吉林省长春汽车经济技术开发区六中高二数学上学期期中试题 理

吉林省长春汽车经济技术开发区六中2018-2019学
年高二数学上学期期中试题 理
考试说明: 1。

考试时间为120分钟，满分150分,选择题涂卡.
2.考试完毕交答题卡.
第Ⅰ卷
一、选择题（本题包括12个小题,每小题只有一个正确选项,每小题5分，共60分）
1．已知一组数据（1，2），（3,5），(6，8），（，)的线性回归方程为
，则
的值为（ ）
A ． -3
B ． -5
C ． —2
D ． —1 2．抛物线
的焦点坐标是（ )
A ． （0，1）
B ． (1,0）
C ． （0,2）
D ． （0，)
3．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩(单位：环)如茎叶图所示,若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小)的那位运动员成绩的方差为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2。

28元,1.55元，0。

62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．若a ∈R ，m R ∈且0m >.则“a ≠m "是“|a ｜≠m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 6．在区间［0,4］上随机取两个实数x,y ，使得x+2y≤8的概率为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．执行如右图所示的程序框图，输出的的值是( ) A ． 9 B ． 10
C ． 11
D ． 12 8．已知椭圆的面积公式为
，某同学通过下面的随机模拟实验估计的值过
椭圆
的左右焦点
分别作与轴垂直的直线与椭圆交于
四点，随机在椭圆内
撒粒豆子，设落入四边形内的豆子数为,则圆周率的值约为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知,为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为30°的直线与椭圆的一
个交点为,若，,则椭圆的方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
10．有下列四个命题： (1）“若
,则，互为倒数”的逆命题；
（2)“面积相等的三角形全等”的否命题； （3)“若，则有实数解”的逆否命题；
(4)“若
，则
”的逆否命题。

其中真命题为（ ）
A ． （1）（2）
B ． （2）(3）
C ． （4）
D ． (1)（2）（3）
（），则双曲线的离心率为2
1
-3半径之比为
的内切圆半径与外接圆若0
在上双曲线上，满足的左右焦点，点)0,0(1分别是双曲线,.11212122
2221F PF PF PF P b a b
y a x F F ∆=⋅>>=-→
→ A ．2 B ．3 C ．
12+
D ．13+ 12．设12F F ，是双曲线22
221x y C a b
-=：（00a b >>，
)的左，右焦点,O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ) A ．2
B ． 3
C ．2
D ． 5
第Ⅱ卷
二、填空题(本题包括4个小题，共20分)
13．已知某单位有100名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～100编号,并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码,若第1组抽出的号码8号，则第3组被抽出职工的号码为____________
14．将一颗骰子连续抛掷2次，则向上的点数之和为6的概率为 ______________. 15．已知命题方程
表示焦点在轴上的椭圆，命题
双曲线
的离心率
，若“
”为假命题，“
”为真命题,则的取值范围是__________．
16．椭圆
221(15)1015x y t t t +=>+-与双曲线22
1169
x y -=在第一象限内有交点A ，双曲线左、右焦点分别是12,F F ,012120F F A ∠=，点P 是椭圆上任意一点,则12PF F ∆面积最大值是_________．
三、简答题（本题包括6个小题，共70分） 17．(满分10分） （1）点
在以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线上,求抛物线方程;
（2）已知双曲线C 经过点（1,1）,它的一条渐近线方程为y=3x,求双曲线C 的标准方程。

18．（满分12分) 已知a ,b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2
B ＝2sin A sin
C 。

（1）若a ＝b ，求cos B ；
（2)若B ＝90°,且a ＝错误!， 求△ABC 的面积．
19．（满分12分） 如图，在三棱柱ABC −111A B C 中,1CC ⊥平面ABC ，D ，E ,F ，G 分别为1AA ，AC ,11AC ，1BB 的中点，AB=BC =5，AC =1AA =2．
(1）求证：AC ⊥平面BEF ；
（2)求二面角B −CD −C 1的余弦值；
20．（满分12分） 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注某部门为
了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值百分制按照,
，，
分成5组,制成如图所示频率分
直方图．
求图中x 的值；
求这组数据的平均数和中位数； 已知满意度评分值在
内的男生数与女生数的比为
，若在满意度评分值为
的人中随机抽
取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率．
21．(满分12分） 设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列。

已知11a =，322a a =+,435a b b =+，5462a b b =+.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ,
（i)求n T ； （ii ）证明2
21()22()(1)(2)
2n n
k k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N
22．（满分12分) 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ,B 两点，线段AB 的中点为
()()10M m m >，． （1）证明：1
2
k <-;
（2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明:FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．
答案
一、单选题
1．已知一组数据(1，2)，(3,5），（6,8），（，）的线性回归方程为，则
的值为（ ）
A ． —3
B ． -5
C ． -2
D ． -1 【答案】A 2．抛物线
的焦点坐标是( )
A ． (0,1）
B ． (1，0)
C ． （0，2）
D ． (0,） 【答案】D
3．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环)如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为( ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D
4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1。

55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D
5．若a ∈R ，m R ∈且0m >。

则“a ≠m ”是“|a ｜≠m "的（ ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】B
6．在区间［0，4］上随机取两个实数x,y,使得x+2y≤8的概率为（ ) A ． B ． C ． D ．
【答案】D
7．执行如右图所示的程序框图，输出的的值是（）
A． 9 B． 10 C． 11 D． 12
【答案】B
8．已知椭圆的面积公式为，某同学通过下面的随机模拟实验估计的值过椭圆的左右焦点分别作与轴垂直的直线与椭圆交于四点，随机在椭圆内撒粒豆子，设落入四边形内的豆子数为,则圆周率的值约为( ）
A． B． C． D．
【答案】A
9．已知,为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为,若，,则椭圆的方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
10．有下列四个命题： （1）“若
，则，互为倒数"的逆命题；
（2）“面积相等的三角形全等"的否命题； (3）“若，则
有实数解”的逆否命题； （4）“若
，则
”的逆否命题.
其中真命题为（ )
A ． （1)(2）
B ． (2）(3)
C ． （4）
D ． （1）(2）（3） 【答案】D
（），则双曲线的离心率为2
1
-3半径之比为
的内切圆半径与外接圆若0
在上双曲线上，满足的左右焦点，点)0,0(1分别是双曲线,.11212122
2221F PF PF PF P b a b y a x F F ∆=⋅>>=-→
→
A ．2
B ．3
C ．12+
D ．13+
12．设12F F ，是双曲线22
221x y C a b
-=：（00a b >>，
）的左,右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为 A ．2
B ． 3
C ．2
D ． 5
【答案】B
三、填空题
13．已知某单位有100名职工,现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1~100编号，并按编号顺序平均分成5组,按系统抽样方法在各组内抽取一个号码，若第1组抽出的号码8号，则第3组被抽出职工的号码为_____； 【答案】48
14．将一颗骰子连续抛掷2次，则向上的点数之和为6的概率为 ______________. 【答案】
15．已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，
若“"为假命题，“"为真命题，则的取值范围是__________．
【答案】
16．若椭圆221(15)1015x y t t t +=>+-与双曲线22
1169
x y -=在第一象限内有交点A ,且双曲线左、右焦点分
别是12,F F ， 0
12120F F A ∠=，点
P 是椭圆上任意一点,则12PF F ∆面积的最大值是_________． 【答案】253 二、解答题 17．（1）点在以原点为顶点,坐标轴为对称轴的抛物线上，求抛物线方程； （2）已知双曲线
经过点
，它渐近线方程为
，求双曲线
的标准方程.
【答案】解：（1）或；(2）
【解析】
（1）设抛物线方程为
或
┄┄┄（2分)
将点A （2，-4）代入解得方程为:或
┄┄┄┄┄┄┄┄┄（5分) (2）解析：设双曲线的方程为
，将点
代入可得
.
故答案为. ┄┄┄┄┄┄┄┄（10分）
18．已知a ，b ,c 分别是△ABC 内角A ，B ,C 的对边,sin 2
B ＝2sin A sin
C . （1)若a ＝b ，求cos B ；
(2)若B ＝90°,且a ＝错误!， 求△ABC 的面积．
解：(1)由题设及正弦定理可得b 2
＝2ac 。

又a ＝b ，所以可得b ＝2c ,a ＝2c 。

由余弦定理可得cos B ＝错误!＝错误!。

（2)由(1)知b 2
＝2ac .
因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2。

故a 2
＋c 2
＝2ac ,得c ＝a ＝2， 所以△ABC 的面积为1.
19.
如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ,D ，E ，F ，G 分别为1AA ,AC ，11AC ，1BB 的中点，
AB=BC =5，AC =1AA =2．
（Ⅰ）求证:AC ⊥平面BEF ； (Ⅱ）求二面角B −CD −C 1的余弦值; 解:（Ⅰ)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， ∵CC 1⊥平面ABC ， ∴四边形A 1ACC 1为矩形． 又E ,F 分别为AC ，A 1C 1的中点, ∴AC ⊥EF ． ∵AB =BC ． ∴AC ⊥BE , ∴AC ⊥平面BEF ．
（Ⅱ）由（I)知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1． 又CC 1⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ． ∵BE ⊂平面ABC ，∴EF ⊥BE ． 如图建立空间直角坐标系E -xyz ．
由题意得B （0，2,0）,C （—1，0，0)，D (1，0，1)，F （0，0，2），G （0，2，1）． ∴=(201)=(120)CD CB ，，，，，, 设平面BCD 的法向量为()a b c =，，
n ， ∴00
CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,∴2020a c a b +=⎧⎨+=⎩，
令a =2，则b =-1，c =—4，
∴平面BCD 的法向量(214)=--，
，n ， 又∵平面CDC 1的法向量为=(020)EB ，，，
∴21
cos =21
||||
EB EB EB ⋅<⋅>=-
n n n ． 由图可得二面角B -CD —C 1为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为2121
-
． 20．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值百分制按照
,
，,
分成5组，制成如图所示频率分直方图．
求图中x 的值；
求这组数据的平均数和中位数； 已知满意度评分值在
内的男生数与女生数的比为
，若在满意度评分值为
的人中随机抽
取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率． 【答案】（1）；(2）平均数为
,中位数为
；（3)．
【解析】
由，
解得
．
这组数据的平均数为．
中位数设为， 则
，
解得．
满意度评分值在 内有
人，
其中男生3人，女生2人．记为,
记“满意度评分值为
的人中随机抽取2人进行座谈,恰有1名女生”为事件A
通过列举知总基本事件个数为10个，A 包含的基本事件个数为6个， 利用古典概型概率公式可知.
（18）(本小题满分13分)
设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，
435a b b =+，5462a b b =+.
(I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式;
（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ,
（i ）求n T ；
（ii ）证明2
21()22()(1)(2)
2n n
k k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N .
解：
（I ）解：设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=。

因为0q >，可得2q =，故12n n a -=。

设等差数列{}n b 的公差为d ,由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+, 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =
所以,数列{}n a 的通项公式为12n n a -=,数列{}n b 的通项公式为.n b n =
（II ）（i ）解：由（I ），有122112
n
n n S -=
=--，故 111
2(12)
(21)22212n n
n
k
k
n n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑。

（ii ）证明：因为
1121
2()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-
++++++++， 所以，3243212
21
()2222222()()()2(1)(2)3243212
n n n n
k k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-+
+-=-+++++∑.
20．（12分）
已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()10M m m >，
． （1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ,FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．
解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则2222
12121,14343
y x y x +=+=。

两式相减，并由
12
2
1y x y k x -=-得
1122
043
y x y k x +++⋅=. 由题设知
12121,22
x y x y
m ++==，于是 3
4k m
=-。

① 由题设得302m <<
，故12
k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ,则
331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.
由（1)及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<。

又点P 在C 上，所以3
4
m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =.
于是
1||(22
x
FA x =-.
同理2
||22
x FB =-
. 所以121
||||4()32
FA FB x x +=-
+=。

故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列。

设该数列的公差为d ，则
1212||||||||||2FB FA x x d =-=
-=② 将3
4
m =
代入①得1k =-.
所以l 的方程为74y x =-+
，代入C 的方程，并整理得2
171404
x x -+=。

故121212,28x x x x +==
，代入②解得||28
d =.
或。