河北省邯郸市大名县第一中学2021届高三上学期12月强化训练三数学试题

高三专题训练卷（三）
测试内容：立体几何、随机变量及其分布列、统计及统计案例命题人：赵瑞杰一、单选题（每题5分）
1、过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是( )
A.有且只有一个
B.一个或无穷多个
C.无数个
D.以上均不正确
2、已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，
那么这个球的半径是( )
A.4
B.3
C.2
D.0.5
3、如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中
点，则异面直线PQ和BC1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组
成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容
器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥
组成，圆锥的底面直径和高均为12cm，体积为的细沙全部漏入
下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高
度为（）
A．3cm B．8cm C．6cm D．9cm
5、随机变量ξ服从正态分布，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
6、两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工
为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A． B．C． D．
7、若，则的值为（）
A． B．C．D．8、本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）
A．72种 B．144种C．288种D．360种
二、多选题（每题5分）
9、在统计中，由一组样本数据，，利用最小二乘法得到两个变
量的回归直线方程为，那么下面说法正确的是（）
A．直线至少经过点，，中的一个点
B．直线必经过点
C．直线表示最接近与之间真实关系的一条直线
D．，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小
10、下列命题中正确的是
A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为
11、设离散型随机变量的分布列为
0 1[ 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有
A ．
B ．，
C ．，
D ．，
12、正方体的棱长为1，分别为的中点．则（）
A ．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点和点到平面的距离相等
三、填空题（每题5分）
13、如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直
角三角形，若，那么原三角形的面积是
________．
14、随机变量的取值为、、，，，则______.
15、“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，
其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机
选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克
剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次
该游戏，则甲不输的概率是______.
16、我国古代《九章算术》中将上，下两面为
平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，，，，平面与平面间的距离为，则该刍童外接球的体积为_____.
四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）
17、近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：
年份2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 工业增加值
13．2 13．8 16．5 19．5 20．9 22．2 23．4 23．7 24．8 28 依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
5．5 20．6 82．5 211．52 129．6
（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业
增加值（万亿元）与年份序号的回归方程类型
进行了拟合实验，研究人员甲采用函数，
其拟合指数；研究人员乙采用函数
，其拟合指数；研究人员丙采用
线性函数，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好．（注：相关系数与拟合指数满足关系）．
（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立关于的回归方程（系数精确到0．01）；（3）预测到2021年的工业增加值能否突破30万亿大关．
附：样本的相关系数，
，，．
18、一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
19、如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PCD ，，
，，E为AD的中点，AC与
BE相交于点O.
（1）证明：平面ABCD.
（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.
20、如图，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，
BC∥AD，AB⊥BC ，，，M是
PD的中点.
（1）求证：CM∥平面PAB；
（2）求二面角的余弦值.
21、2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对于线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，其中男生30人对于线上教学满意，女生中有15名表示对线上教学不满意. (Ⅰ)完成22列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”
;
满意不满意总计
男生
女生
合计120
(Ⅱ)从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及
期望值.
参考公式：附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10．828
22、某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.
（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；
（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与之中选其一，应
态度
性别
选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）
专题训练卷（三）答案
1-8、BBCCCBCB. 9、BCD 10、ABD 11、ACD 12、BC
13、14、1 15、16、
17、【解析】（1）解：，．
因为越大，拟合效果越好，所以丙的拟合效果最好．
（2）解：，．因此关于的线性回归方程为
．
（3）解：2021年是第14年，其工业增加值的预报值：
18、【解析】（1）.所以的分布列为
X -200 10 20 100
（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为
.
（3）由（1）得：，即每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少的可能性更大.
19、【解析】（1）证明：平面PCD，平面，，
，为的中点，则且.
四边形BCDE为平行四边形，，. 又，且E为AD的中点，四边形ABCE为正方形，，又平面，
平面，则.
平面平面，，
又，为等腰直角三角形，
O为斜边AC上的中点，且平面ABCD.
（2）解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
不妨设，则,则
.
设平面PBD的法向量为，
则即即
令，得.
设BC与平面所成角为，
则.
20、【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接.分别为的中点，
，又且，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.
（2）解：由题意知：两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，
.
平面，为平面的一个法向量，
，
二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.
21、（Ⅰ）
满意不满意总计
男生30 25 55
女生50 15 65
合计80 40 120
这说明有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”. ……5分（Ⅱ）依题意,从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，其中男生3人，女生5人,抽取男生的个数的取值为0,1,2,3.则
, , , .
则的分布列为：
0 1 2 3
所以即的期望值为……12分22、【解析】（1）设3条生产线中出现故障的条数为,则,
因此
（2）①当时,设该企业每月的实际获利为万元,
若,则；若,则；
若,则；若,则；
,,
,
此时,实际获利的均值
②当时,设该企业每月的实际获利为万元,
若,则；
若,则；
若,则；
若,则；
因为,
于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用。