2019届河北省衡水中学高三第七次押题模拟考试数学(文)试题

2019届河北省衡水中学高三第七次押题模拟考试
文科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合的）
1．已知集合{}01522<--=x x x A ，{}
70<<=x x B ，则B A U 等于（ ） A ．()7,3
- B ．(]7,3
- C ．()7,5- D ．[]7,5 - 2.已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，
则（ ）
A. 1
B.
C.
D.
3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过21%的为（ ）
A.腾讯与百度的访问量所占比例之和
B.网易与捜狗的访问量所占比例之和
C.淘宝与论坛的访问量所占比例之和
D.新浪与小说的访问量所占比例之和
4.若),2(,ππ
βα∈,且552sin =α,2
2cos -=β,则=+)sin(βα（ ）
7第
题图A ．
10103 B ．10
103- C ．1010 D ．1010- 5.函数，则函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
6．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）
A ．23-
B ．1-
C ．0
D ．2
1 7．等比数列}{n a 的各项均为正数，
已知向量a ),54a a （=
，b ),67a a （=，且a ⋅b 4=， 则=+++1022212log log log a a a
A. 12
B. 10
C. 5
D.
5log 22+
8．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点在阴影部分的概率是( )
A.932
B.516
C.38
D.716
9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称
之为“阳马”. 现有一阳马，
其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（） A. B. C. D.
10.若双曲线 （，）的一条渐近线
被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
A. 2
B.
C.
D.
11.函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（ ）
A. 10
B. 9
C. 8
D.
12.对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β＝{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e
x －1＋x －2与g (x )＝x 2
－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤73，3 D ．[2,3]
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.已知则____________．
14.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为 ，我们把叫做勾股数.下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；
7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是__________．
15．若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最小值为 .
16. 已知 A,B, C
三点都在表面积为的球的表面上，若60?AB ACB =∠=.则球心到平面的距离等于_____
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分12分）
的内角 A,B, C 的对边分别为a,b,c 已知b,c,2aCosB 成等差数列.
（1）求角；
（2
）若3,a b D ==为中点，求的长.
18.(本小题满分12分）
某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(3) 在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
19.(本小题满分12分）
已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，
丄底面.
（1）证明：平面平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，
求三棱锥的体积.
20.(本小题满分12分）
已知椭圆C: 12222=+b y a
x (a>b>0)过点A(0,1)且椭圆的离心率为36. (1)求椭圆C 的方程；
(2)斜率为1的直线l 交椭圆C 于),(),,(2211y x N y x M 两点，且21>x x 。

若直线x =3上存在
点P，
使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形,求l的方程。

21.(本小题满分12分）
已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2
＋ax －2(e 为自然对数的底数，a ∈R)．
(1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围．
（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()3
π
ρθ-l 与x 轴交于点M ． （1）求l 的直角坐标方程和点M 的极坐标；
（2）设l 与C 交于,A B 两点，若||,||,||MA AB MB 成等比数列，求p 的值．
23.(本小题满分10分）不等式选讲
已知函数
（1）求不等式的解集
（2）设，证明：.
文科数学参考答案
1【答案】A
2【答案】D 【详解】由题意得，，解得，，则，.
3【答案】B
4【答案】B
5【答案】C 【详解】转化，得到，构造新函数，绘制图形，
可得：
结合图像可知，这两个函数的交点介于区间内，故零点所
在区间也是，故选C 。

6【答案】C
7【答案】C
8【答案】C 【解析】设最小的等腰直角三角形的面积为1，则大正方形的面积为16，阴影部
分的面积为6，则所求的概率是P ＝616＝38.
9【答案】A 如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为长方形.其中底面ABCD ，AB=1,AD=2,PD=1.易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球.则该阳马的外接球的直径为 .球体积为： .故选A.
10【答案】A 由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率．故选A ．
11【答案】B 由函数，所以，
由函数的图象在点处的切线斜率为，所以，所以 （当且仅当，即时等号成立）所以的最小值为，故选B.
12【答案】D
【解析】f (x )＝e
x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.
由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3＝x 2＋3－a (x ＋1)必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，
则⎩⎪⎨⎪⎧ g ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a 2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3.
13【答案】1 ∵，∴，
∴，∴．
14【答案】11,60,61,由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二，三个数为相邻的两个整数，可设为,,所以第5组股数的三个数依次是11,60,61.
15【答案】-1
16则根据正弦定理可知，结合球表面积计算公式，可知，结合球的性质可知，构成直角三角形，结合勾股定理可知
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.的内角 A,B, C 的对边分别为a,b,c 已知b,c,2acCosB 成等差数列.
（1）求角；
（2）若3,a b D ==为中点，求的长.
【答案】（1） (2)
（【详解】（1）成等差数列，则，……………2分
由正弦定理得：，
，
，…………………4分
即，因为，
所以，又，.……………………………6分
（2）在中，，
，
即，或（舍去），故，………8分
在中，
………………………10分
在中，
，.……12分
18．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(4)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
解：（1），所以应收集位女生的样本数据．……………3分
(2)由频率分布直方图得，所以该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率的估计值为．…………………………6分（3）由（2）知，位学生中有人的每周平均体育运动时间超过小时，人的每周平均体育运动时间不超过小时．又因为样本数据中有份是关于男生的，
份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
………………………………………………………………………9分
结合列联表可算得
所以有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
………………………………………………………………………12分
19.已知四棱锥中，底面为等腰梯形，如，，，丄底面.
（1）证明：平面平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求三棱锥的体积.
（1）证明：在等腰梯形，，
易得：在中，
则有……………………………………2分
又……………………………………4分
即.
平面丄平面………………………………………………6分
（2）在梯形中，设，
ABE P-ABE P-AECD AECD
v = v ,S =S ∆∴三棱锥四棱锥梯形……………………7分
，而
即 ……………………9分
………………10分
而
故三棱锥的体积为 ……………………………………12分
20.(本小题满分12分） 已知椭圆C: C: 12222=+b y a
x (a>b>0)过点A(0,1)且椭圆的离心率为36. (1)求椭圆C 的方程；
(2)斜率为1的直线l 交椭圆C 于),(),,(2211y x N y x M 两点，且21>x x 。

若直线 x=3上存在点P ，
使得△PMN 是以∠PMN 为顶角的等腰直角三角形,求直线l 的方程。

20．解析：
(1)
由题意得2221,.b c a a b c =⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得23a =．
所以椭圆C 的方程为2
213
x y +=． …………………………………4分 （2）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y , 由2
213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得2246330x mx m ++-=.…………………………6分
令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<．
1232x x m +=-，2123(1)4
x x m =-…………………………………8分 因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴．
过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点．
设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===
． ………………10分 由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，
，，解得2210m m ++=，即1m =-．而()122m =-∈-，
， 所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………12分
21.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2
＋ax －2(e 为自然对数的底数，a ∈R)．
(1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝1.………………………1分 又f (1)＝0，∴曲线在点(1，0)处的切线方程为y ＝x －1 ………………2分
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2，y ＝x －1x 2＋(1－a )x ＋1＝0.
由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3＝(a ＋1)(a －3)可知：………………………3分
当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点；
当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点；
当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点． ………………………5分
(2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ，由y ＝0，得a ＝x ＋2x
＋ln x ， 则由题意知函数y ＝a 与y ＝x ＋2x ＋ln x 的图象在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个交点．…7分
令h (x )＝x ＋2x ＋ln x ，则h ′(x )＝（x －1）（x ＋2）x 2. 当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 时，由h ′(x )＝0，得x ＝1. ………………………………………8分 所以h (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增， 因此h (x )min ＝h (1)＝3.由h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e
＋2e －1，h (e)＝e ＋2e ＋1，…………………10分 比较可知h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＞h (e)，所以，结合函数图象可得， 当3＜a ≤e＋2e ＋1时，函数y ＝a 与y ＝x ＋2x ＋ln x 的图象在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 上有两个交点，
即函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点． ……………………………………12分
（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为2sin()3
πρθ-l 与x 轴交于点M ． （1）求l 的直角坐标方程和点M 的极坐标；
（2）设l 与C 交于,A B 两点，若||,||,||MA AB MB 成等比数列，求p 的值．
22.
解：⑴由2sin()3
πρθ-=
sin cos y ρθθ==+ ∴ l
的直角坐标方程y =+令0y =得点M 的直角坐标为(1,0)-, ∴点M 的极坐标为(1,)π …………………5分
⑵ 由⑴知l 的倾斜角为3π,
参数方程为112,x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入22y px =得23480,t pt p -+=121248,33
p p t t t t ∴+== 22212121212||||||,(),()5AB MB MA t t t t t t t t =⋅∴-=∴+=Q 24815(
)5,332p p p ∴=⨯∴=……10分 23.已知函数
（1）求不等式的解集
（2）设，证明：.
【答案】(1)或 ；(2)证明见解析.
解：（1）∵，∴.………………1分
当时，不等式可化为，
解得，∴； …………………………………………………2分
当,不等式可化为，
解得， 无解； …………………………………………………3分
当时，不等式可化为，
解得，∴. …………………………………………………4分
综上所述，或. …………………………………………5分
（2）∵，
要证成立，只需证， ………………1分
即证，即证,
即. …………………………………………………3分由（1）知，或，∵，∴，
∴成立…………………………………………………4分综上所述，对于任意的都有成立. ………5分。