东海高级中学高三(1)班45分钟课堂精练三

东海高级中学高三（1）班45分钟课堂精练三
1、已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=有实根，则纯虚数m 的值是 。

2、与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 。

3、函数f : {1, 2, 3}→{1, 2, 3}，满足(())()f f x f x =，则这样的函数个数共有 。

4、在一根长10cm ，外圆周长6cm 的圆柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为. 。

5、定义在R 上的偶函数f (x )满足(1)()f x f x +=-，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x )的判断： ① f (x )是周期函数；
② f (x )关于直线x =1对称；
③ f (x )在[0，1]上是增函数；
④ f (x )在[1，2]上是减函数；
⑤ f (2)= f (0)。

其中正确判断的序号为__ （写出所有正确判断的序号）。

6、已知三个正数,,a b c 满足a b c <<.
(1)若,,a b c 是从129,,101010⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭
中任取的三个数，求,,a b c 能构成三角形三边长的概率； (2)若,,a b c 是从(0,1)中任取的三个数，求,,a b c 能构成三角形三边长的概率.
7、已知函数f(x)的定义域为[0，1]，且同时满足：①f(1)＝3；②f(x)≥2对一切x∈[0，1]恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－2，
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值和最小值；
（Ⅱ）试比较
1
()
2n
f与
1
2
2n
+（n∈N）的大小；
（Ⅲ）某同学发现：当
1
2n
x=（n∈N）时，有f(x)＜2x＋2，由此他提出猜想：对一切x∈(0，1]，都有f(x)＜2x
＋2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．
课堂精练三答案
1、112
i ；2、4条；3、10；4
、5、①②⑤； 6、分析:在(1)中,,a b c 的取值是有限可数的，可用列举法解决；(2)中,,a b c 的取值是无穷的,得用几何概型的方法求解.
解:(1)若,,a b c 能构成三角形，则4,10a b c c +>≥
. ①若410c =时，32,1010b a ==.共1种；②若510c =时。

432,,101010
b a ==.共2种； 同理610
c =时，有3+1=4种；710c =时，有4+2=6种；810
c =时，有5+3+1=9种； 910
c =时，有6+4+2=12种.于是共有1+2+4+6+9+12=34种. 下面求从129,,101010⎧⎫⋅⋅⋅⎨
⎬⎩⎭中任取的三个数,,a b c (a b c <<)的种数： ①若110a =，210b =，则39,,1010c =⋅⋅⋅，有7种；349,,,101010b c ==⋅⋅⋅，有6种；410b =，59,,1010
c =⋅⋅⋅，有5种；……； 89,1010
b c ==，有1种.故共有7+6+5+4+3+2+1=28种. 同理，210a =时，有6+5+4+3+2+1=21种；310a =时，有5+4+3+2+1=15种；410a =时，有4+3+2+1=10种；510
a =时，有3+2+1=6种；610a =时，有2+1=3种；710
a =时，有1种. 这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种.
∴,,a b c 能构成三角形的概率为34174824
=. (2)a b c 、、能构成三角形的充要条件是0101a b c a b c c <<<<⎧⎪+>⎨⎪<<⎩
.
在坐标系aOb 内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分)，
由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可. 又12S =阴影，于是所要求的概率为112.12
P == 7、解：（Ⅰ）设x 1，x 2∈[0，1]，x 1＜x 2，则x 2－x 1∈[0，1]．
∴f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)－2．
∴f (x 2)－f (x 1)≥f (x 2－x 1)－2≥0．∴f (x 1)≤f (x 2)． ………………………… 2分
则当0≤x ≤1时，f (0)≤f (x )≤f (1)． ………………………………………… 3分
在③中，令x 1＝x 2＝0，得f (0)≤2，由②得f (0)≥2，∴f (0)＝2． ………
4分 ∴当x ＝0时，f (x )取得最小值为2；
当x ＝1时，f (x )取得最大值为3． …………………………………………… 6分
（Ⅱ）在③中，令x 1＝x 2＝12n ，得111()2()222n n f f -≥- …………………… 8分
∴12211111111(
)2[()2][()2][()2]22222222n n n n n n n f f f f ----≤-≤-≤-= 则11()222
n n f ≤+． …………………………………………………………… 11分 （Ⅲ）对x ∈[0，1]，总存在n ∈N ，满足112n +＜x ≤12
n ． …………………… 13分 由（Ⅰ）与（Ⅱ），得11()()222n n f x f ≤≤+，又2x ＋2＞2·112n +＋2＝12n ＋2． ∴f (x )＜x ＋2．
综上所述，对任意x ∈[0，1]．f (x )＜x ＋2恒成立． ………………………
16分。