABB1A1.(6分)
(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.
又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1.(8分)
又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1.(10分)
又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.(12分)
又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C.
又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C，
所以BC1⊥平面A1B1C.(14分)。