宁乡县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宁乡县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）
A ．2︰3
B ．4︰3
C ．3︰1
D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 2． 设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ） A ．{1，2}
B ．{﹣1，4}
C ．{﹣1，2}
D ．{2，4}
3． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）
A ．只有减区间没有增区间
B ．是f （x ）的增区间
C ．m=±1
D ．最小值为﹣3
4． 已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（1，+∞）
D ．（2，+∞）
5． 已知函数()sin f x a x x =关于直线6
x π
=-对称 , 且12()()4f x f x ⋅=-,则12x x +的最小值为
A 、
6
π
B 、
3
π
C 、
56π D 、23
π
6． 复数z=（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7． 已知点A （0，1），B （3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ） A ．（﹣7，﹣4） B ．（7，4） C ．（﹣1，4）
D ．（1，4）
8． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9． 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n +，则S 2015的值是（ ）
A ．
B ．
C ．2015
D ．
10．在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z
A．1 B．2 C．3 D．4
11．函数f（x）=log2（x+2）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e）D．（3，4）
12．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的（）
A．①④B．①⑤C．②⑤D．③⑤
二、填空题
13．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次
服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）
14．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．
15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．
16．已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．17．在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为．
18．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____．
三、解答题
19．已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若函数y=f（x）的零点为﹣1和1，求实数b，c的值；
（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b的取值范围．
20．已知集合A={x|x ＜﹣1，或x ＞2}，B={x|2p ﹣1≤x ≤p+3}．
（1）若p=，求A ∩B ；
（2）若A ∩B=B ，求实数p 的取值范围．
21．已知函数2
(x)1ax f x =
+是定义在（-1，1）上的函数, 12
()25
f = （1）求a 的值并判断函数(x)f 的奇偶性
（2）用定义法证明函数(x)f 在（-1，1）上是增函数；
22．已知定义域为R 的函数f （x ）=是奇函数．
（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）判断函数f （x ）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2
﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．
23．已知椭圆C 1：
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为e=
，直线l ：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C 1的短
半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 1的方程；
（2）抛物线C 2：y 2
=2px （p ＞0）与椭圆C 1有公共焦点，设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R ，S 在C 2上（R ，
S 与Q 不重合），且满足•=0，求||的取值范围．
24．（本题12分）如图，D 是Rt BAC ∆斜边BC 上一点，AC . （1）若22BD DC ==，求AD ； （2）若AB AD =，求角B .
宁乡县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】由已知等式，得3cos 3cos c b C c B =+，由正弦定理，得sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，则
sin 3sin()3sin C B C A =+=，所以sin :sin 3:1C A =，故选C ．
2． 【答案】A
【解析】解：集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B={1，2}． 故选：A ．
【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．
3． 【答案】B
【解析】解：若f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数， 则f （0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f （x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件， 当m=﹣1时，f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣1|，此时为奇函数，满足条件， 作出函数f （x ）的图象如图： 则函数在上为增函数，最小值为﹣2， 故正确的是B ， 故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m 的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
4． 【答案】C
【解析】解：令F （x ）=
，（x ＞0），
则F ′（x ）
=，
∵f （x ）＞xf ′（x ），∴F ′（x ）＜0， ∴F （x ）为定义域上的减函数，
由不等式x 2
f
（）﹣f （x ）＞0，
得：
＞，
∴＜x ，∴x ＞1， 故选：C ．
5． 【答案】D
【解析】
：()sin )(tan )f x a x x x a
ϕϕ==-=
12(),
()()46
3
f x x k f x f x π
π
ϕπ=-
∴=+
⋅=-对称轴为
112212min
522,2,6
6
3
x k
x
k x x π
π
πππ∴=-
+=
+∴+=
6． 【答案】C 【解析】解：z=
=
=
当1+m ＞0且1﹣m ＞0时，有解：﹣1＜m ＜1； 当1+m ＞0且1﹣m ＜0时，有解：m ＞1； 当1+m ＜0且1﹣m ＞0时，有解：m ＜﹣1； 当1+m ＜0且1﹣m ＜0时，无解； 故选：C ．
【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．
7． 【答案】A
【解析】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量
=
=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A ．
P
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
8．【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，
可得b的最小值为：2．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
9．【答案】D
【解析】解：∵2S n=a n+，∴，解得a1=1．
当n=2时，2（1+a2）=，化为=0，又a2＞0，解得，
同理可得．
猜想．
验证：2S
=…+=，
n
==，
因此满足2S n=a n+，
∴．
∴S n=．
∴S2015=．
故选：D．
【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．【答案】A
【解析】解：因为每一纵列成等比数列，
所以第一列的第3，4，5个数分别是，，．
第三列的第3，4，5个数分别是，，．
又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，
所以y=，
第5行的第1、3个数分别为，．
所以z=
．
所以x+y+z=++
=1．
故选：A ．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．
11．【答案】B
【解析】解：∵f （1）=
﹣3＜0，f （2）=
﹣=2﹣＞0，
∴函数f （x ）=log 2（x+2）﹣（x ＞0）的零点所在的大致区间是（1，2），
故选：B ．
12．【答案】D
【解析】解：当m ⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m 与β没有公共点，有m ∥β，其他条件无法推出m ∥β， 故选D
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．
二、填空题
13．【答案】
, 无．
【解析】【知识点】等比数列
【试题解析】设该病人第n 次服药后，药在体内的残留量为毫克，
所以）=300，
=350．
由，
所以是一个等比数列，
所以
所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。

故答案为： , 无．
14．【答案】 ．
【解析】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x＞0时有解，
所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．15．【答案】12．
【解析】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，
所以15﹣x=12，
即所求人数为12人，
故答案为：12．
16．【答案】63
【解析】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，
所以a1=1，a3=4．
设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．
则．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
17．【答案】7+
【解析】解：如图所示，
设∠APB=α，∠APC=π﹣α．
在△ABP与△APC中，
由余弦定理可得：AB2=AP2+BP2﹣2AP•BPcosα，
AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos（π﹣α），
∴AB2+AC2=2AP2+，
∴42+32=2AP2+，
解得AP=．
∴三角形ABP的周长=7+．
故答案为：7+．
【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】-2
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】由题知：
所以
故答案为：-2
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵﹣1，1是函数y=f（x）的零点，∴，解得b=0，c=﹣1．（2）∵f（1）=1+2b+c=0，所以c=﹣1﹣2b．
令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）x﹣b﹣1，
∵关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，
∴
，即
．解得＜b
＜，
即实数b
的取值范围为（
，）．
【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）当
p=时，B={x|0≤x
≤}， ∴A ∩B={x|2＜x
≤}； （2）当A ∩B=B 时，B ⊆A ；
令2p ﹣1＞p+3，解得p ＞4，此时B=∅，满足题意； 当p ≤4
时，应满足，
解得p 不存在；
综上，实数p 的取值范围p ＞4．
21．【答案】（1）1a =，()f x 为奇函数；（2）详见解析。

【解析】
试题分析：（1）11222
125514a f a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+，所以1a =，则函数()2
1x f x x =+，函数()f x 的定义域为()1,1-，关于原点对称，又()()
()22
11x x
f x f x x x --==-=-++-，所以函数()f x 为奇函数；（2）设12,x x 是区间()1,1-上两个不等是实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，()()21
2122
2111x x y f x f x x x ∆=-=
-=++
()()
()()
()()()()()()()()
2221122112122112222222212121111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-+---==++++++，因为
()11,1x ∈-，()21,1x ∈-，
且12x x <，所以1211x x -<<，则1210x x ->，所以()()()()
211222
2
1
10
11x x x x x x -->++，即0y ∆>，所以函数()f x 在
区间()1,1-上为增函数。

试题解析：（1）12225
5
f a ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
所以=1a ， 定义域为()1,1-,关于原点对称，且()()
()2
2
11x x
f x f x x
x --=
=-
=-++-,所以()f x 为奇函数； （2）设12,x x 是区间()1,1-上两个不等是实数，且12x x <，则21
0x x x ∆=->
()()21
21222111x x y f x f x x x ∆=-=-=++()()()()()()()()
22211221122222
21211111111x x x x x x x x x x x x +-+--=++++ 因为()11,1x ∈-，()21,1x ∈-，且12x x <， 所以1211x x -<<，则1210x x ->，所以()()()()
2112222110
11x x x x x x -->++，
即0y ∆>，
所以函数()f x 在区间()1,1-上为增函数。

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。

22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为f （x ）是奇函数，所以f （0）=0，
即⇒b=1，
∴
．
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知
，
设x 1＜x 2则f （x 1）﹣f （x 2）
=
﹣
=
因为函数y=2x
在R 上是增函数且x 1＜x 2∴f （x 1）﹣f （x 2）
=＞0
即f （x 1）＞f （x 2）
∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上为减函数
（III ）f （x ）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f （x ）是奇函数，
所以f （t 2﹣2t ）+f （2t 2
﹣k ）＜0
等价于f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ）=f （k ﹣2t 2
）， 因为f （x ）为减函数，由上式可得：t 2﹣2t ＞k ﹣2t 2
． 即对一切t ∈R 有：3t 2
﹣2t ﹣k ＞0，
从而判别式
．
所以k 的取值范围是k ＜﹣．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是
一道综合题．
23．【答案】
【解析】解：（1）由直线l ：y=x+2与圆x 2
+y 2=b 2
相切，∴ =b ，解得b=．
联立解得a=，c=1．
∴椭圆的方程是C1：．
（2）由椭圆的右焦点（1，0），抛物线y 2
=2px 的焦点
，
∵有公共的焦点，∴，解得p=2，故抛物线C 2的方程为：y 2
=4x ．
易知Q （0，0），设R （，y 1），S （
，y 2），
∴=（，y 1），=
，
由
•
=0，得
，
∵y 1≠y 2，∴，
∴=64，当且仅当
，即y 1=±4时等号成立．
又||=
=
=
，
当=64，即y
2=±8时，||min=8
，
故|
|的取值范围是[8
，+∞）．
【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积运算和基本不等式的性质、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
24．【答案】（1）2=
AD ；（2）3
π
=
B .
【解析】
考点：正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.
【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方.。