高中数学第五章计数原理4.1二项式定理的推导课件(4)北师大版选择性必修第一册

中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项
的系数”这两个概念.
2.第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为 C .
2
变式训练2已知 √
(1)求n的值;

展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.
(2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数.
关.
微思考2
二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第k+1项是否相同?
提示不同.(a+b)n 展开式中第 k+1 项为nk an-kbk,而(b+a)n 展开式中第 k+1 项为
nk bn-kak.
微判断
(1)(a+b)n展开式中共有n项.( × )
(2) nr an-rbr是(a+b)n展开式中的第r项.( × )
我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导
(a+b)3,(a+b)4的展开式.
上述三个等式的右侧有何特点?
你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?
你能用类比方法写出(a+b)n(n∈N+)的展开式吗?
知识点拨
二项式定理
(a+b)n=n0 an+n1 an-1b+…+nk an-kbk+…+nn bn,上式可简写成
作 Tk+1=nk an-kbk.
名师点析1.展开式的特点:(1)展开式共有n+1项,各项中a,b的指数和都是
n;(2)a按降幂排列,指数由n逐项减1直到0;b按升幂排列,指数由0逐项加1直
到n.
2.二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.通过对a,b取
不同的特殊值,可使某些问题的解决更为方便.二项式定理通常还有如下三
种常见变形.
①(a-b)n=n0 an+(-1)1n1 an-1b+…+(-1)knk an-kbk+…+(-1)nnn bn.
②(1+x)n=n0 + n1 x+n2 x2+…+nk xk+…+nn xn.
注意:此时的二项式系数恰好就是项的系数.
③(1-x)n=n0 +(-1)1n1 x+…+(-1)knk xk+…+(-1)nnn xn.
微练习2
写出(a+2b)6的展开式.
解
(a+2b)6=60 a6+61 a5(2b)+62 a4(2b)2+63 a3(2b)3+64 a2(2b)4+65 a(2b)5+66 (2b)6
=a6+12a5b+60a4b2+160a3b3+240a2b4+192ab5+64b6.
课堂篇 探究学习
(3)(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的二项式系数相同.( √ )
微练习1
1
2
10
化简:1+10
+ 10
+…+10
=(
A.1
B.1 023
C.1 024
D.2 048
)
答案 C
1
2
10
解析 在(1+x)10 的二项展开式中令 x=1,得 1+10
+ 10
+…+10
=210=1 024.
2 5-3
2 (k=0,1,2,…,10).

3
3
(1)二项展开式的第 4 项的二项式系数为C10
=120.
3
2
3 7
(2)二项展开式的第 4 项的系数为C10
3 =-77 760.
3
(3)二项展开式的第 4 项为 T4=T3+1=-77 760√.
反思感悟 1.二项式系数都是组合数 C (k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k+…
+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
延伸探究将本例(1)改为求
解 (方法一)
4
1
C54 (2x)· 2

(方法二)
1 5
2- 2
3
+
反思感悟 1.情势简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于情
势较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变
形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是正
确解答与二项式定理有关的问题的前提.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从高到低,b的
,所以
=3,k=1,

2
9-k
所以第二项为含 x3 的项,T2=-2C91 x3=-18x3.
其二项式系数为C91 =9.
命题角度2 求二项展开式中的特定项
3
3
例3已知在 √- 3
√
(1)n;

的展开式中,第6项为常数项.求:
(2)二项展开式中含x2的项的系数;
(3)二项展开式中所有的有理项.
10
2
1
=-10 [C50 − C51 (2x3)+C52 (2x3)2-C53 (2x3)3+C54 (2x3)4-C55 (2x3)5]
1
3+40x6-80x9+80x12-32x15)=- 1
=-10 (1-10x
10
10 40 80
+ 7 − 4 + -80x2+32x5.
10-2
∈Z,
3
10-2
(3)由题意,得 0 ≤ ≤ 10, 令 3 =t(t∈Z),
∈N.
3
则 10-2k=3t,即 k=5-2t.
∵k∈N,∴t能被2整除.
令t=2,0,-2,即k=2,5,8.
∴第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为405x2,-61 236,295 245x-2.
202X
第五章
4.1 二项式定理的推导
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
核心素养
1.能用计数原理证明二项式定
理.(逻辑推理)
2.掌握二项式定理及其展开式
的通项公式.(数学运算)
3.会用二项式定理解决与二项
展开式有关的简单问题.(逻辑
推理与数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
激趣诱思
(1)求展开式中的特定项(或特定项的系数、二项式系数);
(2)已知特定项的系数求参数的值.
考向
以二项式通项为指向的问题
这类考题最常见,多是利用展开式的通项研究其中某一项(特定项),或由某
一项的系数求参数的值.
1.二项展开式问题
典例 1(1)(2018 全国Ⅲ,理 5)
A.10
5
2
2 +
的展开式中 x4 的系数为(
解 (1)因为 T3=C2 (√)n-2
-6
-3
2 2
2
- =4C2 2 ,T2=C1 (√)n-1 - =-2C1 2 ,
依题意得 4C2 +2C1 =162,所以 2C2 + C1 =81,
所以 n2=81,n=9.

9-3
2
9-3
k


3
2
(2)设第 k+1 项含 x 项,则 Tk+1=C9 (√) · =(-2) C9
幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大项等)及系数等方面有着广
泛的应用.
微思考1
二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区分?
提示二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是指
n0 , n1 ,…,nn , 它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
√
√
√
3
4
1
1
12
1
3
4
2
C4 (3√) + C4 =81x +108x+54+ + 2 .
√
√

(方法二)
1
= 2 [C40

1 4
3 √ +
√
=
3+1 4
√
=
1
4
(1+3x)
2
+ C41 ·3x+C42 (3x)2+C43 (3x)3+C44 (3x)4]
1
1
12
=2 (1+12x+54x2+108x3+81x4)=2 + +54+108x+81x2.

)
B.20 C.40 D.80
(2)(202X山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则
n=
.
解析 (1)由展开式知 Tr+1=C5 (x2)5-r(2x-1)r=C5 2rx10-3r.当 r=2 时,x4 的系数为
C52 22=40.
(2)二项展开式的通项 Tr+1=C (3x)r=3r·C ·xr,令 r=2,得 32·C2 =54,解得 n=4.
探究一
二项式定理的正用、逆用
1 4
例 1(1)求 3√ +
的展开式;
√
(2)化简:C0 (x+1)n-C1 (x+1)n-1+C2 (x+1)n-2-…+(-1)kC (x+1)n-k+…+(-1)nC .
2
1 4
1
1
解 (1)(方法一) 3√ + = C40 (3√)4+C41 (3√)3· + C42 (3√)2 +
指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是正负相间,那么是(a-
b)n的情势.
变式训练1化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
解 原式=C50 (2x+1)5-C51 (2x+1)4+C52 (2x+1)3-C53 (2x+1)2+C54 (2x+1)C55 (2x+1)0=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
n
(a+b)n= ∑ nk an-kbk.
k=0
这个公式称为二项式定理,等号右边的式子称为(a+b)n 的二项展开式,(a+b)n
的二项展开式共有 n+1 项,其中各项系数nk (k=0,1,2,…,n)称为二项式系数,式
中的nk an-kbk 用 Tk+1 表示,称为二项展开式中第 k+1 项,又称为二项式通项,记
探究二
二项式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数
2 10
例 2 已知二项式 3√.求:
3
(1)二项展开式第4项的二项式系数;
(2)二项展开式第4项的系数;
(3)二项展开式的第4项.
解

2 10
2

10-k
3√的二项展开式的通项是
T
=C
(3
)
√
k+1
10
3
3

= C10
·310-k
整数,求解方式与求有理项一致.
9
变式训练 3(1)若 的二项展开式中 x3 的系数是-84,则 a=

.
2
(2)已知 n 为等差数列-4,-2,0,…的第 6 项,则 + 的二项展开式的常数项
是
.
答案 (1)1
(2)160

1
解析 (1)展开式的通项为 Tk+1=C9 x9-k(-a)k = C9 ·(-a)kx9-2k(0≤k≤9,k∈N).
3.nk an-kbk 是展开式的第 k+1 项,该项的二项式系数是nk ,而不是nk+1 .
4.二项展开式的通项公式中b的指数和组合数的上标相同,a与b的指数之和
为n.
5.二项展开式的通项公式体现了二项展开式的项数、系数、a与b的指数
的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定
反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项,一般是先写出二项式通项,其所有的字母的指数恰好都是
整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,
令其属于整数,再根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项,其二项式通项中同一字母的指数应是非负
当 9-2k=3 时,解得 k=3,根据题意得C93 (-a)3=-84,解得 a=1.
(2)由题意得 n=6,∴Tk+1=C6 x6-k
C63 23=160.
2 k 6-2k
=2 C6 x ,令 6-2k=0,得 k=3,∴常数项为

素养形成
高考热点分析
高考对二项式定理考查的题型主要有:
答案 (1)C
(2)4
典例 2(1)(2020 全国Ⅲ,理
2 6
2
14)(x + ) 的展开式中常数项是
(用数字作

答).
(2)(2019 天津,理
1 8
10)(2x-83 ) 的展开式中的常数项为
.
解析 (1)∵(x
2 6
+) 的通项为
2

2 6-r 2
Tr+1=C6 (x )
= C6 x12-3r2r,∴当且仅当 12-3r=0,即 r=4 时,Tr+1 为常数项,即
解 二项式通项为
-

k -3
3
Tk+1=C (-3)ห้องสมุดไป่ตู้
=
-2
k

C (-3) 3 (k=0,1,2,…,n).
-2
(1)∵第 6 项为常数项,∴当 k=5 时,有
=0,即
n=10.
3
10-2
1
(2)令
=2,得 k= ×(10-6)=2,
3
2
2
∴所求的系数为C10
(-3)2=405.
− C55 ·
1 5
2- 2
=
=
1 5
2- 2 的展开式.

0
5-C1 (2x)4·1
C5 (2x) 5
2
2
3· 1
+ C5 (2x) 2
2
−
3
2· 1
C5 (2x) 2
1 5
5-80x2+80 − 40 + 10 − 1 .