2021年高中数学 2.3直线、平面平行的性质与判定练习 新人教A版必修2

2021年高中数学 2.3直线、平面平行的性质与判定练习新人教A版必修
2
1．下列命题中正确的个数是( )
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑥平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案B
解析a∩α＝A时，a不在α内，
∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α
时，α内的直线与l 平行或异面，故③错；a ∥b ，b ∥α时，a ∥α或a ⊂α，故④错；l ∥α，则l 与α无公共点，∴l 与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A 1C 1与B 1D 1都与平面ABCD 平行，∴⑥正确．
2．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；
③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
答案 C
解析 ①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m . ②中l 与m 也可能异面．
③中
⎭
⎪⎬⎪
⎫l ∥γ
l ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ， 同理l ∥n ，则m ∥n ，正确． 3．下列命题中，是假命题的是( )
A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a
C ．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d
D ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 答案 D
解析 D 错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β＝l .
4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a
3，
则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定 答案 B
解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a
3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1
∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D ， ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .
5．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线．给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；
③若α∥β，l⊂α，则l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m、n 相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l∥γ，β∩γ＝m，l⊂β，∴l∥m，又α∩β＝l，且m⊂β，∴m∥α，又m⊂γ且γ∩α＝n，∴m∥n，故④对，选B.
6．如图所示，四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
答案①③
7．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l、m为直线，α、β为平面)，则此条件为________．
①
⎭⎪
⎬
⎪⎫
m⊂α
l∥m⇒l∥α；②
⎭⎪
⎬
⎪⎫
l∥m
m∥α⇒l∥α；③
⎭⎪
⎬
⎪⎫
l⊥β
α⊥β⇒l∥α.
答案l⊄α
解析①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l⊄α.
8．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．
答案平面ABC和平面ABD
解析连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知，E、F 重合为一点，且该点为CD的中点E.由
EM
MA
＝
EN
NB
＝
1
2
得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
9．设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有________．(把所有的真命题全填上)
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线，⑤x，y为平面，z为直线．
答案③⑤
解析①直线x可能在平面y内；②平面x与y可能相交；④直线x与y可能相交，也可能异面，故③⑤正确．
10．(2011·天津文)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
证明：PB∥平面ACM.
解析连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.
11. 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．
(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 解析 (1)连接FG .
∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE . 又∵C 1F 綊B 1G ，
∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1，
∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB ， 故E 、B 、F 、D 1四点共面．
(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝3
2.又B 1G ＝1，
∴
B 1G B 1H ＝23
. 又FC BC ＝2
3
，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF ，
∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB . 又由(1)知，A 1G ∥BE ， 且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .
12. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .
当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?
解析 方法一 如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .
∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ， ∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ， ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC ＝2FB ， ∴OM ∥FB 綊1
2EC ，
∴四边形OMBF 为矩形， ∴BM ∥OF ，
又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF .
故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．
方法二如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ，
∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，
∴PE綊BF，PB∥EF，
∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，
∴平面PBQ∥平面AEF，
又∵BQ⊂面PQB，
∴BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．
13．(2011·山东文) 如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD 是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)证明：CC1∥平面A1BD.
解析(1)证法一因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.
又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，
在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2，
因此AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.
证法二因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥D1D.
取AB的中心G，连接DG，
在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD，
又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形，因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB，又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，
故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，
所以BD⊥AD.
又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1⊂平面ADD1A1，
故AA1⊥BD.
(2)连接AC，A1C1，
设AC∩BD＝E，连接EA1，
因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以EC ＝1
2
AC .
由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1，知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ， 所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1. 又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .
1．如下图所示，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD .
证明 方法一 取CD 中点E ， 连接NE 、ME .
∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点，
∴NE ∥PD ，ME ∥AD .
∴NE ∥平面PAD ，ME ∥平面PAD .
又NE ∩ME ＝E ，
∴平面MNE ∥平面PAD .
又MN ⊂平面MNE ，
∴MN ∥平面PAD .
方法二 取PD 中点F ，连接AF 、NF .
∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点， ∴NF 綊12CD ，AM 綊12
CD ， ∴AM 綊NF .
∴四边形AMNF 为平行四边形，
∴MN ∥AF .
又AF ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，
∴MN ∥平面PAD .
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP ∥平面A1BD.
证明方法一
如图(1)所示，连接B1D1.
∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD.
又PN⊄平面A1BD，
∴PN∥平面A1BD.
同理：MN∥平面A1BD.
又PN∩MN＝N，
∴平面PMN∥平面A1BD.
方法二如图(2)所示，连接AC1，AC，
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴AC⊥BD.
又CC1⊥平面ABCD，
∴AC为AC1在平面ABCD上的射影，
∴AC1⊥BD.
同理可证AC1⊥A1B，
∴AC1⊥平面A1BD.
同理可证AC1⊥平面PMN.
∴平面PMN∥平面A1BD.
3. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.
(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2)设E是B1C1上的一点，当B1E
EC1
的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．
解析(1)在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.
又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在平面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1.
(2)由(1)得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点．
当B1E
EC1
＝1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1.
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，∴B1B∥DE，B1B＝DE.
又B1B∥AA1，且B1B＝AA1，
∴DE∥AA1，且DE＝AA1.
∴四边形ADEA1为平行四边形，∴A1E∥AD.
而A1E⊄平面ADC1，故A1E∥平面ADC1.
1．如图在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
答案M∈线段FH
解析∵HN∥BD，HF∥DD1，
∴平面NHF∥平面B1BDD1.
故线段FH上任一点M与N相连，
都有MN∥平面B1BDD1，故填M∈线段FH.
2. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧
面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝
6
3
a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
解析在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，则F即为所求作的点．
∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，
∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG.
又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，
∴EF ∥平面PAD .
又在△BCE 中，
CE ＝BC 2－BE 2＝
a 2－23a 2 ＝33
a . 在Rt △PBC 中，BC 2＝CE ·CP ， ∴CP ＝a 2
33a ＝3a .又EG CD ＝PE PC
， ∴EG ＝AF ＝23
a . ∴点F 为AB 的一个三等分点，且靠近B 点．e30655 77BF 瞿u35844 8C04 谄/N33780 83F4 菴j39500 9A4C 驌27083 69CB 構&,23426 5B82 宂Z22533 5805 堅。