浙江省桐庐中学2021届高三第一学期12月精准测试数学试卷

桐庐中学高三数学第一学期精准测试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合{}0,1,2A =，{}2,3,4B =，则A B =（ ） A. {}2 B. {}0,1,2,3,4
C. {}0,1,2,2,3,4
D. []0,4
2. 已知复数2020
2i
z i -=
，则（ ） A. z 的虚部为i
B. z 的实部为2
C. 2z <
D. 2z <
3. 若实数x ，y 满足约束条件20
4020x x y x y +≤⎧⎪++≥⎨
⎪-+≥⎩
，则2z
x y =+的最小值（ ）
A. -4
B. -6
C. -7
D. -8
4. 设P 为空间一点，l ，m 为空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若P l ∈，P β∈，l α⊂；则l α
β=
B. 若P α∈，P l ∈，//l m ；则m 与α必有公共点
C. 若l α⊥，m β⊥，//αβ；则//l m
D. 若l 与m 异面，l α⊂，m β⊂；则//αβ （第
7题） 5.已知数列
{}n a 为等比数列，则“1
0a
<，1q >”是“{
}
n a 为递减数列”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6. 把标号为①，②，③，④的4个小球随机放入甲、乙、丙三个盒子中，则①号球不在甲盒子中的概率为（ ）A.
2
3
B.
12
C.
13
D.
16
7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积的最大值为（ ） A ．
12 B ．3
2
C
D
8. 已知ω∈R ，函数()()2
6cos f x x x ω=+⋅，若存在实数a ，使得函数()y f x a =+为奇函数，则ω的值可能为（ ）A ．
2
π B ．
3π C ．4
π D ．
6
π
俯视图
侧视图
正视图
9．如图，矩形ABCD 中,1,2,AB BC E ==是AD 的中点，将△ABE 沿BE 翻折，记为
,AB E '∆在翻折过程中，①点A ’在平面BCDE 的射影必在直线AC 上; ②记A ’E 和A ’B 与
平面BCDE 所成的角分别为α，β，则
tan tan βα-的最大值为0;③设二面角'A BE C --的平面角为θ，则'A BA θπ+∠≥ .其中正确命题的个数是
( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
10. 数列{}n a 满足()
2*1n n n a a a n N +=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则以下说法正确的个数
（ ） ①10n n a a +<<；
②222
2
1231n a a a a a ++++<；
③对任意正数b ，都存在正整数m 使得1
2
3
1111
1111m
b a a a a +++
+
>----成立； ④11
n a n <+. A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分.
11. 化简：（1）
()
2
222
1
log 54log 54log 5-++=
（2）若a=log 43,则2a +2-a
=.
12. 已知()
()
4
4
2x a x +-的展开式中各项系数之和等于0，则a =________﹔
其展开式中含7x 项的系数为_________.
13. 锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin sin sin a b C B c A B
--=+，则角A 的大小为________；
若2b =，则ABC △面积S 的取值范围是_________.
14. 如图：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点，则二面角1B MN B --的余弦值为
__________；若点P 为线段1B N 上的动点（不包括端点），设异面直线1C P 与MN 所成角为θ，则cos θ的取值范围是________.
15. 若函数()
2()5x f x x x e =--+⋅在区间(),2a a +上有极大值，则a 的取值范围是________.
16．设已知实数,a b R ∈,若2
2
3a ab b -+=, 则
()
2
2
2
11
ab a b +++的值域为 ．
17. 已知2a b a b ==⋅=，()24c a b λλ=-+，则()()
c a c b -⋅-的最小值为__________.
18 如图，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
点P 是半径为1的砂轮边缘上的一个质点，
它从初始位置0P 开始，按逆时针方向以角速度
rad/s 6
π作圆周运
动，点P 的纵坐标y 关于时间t （单位：秒）的函数，记作：
()y f t =.（Ⅰ）若点034,55P ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，求()2f ； （Ⅱ）若将函数()y f t =的图象向右平移2个单位长度后，得到的曲线关于原点对称；当
[]0,3t ∈时，求函数()y f t =的值域.
19．如图：三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且
222AD AB CD ===，2BC =；BM AC ⊥，BN AD ⊥，垂足分
别为M ，N .（Ⅰ）求证：AMN △为直角三角形； （Ⅱ）求直线BC 与平面BMN 所成角的大小.
20．(本题满分15分) 已知点O 为ABC ∆的外心，角A
, B , C 的对边分别为,,a b c ． (Ⅰ) 若3450OA OB OC ++=，求cos BOC ∠的值； (Ⅱ) 若CO AB BO CA ⋅=⋅，求2
2
2
b c
a +的值.
21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，1241n n a S n +=++，令22n n n
a b a +=，*n N ∈.
（Ⅰ）求证：数列{}2n a +为等比数列，并求n a ； （Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：32n n T +<.
22. 设函数1()ln 2f x x ax a ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭，2211()22g x f x a x b a ⎛
⎫=-++- ⎪⎝
⎭.
（Ⅰ）若()0f x <对1,x a ⎛⎫
∈-
+∞ ⎪⎝⎭
恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）若3
1a e
>，当()()122g x g x b +=时，求证：()122a x x +>.
A
C
B
O
（第20题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中 1-5：BBCC A 6-10： A BCCD
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分.
11. -2，
4√3
3
12. -1，-12 13. 45︒，()1,2 14. 13，⎝⎭
15. 11a -<< 16. 160,7⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
17. 4952-
18．(本题满分14分)
解：（1）设0OP 的初始角为ϕ，则由034,55P ⎛⎫
⎪⎝⎭
得3cos 5ϕ=
，4sin 5
ϕ=， ()sin 6f t t πϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
∴(2)sin 2sin sin cos cos sin 6333f ππππϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+=+=⋅+⋅
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3144
252510
=
+⨯=. （2）∵()sin 062f t t ππϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+<<
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭，
∴(2)sin (2)sin sin 6636f t t t t ππππϕϕ⎡⎤⎛⎫
-=-+=-+=± ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，
则()3
k k Z π
ϕπ-
+=∈，则3
k π
ϕπ=
+，k Z ∈，由02
π
ϕ<<
得3
π
ϕ=
，
∴()sin 6
3f t t π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，又[]0,3t ∈，∴5,6336t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
∴()1,12f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，故()f t 的值域为1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
19.
222
BC CD BD BC AB BCD AB CD CD ABC BM AB CD C ⊥⇒⊥⎫⊥⎫⇒⎬⎬⊂⎭
+⇒⎭=⊥平面平面平面CD BM BM AC BM ⊥⎫
⇒⇒⊥⎬⊥⎭平面ACD
BM AD AD BMN BN AD MN BMN ⊥⊥⎫
⎫⇒⇒⎬⎬⊥⊂⎭⎭
平面平面AD MN AMN ⇒⊥⇒△为直角三角形. （2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系： 则()0,0,0B ，()0,0,1A ，()
0,2,0
C ，
()
1,2,0D -，
()0,2,0BC =，()
1,2,1AD =--.
由（1）得AD ⊥平面BMN ，∴AD 为平面BMN 的法向量，
∴2sin cos ,2
AD BC θ==
， ∴直线BC 与平面BMN 所成角大小为4
π.
20．(本题满分15分)
(Ⅰ) 设外接圆半径为R ，由3450OA OB OC ++=得：
453OB OC OA +=-，
平方得：2221640259R OB OC R R +⋅+=．
即：OB OC ⋅＝245R -，则4cos 5
BOC ∠=-． 7分 (Ⅱ) 解1设AB 的中点为D ，
则()CO AB CD DO AB CD AB ⋅=+⋅=⋅ 2211()()()22
CA CB CB CA a b =+⋅-=-．
同理：221()2
BO CA c a ⋅=-，从而2222a b c a -=-，∴
22
2
b c a
+=2． 8分
解2 ∵CO AB BO CA ⋅=⋅ ∴()()CO OB OA BO OA OC ⋅-=-． 即：OC OB OC OA OB OA OB OC -⋅+⋅=-⋅+⋅．
从而：2222cos2cos2cos2cos2R A R B R C R A -+=-+． ∴ 2cos2cos2cos2A C B =+．
即：2222(12sin )2(2sin 2sin )A B C -=-+． ∴ 2222sin sin sin A B C =+，即2222a b c =+,
∴222
b c a +=2．
21. 解：（1）∵1241n n a S n +=++，∴()
*124(1)12,n n a S n n n N -=+-+≥∈， ∴()
*1242,n n n a a a n n N +-=+≥∈即∴()
*1342,n n a a n n N +=+≥∈， ∴()()
*12322,n n a a n n N ++=+≥∈，
∵11a =，∴27a =，∴()21232a a +=+，∴()()
*1232n n a a n N ++=+∈， 由1230a +=≠，∴20n a +≠，∴{}2n a +为等比数列，
∴23n
n a +=，∴32n n a =-.
（2）()
2311
2232232n n n n n
n a b a +===+--， ∵
1
11231
3232233
n n n n -+≤==--+， ∴211111
1313111233
3222313
n
n
n n n n n T -⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭≤
+++++=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-
，
∵103n
⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，∴1113n
⎛⎫-< ⎪⎝⎭，∴32n n T +<.
22.（Ⅰ）解：12112'()211a x a f x a x a x x a a
⎛
⎫-+ ⎪
⎛⎫⎝⎭=-=>- ⎪⎝⎭++， 当0a >时，112a a -
<-
，令'()0f x >得：112x a a
-<<-， ∴()f x 在区间11,2a a ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. ∴max 1()1ln(2)2f x f a a ⎛⎫
=-
=- ⎪
⎝⎭
，由()1ln 20a -<，得：2e a >， 当0a <时，112a a -
>-
，则'()0f x >对1,x a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立， ∴()f x 在区间1,a ⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，且13
202
f e ae a ⎛⎫-+=-> ⎪⎝⎭，所以不符合. 故：a 的取值范围为,2e ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
. （Ⅱ）∵22
1()ln 2(0)2
g x x a x ax b x =+
-+>， ∴()()122x g x g b +=，得：222211122211ln 2ln 222x a x ax x a x ax ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭
， 若12x a >
或22
x a >，则结论显然成立. 当122,0,
x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时，证：()122a x x +>⇔证：212x x a
>-， 令：221()ln 22h x x a x ax =+
-，20,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 22
1(1)'()20ax h x a x a x x
-=+-=≥，所以()h x 为单调递增函数，
则，证：212x x a >
-⇔证：()212h x h x a ⎛⎫
>- ⎪⎝⎭
，而()()21h x h x =-， 所以等价于证：()112h x h x a ⎛⎫->-
⎪⎝⎭
，即证：()1120h x h x a ⎛⎫
+-< ⎪⎝⎭，
()2211111122ln ln 22h x h x x x a x ax a a ⎛⎫⎛⎫
+-=+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
令：222()ln ln 22F x x x a x ax a ⎛⎫
=+-+--
⎪⎝⎭
， 3
2
21211'()2222a x a F x a x a x x x a a x ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭=++-=⎛⎫
-- ⎪
⎝
⎭，
得：()F x 在区间10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递减， ∴211()ln 3F x F a a ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭
，因为a >3
21e a <，所以()0F x <， 故：得证.。