金老师教育培训备战高考理科数学一轮专题复习讲义含练习答案解析考点21 数列的概念与简单表示法

专题21 数列的概念与简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.
一、数列的相关概念 1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成123,,,
,,,n a a a a 简记为{}n a ．
2．数列与函数的关系
数列可以看成定义域为正整数集*N (或它的有限子集1,2,{},n )的函数()n a f n =，当自变量按照由小到
大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集1,2,{},n ）这一条件.
3．数列的分类
二、数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况． （2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列{
}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即()n a f n =．
②递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项(或前几项)，且任一项n a 与它的前一项1n a - (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相
应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点． 三、数列的前n 项和与通项的关系
数列的前n 项和通常用n S 表示，记作12n n S a a a =++
+，则通项1
1,2n n
n S a S S n -⎧=⎨-≥⎩．
若当2n ≥时求出的n a 也适合1n =时的情形，则用一个式子表示n a ，否则分段表示．
考向一 已知数列的前几项求通项公式
1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． 具体策略：
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征；
⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑥对于符号交替出现的情况，可用()1k -或*
11,()k k +∈-N 处理．
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想. 2．常见的数列的通项公式：
（1）数列1，2，3，4，…的通项公式为n a n =； （2）数列2，4，6，8，…的通项公式为2n a n =；
（3）数列1，4，9，16，…的通项公式为2
n a n =； （4）数列1，2，4，8，…的通项公式为2n
n a =；
（5）数列1，
12，13，14，…的通项公式为1n a n
=； （6）数列12，16，112，1
20
，…的通项公式为1(1)n a n n =+．
3．根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式．
典例1 根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式. （1）1,7,13,19,
--；
（2）8，98，998，9998，…; （3）
115132961
,,,,,,248163264
--⋯; （4）1，6，12，20，…； （5）0.8,0.88,0.888,
【解析】（1）符号问题可通过()1n
-或()
1
1n +-表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总
比前面数的绝对值大6，故通项公式为()
()165n
n a n =--.
（2）各项分别加上2，即得数列:10，100，1000，10000， …， 故数列的一个通项公式为a n =10n −2.
（3）各项的分母依次为:21，22，23，24， …， 容易看出第2，3，4项的分子比相应分母小3， 再由各项的符号规律，把第1项变形为1
2
-
-，既符合符号变化的规律，也满足了分子与分母之间的关系， 故数列的一个通项公式为()23
12
n n
n n
a -=-⨯. （4）容易看出第2，3，4项满足规律:项的序号×(项的序号+1). 而第1项却不满足，因此考虑分段表示，
即数列的一个通项公式为()1,1
1,2n n a n n n =⎧=⎨
+≥⎩
. （5）数列变形为
()()()888
10.110.0110.001999－，－，－，，
所以81
1910
n n
a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 典例2 如图，图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含的单位正方形的个数是
A ．221n n -+
B ．222n +
C ．2221n n -+
D ．221n n -+
【答案】C
【解析】设第n 个图包含n a 个互不重叠的单位正方形，
图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，
∴11a =，2514141a ==+=+⨯，31314814(12)a ==++=+⨯+，
4251481214(123)a ==+++=+⨯++，由此类推可得：
[]2(1)
14123(1)142212
n n n a n n n -=+++++-=+⨯
=-+.
经检验满足条件.故选C.
【名师点睛】本题解题的关键是研究相邻两项的关系得出递推公式，再由累加法法得出第n 项的表达式，利用等差数列的求和公式即可得出答案，属于中档题.根据图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，寻找规律，可得第n 个图包含[]14123...(1)n +++++-个互不重叠的单位正方形，求和即可得到答案.
1．数列1,2,1,2,的通项公式不可能为
A ．() 312
n
n
a +-=
B ．()1
312n n
a ++-=
C ．3cos π2
n n a +=
D ．
21
3sin
π2
2
n n a ++=
考向二 利用n a 与n S 的关系求通项公式
已知n S 求n a 的一般步骤： （1）先利用11a S =求出1a ；
（2）用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1,2n n n S a S n --=≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式； （3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写.
利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项公式时，务必要注意2n ≥这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这
两种情况能否整合在一起．
典例3 在数列{a n }中，a 1=5，a 2=4，数列{a n }的前n 项和S n =A ⋅2n +B （A ，B 为常数）. （1）求实数A ，B 的值； （2）求数列{a n }的通项公式.
【解析】（1）由题意得S 1=2A +B =a 1=5，S 2=4A +B =a 1+a 2=9，
解方程组{2A +B =54A +B =9 ，得{A =2B =1
，
∴A =2，B =1．
（2）由（1）得S n =2n+1+1．
当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2n =2n ， 又当n =1时，a 1=S 1=5不满足上式， ∴a n ={5，n =12n
，n ≥2
．
典例4 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()()1112
n n n n nS n S ++-+=，*n ∈N ．
（1）求2a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式．
【解析】（1）∵11a =， ()()1112
n n n n nS n S ++-+=
，∴2112
212
S S ⨯-=
=． ∴21112123S S a =+=+=，∴2212a S a =-=． （2）由()()1112
n n n n nS n S ++-+=
，得
11
12
n n S S n n +-=+． ∴数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
是首项为111S =， 公差为12的等差数列． ∴()()11
11122
n S n n n =+-=+，∴()12n n n S +=
． 当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()112
2
n n n n +-=-
n
=．
而11a =适合上式， ∴n a n =．
2．已知数列{}n a 的各项都是正数，其前n 项和n S 满足1
2n n n
S a a =+，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为_______．
考向三 由递推关系式求通项公式
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解. 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：
（1）1()n n a a f n +=+：常用累加法，即利用恒等式121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++求通项
公式．
（2）1()n n a f n a +=⋅：常用累乘法，即利用恒等式3
21121
n
n n a a a a a a a a -=⋅
⋅求通项公式． （3）1n n a pa q +=+（其中,p q 为常数，0,1p ≠）：先用待定系数法把原递推公式转化为1()n n a k p a k +-=-，
其中1q
k p
=
-，进而转化为等比数列进行求解． （4）1n n n a pa q +=+：两边同时除以1
n q +，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除
以1
n p
+，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解．
（5）1n n a pa qn t +=++：把原递推公式转化为1()n n a xn y p a xn y +--=--，解法同类型3．
（6）1r
n n a pa +=：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．
（7）1n
n n pa a qa r
+=
+：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．
（8）1()n n a a f n ++=：易得2(1)()n n a a f n f n +-=+-，然后分n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即可． （9）1()n n a a f n +⋅=：易得
2(1)
()
n n a f n a f n ++=，然后分n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
典例5 已知数列{a n }中，a 1=1，a n =n (a n+1−a n )(n ∈*N ).求数列{a n }的通项公式. 【解析】方法一(累乘法)
∵a n =n (a n+1−a n )
，即11n n a n a n
++=，
∴
2121a a =，3232a a =，4343a a =，…，11
n n a n
a n -=-(n ≥2). 以上各式两边分别相乘，得1234
123
1
n a n a n =⨯⨯⨯⨯-. 又a 1=1，∴a n =n (n ≥2).
∵a 1=1也适合上式，∴a n =n . 方法二(迭代法)
由11n n a n a n -=-知，2121a a =，3232a a =，4343
a a =，…， 则a n =a 1×a 2
a 1×a 3
a 2×a 4
a 3×…×a n−1
a n−2×a n
a n−1=1×2
1×3
2×4
3×…×n−1
n−2×n
n−1=n . 典例6 在数列{}n a 中，11a =，()11112n n n a a n n +⎛
⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭
. （1）设n
n a b n
=
，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【解析】（1）由已知有121n n n
a a n n
+=++，∴12n n n b b +=+， ∴()1
12
2n n n b b n ---=≥，
∴()()()()11232211n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-+
+-+-+12222221n n --=++
+++
()1221212
n n n -==-≥-， 又当1n =时，111b a ==，满足上式．
∴21n
n b =- (*n ∈N ) ． （2）由（1）知2n
n a n n =⋅-，
∴()
()231222322123n n S n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+++⋅⋅⋅+， 而()1
12312
n n n +++⋅⋅⋅+=
+， 令231222322n
n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ①，
∴2341
21222322n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
②，
①−②得
23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅
(
)1
2122
12
n n n +-=
-⋅-
()1212n n +=-+-⋅．
∴()1
212
n n T n +=+-⋅．
∴()()1
1212
2
n n n n S n ++=+-⋅-
．
3．在数列{}n a 中，11a =，283a =，1111n n n n a a n ++⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
λ，λ为常数，*n ∈N ．
（1）求λ的值； （2）设n
n a b n
=
，求数列{}n b 的通项公式. 考向四 数列的性质
数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.
1．数列的周期性
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．数列的单调性
（1）数列单调性的判断方法：
①作差法：10n n a a +->⇔数列{}n a 是递增数列；
10n n a a +-<⇔数列{}n a 是递减数列； 10n n a a +-=⇔数列{}n a 是常数列．
②作商法：当0n a >时，
1
1n n a a +>⇔数列{}n a 是递增数列； 1
1n n
a a +<⇔数列{}n a 是递减数列；
1
1n n
a a +=⇔数列{}n a 是常数列． 当0n a <时，
1
1n n a a +>⇔数列{}n a 是递减数列； 1
1n n a a +<⇔数列{}n a 是递增数列； 1
1n n
a a +=⇔数列{}n a 是常数列． （2）数列单调性的应用：
①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．
②根据11k k k k a a a a -+≥⎧⎨≥⎩可求数列中的最大项；根据1
1k k k
k a a a a -+≤⎧⎨≤⎩可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对
应的项的大小即可．
（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：
①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；
②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n 的取值范围．
典例7 已知数列{}n a ，其通项公式为2*
3()n a n n n =-∈N ，判断数列的单调性． 【解析】方法一：2*3()n a n n n =-∈N ，2*
+13(1)(1)(),n a n n n =+-+∈N 则2213(1)(1)(3)6+20,n n a a n n n n n +-=+-+--=> 即*
1()n n a a n +>∈N ，
故数列{}n a 是递增数列.
方法二：2*3()n a n n n =-∈N ，2*
+13(1)(1)(),n a n n n =+-+∈N
则212
3(1)(1)3n n a n n a n n
++-+==-132 1.31n n n n ++⋅>- 即数列是递增数列． （注：这里要确定n a 的符号，否则无法判断+1n a 与n a 的大小）
方法三：令2
3y x x =-，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为1
16
x =
<，
{}n a {}n a
则函数2
3y x x =-在1
(,)6
+∞上单调递增，故数列{}n a 是递增数列．
典例8 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 13+a 23+a 33+⋅⋅⋅+a n 3=S n 2对任意n ∈N ∗恒成立. （1）证明：2S n =a n 2
+a n ；
（2）求数列{a n }的通项公式；
（3）若b n =2S n +ma n ，数列{b n }是递增数列，求m 的取值范围.
【解析】（1）由a 13+a 23+a 33+⋅⋅⋅+a n 3=S n 2
， 得a 13+a 23+a 33+⋅⋅⋅+a n−13=S n−12(n ≥2)， 两式相减得a n 3=S n 2−S n−12=a n (S n +S n−1).
又a n >0，
所以a n 2=S n +S n−1=2S n −a n ，即2S n =a n 2+a n (n ≥2)， 当n =1时，a 13=S 12，得a 1=1，也满足2S 1=a 12+a 1， 所以2S n =a n 2+a n .
（2）当n ≥2时，()()
2
2
111
2
n
n n n n n n a a a a a S S ---+-+=-=
，
得a n 2−a n−12=a n +a n−1，
又a n >0，所以a n −a n−1=1，
所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 故a n =1+(n −1)=n . （3）因为a n =n ，S n =
n(n+1)2
，所以b n =n 2+(m +1)n .
所以b n+1−b n =(n +1)2+(m +1)(n +1) −n 2−(m +1)n =2n +m +2>0对任意n ∈N ∗恒成立， 所以m >−2n −2，得m >−4. 故m 的取值范围是(4,)-+∞.
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，3
1.2
n n S a =- （1）求数列{}n S 的通项公式；
（2）判断数列+1n n S S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的单调性，并证明.
1．数列
13，13-，527，781
-，…的一个通项公式是 A ．a n =(−1)n+1213n n - B ．a n =(−1)n 21
3n n -
C ．a n =(−1)n+1213n n -
D ．a n =(−1)n
213
n
n - 2．在数列{}n a 中，11
11
,1(1)4n n a a n a -=-=->，则2019a 的值为 A ．1
4
- B ．
45
C ．5
D ．以上都不对
3．若数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =+，则它的通项公式是
A ．21n a n =+
B ．2n a n =
C ．3n a n =
D ．22n a n =+
4．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是
A ．21n +
B ．3n
C ．222n n +
D ．2322
n n ++
5．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，12a =，121n n S S +=-（*n ∈N ），则8a = A ．32 B ．64 C ．128
D ．256
6．已知数列{}n a 满足12n n a a n +-=，120a =，则n a
n
的最小值为 A ．45 B ．451 C ．8
D ．9
7．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,
，即
()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()*3,n n ≥∈N ，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学
等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为 A ．672 B ．673 C ．1346
D ．2019
8．若数列{}n a 满足2,11
81=-=
+a a a n
n ，则=1a ___________． 9．数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =+，若(5)n n b n a =-，则n b 的最小值为______.
10．已知数列{}n a 满足23
123333321n n n a a a a ++++=+，则{}n a 的通项公式为______．
11．已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有2
n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为
__________.
12．如图所示的数阵中，第64行第2个数字是________.
13．已知数列{a n }的通项公式a n =n 2−7n −8.
（1）数列中有多少项为负数?
（2）数列{a n }是否有最小项?若有，求出其最小项.
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =且()1
12
n n S a n =
+． （1）求2a ，3a ；
（2）求数列{}n a 的通项公式．
15．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
*
21n n S a n =-∈N ．
（1）求1a ，2a ，3a 的值；
（2）已知数列{}n b 满足12b =，1n n n b a b +=+，求数列{}n b 的通项公式．
16．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2
1(2)n n n a S S n -=+≥，11a =.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设2
(1)(1)n n n b a a a =---，若{}n b 是递增数列，求实数a 的取值范围．
17．已知数列{}n a 满足26a =，
()*1n
n n
a n n a a +=∈-N .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和n T .
1．（新课标全国Ⅰ理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_________． 2．（江苏）数列{a n }满足a 1=1且a n+1−a n =n +1(n ∈N ∗)，则数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为 . 3．（新课标全国Ⅰ理科）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知a n >0，a n 2＋2a n ＝4S n ＋3. （1）求{a n }的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=.求数列{b n }的前n 项和.
1．【答案】B
【解析】对于A，当n为奇数，
31
1
2
n
a
-
==，当n为偶数，
31
2
2
n
a
+
==，正确；
对于B，当n为奇数，
3+1
2
2
n
a==，当n为偶数，
31
1
2
n
a
-
==，不正确；
对于C，当n为奇数，
31
1
2
n
a
-
==，当n为偶数，
3+1
2
2
n
a==，正确；
对于D，当n为奇数，
31
1
2
n
a
-
==，当n为偶数，
3+1
2
2
n
a==，正确.
故选B.
【名师点睛】本题考查数列的通项公式，考查分类讨论与计算能力，属于基础题.对n分为奇数、偶数讨论即可判断.
2．【答案】
n
a=
【解析】因为数列{}n a的各项都是正数，其前n项和n S满足
1
2
n n
n
S a
a
=+，*
n∈N，所以当1
n=时，111
1
1
22
S a a
a
=+=，
1
1
a=；
当2
n≥时，1
1
11
2
n n n n
n n n
S a S S
a S S
-
-
=+=-+
-，即1
1
1
n n
n n
S S
S S
-
-
+=
-，即
22
1
1
n n
S S
-
-=，所以数列{}2n S是等差数列，又211
S=，因此2
n
S n
=，
n
S，因此)
1
2
n n n
a S S n
-
=-=≥，又11
a=也满足
n
a=
n
a=*
n∈N.
故答案为
n
a=
【名师点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项公式，灵活处理递推公式即可，属于常考题型.求解时，先由递推公式求出11
a=，再由2
n≥时，1
1
11
2
n n n n
n n n
S a S S
a S S
-
-
=+=-+
-，整理，求出n
S，
进而可求出结果.
3．【解析】（1）将1n =代入1111n n n
n a a n ++⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭λ，得212
2a a =+λ
， 由11a =，28
3
a =
，得3=λ． （2）由11113n n
n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，得1113n n n
a a n n +-=+， 即113
n n n b b +-=
． 当2n ≥时，()()()111221n n n n n b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-1
1
1113311122313
n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
=-⨯-，
因为1111a b =
=，所以1
31
223n n b -=-
⨯． 因为11b =也适合上式， 所以1
31
223n n b -=
-
⨯． 【名师点睛】本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是累加法，注意新数列的首项与原数列首项的关系. 4．【解析】（1）-1-13
1 1.2
时，n n n S a >=
- -1-133=1122n n n n n a S S a a ⎛⎫⎛⎫
∴-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
1=3,n n a a -∴ 120,a =≠
∴数列{}n a 是等比数列，
123n n a -∴=⨯，
31n n S ∴=-，即数列{}n S 的通项公式为31n n S =-.
（2）数列+1n n S S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是递减数列.
证明如下：设+1
n n n
S b S =
， 1312
33131
n n n n
b +-∴==+--， 1111,331,330,310,310,n n n n n n n +++≥∴>>∴->->->
()
()()
11112332
2
0.31313131
n n n n n n n n b b ++++-∴-=-=<----
{}n b ∴是递减数列，即数列+1n n S S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是递减数列.
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及的知识点有：根据数列的递推公式判断其为等比数列，等比数列的求和公式，判断并证明数列的单调性，属于中档题目. （1）根据题中所给的条件，写出-1-13
1 1.2
n n n S a >=
-时，之后两式相减，得到1=3n n a a -，从而得到数列{}n a 是等比数列，利用求和公式求得31n
n S =-；
（2）将n b 进行化简，之后应用单调性的定义证明数列是递减数列.
1．【答案】C
【解析】对于选项A ，当n =2时，a 2=1
2
-
，不满足题意，所以A 不正确; 对于选项B ，当n =1时，a 1=13
-，不满足题意，所以B 不正确;
对于选项D ，当n =2时，a 2=1
3
，不满足题意，所以D 不正确; 当n =1，2，3，4时，a n =(−1)n+121
3
n
n -均满足题意，C 正确. 2．【答案】B
【解析】由题得2111
1,1=1+4=54
a a a =-=-
，3414511,15544
a a =-==-=-， 所以数列{}n a 的周期为3，又2019=3×673，所以201934
5
a a ==. 故选B.
【名师点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.先通过列举找到数列的周期，再根据周期求解. 3．【答案】B
【解析】当2n ≥时，()()2
21112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，当n=1时，112a S ==，满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.故选B ． 4．【答案】D
【解析】由题意知11n n a a n -=+-，根据累加法得1211()(3)345n n n a a a a a a -++=++
-=+-+
1n +
++＝
232
2
n n ++，故选D. 5．【答案】B
【解析】由12a =，得12S =，又121n n S S +=-，∴()1121n n S S +-=-，即11
21
n n S S +-=-，
且111S -=，即数列{n S -1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
则1112n n S --=⨯，即1
21n n S -=+.
∴766
8871)(2(21)264a S S =--+==+=．
故选B ．
【名师点睛】本题考查了数列递推式，考查利用构造法求数列的通项公式，属于中档题．求解时，由已知数列递推式构造等比数列{n S -1}，求其通项公式得到n S ，再由887a S S =-求解． 6．【答案】C
【解析】由12n n a a n +-=知：2121a a -=⨯，3222a a -=⨯，…，()121n n a a n --=-，相加得：
21n a a n n -=-，20
1n a n n n ∴
=+-，又*n ∈N ，所以4n ≤时，n a n 单调递减，5n ≥时，n a n 单调递增，因为5445a a =，所以n a n 的最小值为54845a a
==，故选C .
【名师点睛】本题考查数列通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.先根据叠加法求n a ，再利用数列单调性求最小值. 7．【答案】C
【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数， 可得{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...，
所以{}n a 是周期为3的周期数列，一个周期中的三项和为1102++=， 因为20196733=⨯，
所以数列{}n a 的前2019项的和为67321346⨯=， 故选C.
【名师点睛】本题主要考查了由递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 8．【答案】
1
2
【解析】由已知得111n n a a +=-
，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，5
6
1
12a a =-=，451112a a =-
=，34111a a =-=-，23
112a a =-=，1211
12a a =-=． 9．【答案】−12
【解析】当12,2n n n n a S S n -≥=-=，当n =1，12a =满足上式，故n a =2n ，
(5)n n b n a =-=()25n n -，对称轴为n =
5
2
，故n =2或3 时，n b 最小值为−12. 故答案为−12.
【名师点睛】本题考查由n S 求数列通项，考查数列最值，考查计算能力，是基础题，注意n 为正整数，
是易错题.求解时，先由2
n S n n =+求得n a ，再利用二次函数求n b 的最小值.
10．【答案】1
1,112(),233
n n n a n -=⎧⎪
=⎨⨯≥⎪⎩ 【解析】当1n =时，由13213a =+=，得11a =；
当2n ≥时，由23
123333321n n n a a a a +++
+=+，可得23
111231333321n n n a a a a ---+++
+=+，
两式相减得132n n n a -=，1
12()33n n a -=⨯，故11,1
12(),233n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩．
故答案为：11,1
12(),233
n n n a n -=⎧⎪
=⎨⨯≥⎪⎩．
【名师点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力. 11．【答案】(−3，+∞)
【解析】由{a n }为递增数列，得a n+1−a n =(n+1)2+λ(n+1)−n 2−λn =2n+1+λ>0恒成立，即λ>−2n −1在n ≥1时恒成立，令f (n )=−2n −1，n ∈*N ，则f (n )max =−3. 只需λ>f (n )max =−3即可.故实数λ的取值范围为(−3，+∞). 12．【答案】
12017
【解析】由题意，从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列{}n a ，其中2,4,7,11,
满
足*
1(2,)n n a a n n n --=≥∈N ，
则2121321(1)(2)2
()()()223222
n n n n n n n a a a a a a a a n --+++=+-+-++-=+++
+=+=
， 当63n =时，则263
63632
20172
a ++==，
所以第64行的第2个数字为
1
2017
． 【名师点睛】本题主要考查了数列的应用问题，其中解答中根据题意把从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列{}n a ，求得数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
13．【解析】（1）令a n <0，即n 2−7n −8<0，得−1<n <8.
又n ∈N *，所以n =1，2，3，…，7， 故数列从第1项至第7项均为负数，共7项. （2）函数y =x 2−7x −8图象的对称轴为x =7
2
=3.5，所以当1≤x ≤3时，函数单调递减; 当x ≥4时，函数单调递增，
所以当n =3或4时，数列{a n }有最小项，且最小项a 3=a 4=−20. 14．【解析】（1）
11a =且()1
12
n n S a n =
+， 2n ∴=时，221
132a a +=
⨯，22a =， 3n =时，331
1242
a a ++=⨯⨯，解得33a =．
（2）2n ≥时，()1111
122
n n n n n a S S a n a n --=-=+-⋅，
化为：11n n a a
n n -=-．
132 1.132
n n a a a a
n n -∴=====- .n a n ∴=
1n =时上式也成立．
n a n ∴=．
【名师点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其性质，属于中档题．已知数列前n 项和，
求数列通项公式，常用公式11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于
第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等差数列求通项公式. 在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n =的情况.
15．【解析】（1）11a =，22a =，34a =.
（2）因为()
*
21n n S a n =-∈N ，所以，当2n ≥时，有1121n n S a --=-，
则()1222n n n a a a n -=-≥，即12n n a a -=()2.n ≥ 所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以1
2n n a -=.
因为1n n n b a b +=+，所以1
12n n n b b -+-=. 则0
212b b -=，
1322b b -=，
.
212n n n b b ---=，
以上1n -个式子相加得：(
)1
1
11212
n n b b -⨯--=-，
又因为12b =，所以()
1*21n n b n -=+∈N .
16．【解析】（1）()2
12n n n a S S n -=+≥，2
1n a -=S n −1+S n −2（n ≥3）．
相减可得：22
11n n n n a a a a ---=+，
∵a n ＞0，a n −1＞0， ∴a n −a n −1=1（n ≥3）．
n =2时，2
2a =a 1+a 2+a 1，即2
2a =2+a 2，a 2＞0，解得a 2=2． 因此n =2时，a n −a n −1=1成立． ∴数列{a n }是等差数列，公差为1． ∴a n =1+n −1=n ．
（2）()()2
11n n n b a a a =---=（n −1）2+a （n −1）， ∵{b n }是递增数列，
∴b n +1−b n =n 2+an −（n −1）2−a （n −1）=2n +a −1＞0，即a ＞1−2n 恒成立， ∴a ＞−1，即实数a 的取值范围是（−1，+∞）．
【名师点睛】本题考查由前n 项和与a n 的关系求数列的通项公式，考查等差数列的通项公式和数列的单调性问题，属于中档题．
（1）由 a n 2＝S n +S n ﹣1（n ≥2），可得a n ﹣12＝S n ﹣1+S n ﹣2 （n ≥3），两式相减可得 a n ﹣a n ﹣1＝1，再由a 1＝1，可得{a n }的通项公式．
（2）根据{a n }的通项公式化简b n 和b n +1，由题意得b n +1﹣b n ＞0恒成立，分离变量即可得a 的范围．
17．【解析】（1）26a =，
()*1n
n n
a n n a a +=∈-N ， 13a ∴=且()11n n na n a +=+，即
11
n n a n a n
++=，
由累乘法得1
211112
112
312
1
n n n n n a a a n n a a a na n a a a n n ----=
⋅⋅⋅
⋅=⨯⨯⨯⨯==--， ()13133n n a a n n +∴-=+-=，
则数列{}n a 是首项为3，公差为3的等差数列，通项公式为3n a n =. （2）由（1）知，()233332
2
n
n n n n S +⋅+==
， 则
()122113131n S n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
， 211111212=113223
13133
∴n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+
+
-=-= ⎪ ⎪
+++⎝⎭
⎝⎭. 【名师点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式、裂项相消法求解数列的前n 项和的问题；关
键是能够根据递推关系确定采用累乘法求解通项；根据1
n S 的形式确定裂项的方式，属于常规题型.
（1）根据()*
1n n n a n n a a +=∈-N 可得11n n a n a n
++=，利用累乘法可求得n a ；
（2）由{}n a 的通项公式可知数列{}n a 为等差数列，利用等差数列求和公式求得n S ，得到1
n
S ；再利用裂项相消法求得n T .
1．【答案】63-
【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，
所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，
所以(
)66126312
S --=
=--，故答案是63-.
【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 2．【答案】
20
11
【解析】因为a 1=1且a n+1−a n =n +1，所以a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a 2−a 1)+a 1=n +(n −1)+⋯+2+1=
n(n+1)2
，则
11
121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
， 所以数列{1
a n
}的前10项和为1111120
2122223101111⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-
+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
.
3．【解析】（1）由a n 2+2a n =4S n +3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3. 可得a n+12−a n 2+2(a n+1−a n )=4a n+1， 即2(a n+1+a n )=a n+12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1−a n ).
由于a n >0，可得a n+1−a n =2.
又a 12+2a 1=4a 1
+3，解得a 1=−1(舍去)或a 1=3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n =2n+1.
（2）由a n =2n+1可知b n =
()()111111()212322123
n n a a n n n n +==-++++. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，
则T n =b 1+b 2+…+b n =()
1111111[()()(
)]23557
2123323n
n n n -+-+
+-=+++.。