高中数学第二章平面解析几何初步章末总结课件bb高一数学课件

x + y =1 或 x + y =1(a≠0),
aa
a a
当直线 l 的方程为 x + y =1 时,把 P(8,6)代入得: 8 + 6 =1 故 a=14,
aa
aa
所以直线 l 的方程为 x+y-14=0;
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当直线 l 的方程为 x + y =1 时,因为点 P(8,6)在 l 上, a a
解:(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x′,y′), 则点 P,P′的中点 M 在直线 l 上, 且直线 PP′垂直于直线 l,
即
y ' 2
y ' x '
5
5 4
3 3
x ' 2
1,
4
3,
解得
x
y
' '
2, 7,
所以 P′坐标为(-2,7).
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法二 设圆与 x 轴交点为 A(t-3,0),B(t+3,0). 圆心为 PQ 的中垂线和 AB 的中垂线的交点. PQ 的垂直平分线为 x-y+1=0,AB 的垂直平分线为 x=t,所以圆心(t,t+1). 由圆心到 A、P 距离相等, 得 32+(t+1)2=(t+2)2+(t-3)2,所以 t2-4t+3=0, 所以 t=1 或 t=3. 所以圆心为(1,2),半径为 13 或圆心为(3,4),半径为 5. 故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13 或(x-3)2+(y-4)2=25.
4E F 20,① E F 10,②
又令 y=0,得 x2+Dx+F=0,
③
设 x1,x2 是方程③的两根,
由|x1-x2|=6,得 D2-4F=36,
④
由①②④得,
D=-2,E=-4,F=-8 或 D=-6,E=-8,F=0.
故所求圆的方程为
x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0.
【例4】 已知两圆☉C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,☉C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问:m为何值 时,(1)☉C1与☉C2相外切(wài qiē),(2)☉C1与☉C2内含.
解:因为☉C1 的圆心 C1(m,-2),半径 R= 1 4m2 16 4 m2 5 =3, 2
章末总结(zǒngjié)
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网络(wǎngluò)建构
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名师(mínɡ shī)导学
平面解析几何初步需要解决的主要问题是:(1)理解直线坐标系、平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系和空间直角坐标(zhíjiǎo zuò biāo)系建立的实质.(2)直线的方程、圆 的方程以及直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系中的问题:①方程的确定,②位置关 系的判定,③距离问题,④对称问题,⑤最值问题及范围问题等. 解决上述问题的关键是:深刻理解坐标法的实质,用代数方法解决几何问题,熟练掌握 直线与圆的基本知识,并应用于解题过程中,运用以“形”助“数”、以“数”解 “形”的思想,把表达式(代数式)转化为“距离、倾斜角、斜率、直线与圆、圆与 圆”等这些有“形”概念.以此帮助我们分析解决问题,从而体会数形结合的思 想方法.
即 6t-8≥0,解得 t≥ 4 .故 y 2 的最小值是 4 .
3 x 1
3
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法二 式子 y 2 的几何意义是点 P(x,y)与定点(-1,-2)连线的斜率. x 1
如图,当为切线 l1 时,斜率最小.
设 y 2 =k, x 1
即 kx-y+k-2=0, 由直线与圆相切,
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题型三 距离(jùlí)问题
【例5】 直线l在两坐标轴上的截距相等,且P(4,3)到直线l的距离(jùlí)为3 ,求直线2 l的
方程.
解:①当截距为零时,设所求直线方程为 kx-y=0,
则 | 4k 3 | =3 2 .解得 k=± 3 14 -6,所以 y=(± 3 14 -6)x.
k
k
当 k=1 时,直线 l 的方程为 y=x+b,
因为点 P(8,6)在直线 l 上,所以 6=8+b,故 b=-2,所以直线 l 的方程为 y=x-2,即 x-y-2=0;
当 k=-1 时,直线 l 的方程为 y=-x+b,
因为点 P(8,6)在直线 l 上,所以 6=-8+b,故 b=14,所以直线 l 的方程为 x+y-14=0.
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题型二 直线与圆、圆与圆的位置(wèi zhi)关系
【例3】 已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线(zhíxiàn)l过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且 |AB|=2 ,求直3 线(zhíxiàn)l的方程.
解:(1)当直线 l 存在斜率时,设直线 l 的方程为 y-3=k(x-2),即 kx-y+3-2k=0. 作示意图如图所示,作 MC⊥AB 于 C.
3 1,
x2
3, 解得
x1
y1
4 5
x2
3 5
y2
9 5
,
3 5
x2
4 5
y2
3 5
,
把(x1,y1)代入 y=x-2, 整理得 7x2+y2+22=0, 所以 l2 方程为 7x+y+22=0.
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(3)直线(zhíxiàn)l关于点A(3,2)的对称直线(zhíxiàn)的不为零时,设所求直线方程为 x+y=a,则
| 7 a | =3 2 ,解得 a=13 或 a=1,所以 x+y-13=0 或 x+y-1=0. 2
所以所求直线方程为 y=(± 3 14 -6) x 或 x+y-13=0 或 x+y-1=0. 2
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(2)直线(zhíxiàn)y=x-2关于l的对称直线的方程;
解:(2)设直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2, 则 l1 上任一点 P1(x1,y1)关于 l 的对称点 P2(x2,y2)一定在 l2 上,反之也成立.
则
y1
y1 x1
2
y2
y2 x2
3 x1 2
x 22 y2 的最小值是 5 -1.
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(2)求 y 2 的最小值. x 1
解:(2)法一 令 y 2 =t,则 x 1
方程组
y2
x2
y
t x 1, 12 1
一定有解.消去
y,
整理得(1+t2)x2+2(t2-3t)x+(t2-6t+8)=0 有解. 所以Δ=4(t2-3t)2-4(1+t2)(t2-6t+8)≥0,
所以 8 - 6 =1 故 a=2,所以直线 l 的方程为 x-y-2=0.综上所述, aa
所求直线 l 的方程为 x-y-2=0 或 x+y-14=0. 法二 设所求直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0,b≠0),
令 x=0,得 y=b,令 y=0,得 x=- b ,所以|b|=|- b |,因为 b≠0,所以 k=±1,
No 线l的方程.。①两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2 (2a-
x1,2b-y1),特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P′(-x,-y).
Image
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在 Rt△MBC 中,|BC|= 3 ,|MB|=2,故|MC|= | MB |2 | BC |2 =1,
由点到直线的距离公式得 | k 1 3 2k | =1,解得 k= 3 .所以直线 l 的方程为 3x-4y+6=0.
k2 1
4
(2)当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x=2,
且|AB|=2 3 ,所以适合题意.综上所述,直线 l 的方程为 3x-4y+6=0 或 x=2.
综上所述,所求直线 l 的方程为 x+y-14=0 或 x-y-2=0.
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【例2】 求经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得弦长等于(děngyú)6的圆的方程.
解:法一
设圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0,将
P,Q
代入有
2D 3D
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题型五 与圆有关(yǒuguān)的最值问题
【例 7】 设点 P(x,y)在圆 x2+(y-1)2=1 上.
(1)求 x 22 y2 的最小值;
解:(1)式子 x 22 y2 的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离.
因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离 是 22 12 = 5 ,圆的半径是 1.所以
C2 的圆心 C2(-1,m),半径 r= 1 4 4m2 4 m2 3 =2, 2
两圆圆心距 d=|C1C2|= m 12 2 m2 = 2m2 6m 5 ,
(1)当两圆相外切时,d=R+r,即 2m2+6m+5=(3+2)2,得 m=2 或 m=-5;
(2)当两圆内含(nèi hán)时,0<d<|R-r|,即0<2m2+6m+5<1,得-2<m<-1.
解:(3)设直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线为 l′,
由于 l∥l′,可设 l′为 y′=3x′+b(b≠3).
由点到直线的距离公式得
|33 2b| = |33 23| ,
32 12
32 12
即|b+7|=10,
解得 b=-17 或 b=3(舍去),
所以直线 l′的方程为 y′=3x′-17,
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方法技巧(jìqiǎo)
当 直 线 与 圆 相 交 时 , 设 弦 长 为 l, 弦 心 距 为 d, 半 径 为 r, 则 有
( l )2+d2=r2.这一方法既可求弦长,又可知弦长求参数,关键是正确的列出关于参数的方
程.2
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题型探究(tànjiū)·素养提升
题型一 直线(zhíxiàn)和圆的方程的确定 【例1】 直线(zhíxiàn)l过点P(8,6)且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线(zhíxiàn)l
的 方程.
解:法一 直线 l 与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形,必须且只需直线 l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为 0,故设直线 l 的方程为
得 | 1 k 2 | =1,解得 k= 4 .
k2 1
3
故 y 2 的最小值是 4 .
x 1
3
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谢谢 观赏！ (xiè xie)
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内容(nèiróng)总结
章末总结。【例5】 直线l在两坐标轴上的截距相等,且P(4,3)到直线l的距离(jùlí)为3 ,求直
即对称直线的方程为 3x-y-17=0.
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方法技巧 对称问题有两大类,中心对称和轴对称.
(1)中心对称 ①两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2 (2a-x1,2b-y1), 特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P′(-x,-y). ②两直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条(yī tiáo)直线上任一点关于P对称 的点都在另外一条直线上,并且l1∥l2,P到l1、l2的距离相等. (2)轴对称 ①两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,且线段P1P2的中点在l上,这是列 方程求对称点坐标的依据. ②求一条直线关于轴对称的直线方程可用①中的方法先求出两个点的坐标,再求直线方程. ③对称轴为特殊的直线,垂直于坐标轴的和斜率为±k的直线,可用数形结合直接得解.
方法技巧 点到直线的距离,两点间的距离公式的运用是重点,在解题中要注 意(zhù yì)代数运算与几何图形直观分析相结合.
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题型四 对称(duìchèn)问题
【例6】 已知直线l:y=3x+3,求: (1)点P(4,5)关于(guānyú)l的对称点坐标;