2019数学必修一练习：第二章测评

2019数学必修一练习：第二章测评
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2019全国Ⅰ,理1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()
A.{x|-4<x<3}
B.{x|-4<x<-2}
C.{x|-2<x<2}
D.{x|2<x<3}
N={x|-2<x<3},
则M∩N={x|-2<x<2},故选C.
,则A∩(∁R B)=()
2.已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=
-
A.(-1,2)
B.(-1,1)
C.(-1,2]
D.(-1,1]
x2+x-2≤0,得-2≤x≤1.∴A=[-2,1],由
≥0,得x≤-1或x>2.∴B=(-∞,-1]∪(2,+∞).则∁R B=(-1,2],∴
-
∩(∁R B)=(-1,1].
3.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是()
A.t>s
B.t≥s
C.t<s
D.t≤s
4b-b2-4=-(b-2)2≤0,故t≤s.
4.下列命题中,正确的是()
A.若ac>bc,则a>b
B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D.若,则a<b
a=-3,c=-1,b=-2,则ac=3,bc=2,ac>bc,但a<b,故A错;取a=3,b=-1,c=5,d=0,则a>b,c>d,但a-c=-2,b-d=-,故B错;取a=3,b=-1,c=0,d=-2,则a>b,c>d,但ac=0,bd=2,ac<bd,故C错;因为0≤,故
()2<()2,即a<b,故D正确.
5.不等式<x+1的解集是()
A.(-3,-2)∪(0,+∞)
B.(-∞,-3)∪(-2,0)
C.(-3,0)
D.(-∞,-3)∪(0,+∞)
解析不等式<x+1等价于(>0,即等价于x(x+3)(x+2)>0,得它的解集为(-3,-2)∪(0,+∞).
6.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是()
A.[-4,1]
B.[-4,3]
C.[1,3]
D.[-1,3]
x2-(a+1)x+a≤0得(x-a)(x-1 ≤0,若a=1,不等式解集为{1},满足{1}⊆[-4,3];若a<1,有a≤x≤1,即解集若满足[a,1]⊆[-4,3],则-4≤a<1;若a>1,有1≤x≤a,即解集为[1,a],若满足[1,a]⊆[-4,3],则1<a≤3,综上-4≤a≤3,即实数a的取值范围是[-4,3].
7.若两个正实数x,y满足=1,且不等式x+<m2-3m有解,则实数m的取值范围是()
A.(-1,4)
B.(-4,1)
C.(-∞,-1)∪(4,+∞)
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
解析x+=2+≥2+2=4,则x+≥4,不等式x+<m2-3m有解,则m2-3m>4,解得m<-1或m>4,故
答案C
8.某工厂年产量第二年增长率为a,第三年增长率为b,这两年年产量的平均增长率为x,则()
A.x≥
B.x>
C.x≤
D.x<
1,由题意得(1+a)(1+b)=(1+x)2,∴x=( (-1≤((-1=,当且仅当+b即a=b时取等号.
9.当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,则实数m的取值范围是()
A.(-∞,6)
B.(-∞,6]
C.[6,+∞)
D.(6,+∞)
解析当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,即不等式m<x+恒成立,即m<x+min.x+≥2=6(当且仅当x=3时取
“=” ,因此x+min=6,所以m<6.
答案A
10.已知实数a,b满足1≤a+b≤3,-1≤a-b≤1,则4a+2b的取值范围是()
A.[0,10]
B.[2,10]
C.[0,12]
D.[2,12]
4a+2b=3(a+b)+(a-b),所以3×1-1≤4a+2b≤3×3+1,即2≤4a+2b≤10,选B.
11.若正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值为()
A.4
B.
C.5
D.
解析∵正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,∴x+2y+2-8≥0,当且仅当x=2y时取等号.设x+2y=t>0,∴t+t2-8≥0, t-32≥0,即(t+8)(t-4 ≥0,∴t≥4,故x+2y的最小值为4.
答案A
12.对实数a和b,定义运算“ :a b=,-,
,-
设函数y=(x2-2)(x-x2),x∈R.若函数y=c的图象与x轴恰
有两个交点,则实数c的取值范围是()
A.(-∞,-2]∪-1,
B.(-∞,-2]∪-1,-
C.-1,∪,+∞
D.-1,-∪,+∞
解析由题可知y=
-,-,
-,-或,
作出函数图象,如图所示,由图象可知,y=c与上述图象有两个交点时,c的
取值范围为(-∞,-2]∪-1,-.
答案B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,则a的取值范围是.
,设y=x2+(a2-1)x+a-2,要使得关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,根据二次,则满足x=1时,y<0,即a2+a-2<0,即(a-1)(a+2)<0,解得-2<a<1,即实数a的取值范围是-2<a<1.
2<a<1
14.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3<x<4},则的最小值为.
a<0,由根与系数的关系知-,
,
∴b=-7a,c=12a,则
-=-24a+
-
≥2(-
-
=4,
当且仅当-24a=
-
,即a=-时取等号.
15.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,t变动的范围是.
解析由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-t万亩,
则税收收入为20-t×24 000×t%.
由题意20-t×24 000×t%≥9 000,整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5.
∴当耕地占用税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9 000万元.
∴t的范围是[3,5].
16.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)的最值.
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:
甲:z=(x+2y)=2++8≥18,
乙:z=(x+2y)≥2 2=16.
①你认为甲、乙两人解法正确的是.
②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确..
甲
②答案不唯一.
如:已知x>0,y>0,求z=(a+b)的最小值.
甲:z=(a+b)=1++1≥4,
乙:z=(a+b)≥2 2=4.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.
a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
∵a>0,b>0且a≠b,
∴(a-b)2>0,a+b>0,
∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
18.(12分)若bc-ad≥0,bd>0,求证:.
bc-ad≥0,bd>0,
∴bc≥ad,>0,
∴bc≥ad,即,
∴+1≥+1,
∴,即.
19.(12分)已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b;
>0.
(2)解不等式-
-
由题意可知1,b为方程ax2-3x+2=0的两根,据根与系数的关系有1+b=,1×b=,可得a=1,b=2.
>0,
(2)由(1)可知,不等式-
-
当c<2时,原不等式的解集为{x|x<c或x>2};
当c=2时,原不等式的解集为{x|x≠2};
当c>2时,原不等式的解集为{x|x<2或x>c}.
20.(12分)已知函数f(x)=(m+1)x2-mx+1.
(1)当m=5时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)若不等式f(x)>0的解集为R,求实数m的取值范围.
当m=5时,f(x)=6x2-5x+1,
不等式f(x)>0即为6x2-5x+1>0,
解得该不等式的解集为或.
(2)由题意得(m+1)x2-mx+1>0的解集为R.
当m=-1时,该不等式的解集为(-1,+∞),不符合题意,舍去;
当m<-1时,不符合题意,舍去;
当m>-1时,Δ=(-m)2-4(m+1)<0,解得2-2<m<2+2.
综上所述,实数m的取值范围是(2-2,2+2).
21.(12分)某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住2022年冬奥会契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价.
解(1)设每件定价为t元,依题意得8--×0.2t≥25×8,
整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(2)依题意知当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等价于x>25时,a≥x+有解,
由于x≥2=10,
当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.
当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
22.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,试求函数(x>0)的最小值;
(2)对于任意的x∈[0,2],不等式y≤a成立,试求a的取值范围.
依题意得-=x+-4.
因为x>0,所以x+≥2.
当且仅当x=,即x=1时,等号成立.
所以≥-2.
故当x=1时,的最小值为-2.
(2)因为y-a=x2-2ax-1,所以要使得“对于任意的x∈[0,2],不等式y≤a成立”只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.
不妨设z=x2-2ax-1,
则只要z≤0在[0,2]上恒成立.
所以--, --,
解得a≥.
所以a的取值范围是,∞.。