2024年高考数学考点分析与突破性讲练专题07函数图像理

专题07 函数图像
一、
考纲要求:
会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 二、
概念驾驭及解题上的留意点：
1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；
(3)探讨函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．
2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换
(2)对称变换
①y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；
④y ＝a x
(a ＞0且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――――――――――→a ＞1，横坐标缩短为原来的1
a
，纵坐标不变
0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1
a
倍，纵坐标不变
y ＝f (ax )的图象；
②y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变
0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图象．
(4)翻转变换
①y ＝f (x )的图象――――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方
x 轴及上方部分不变
y ＝|f (x )|的图象；
②y ＝f (x )的图象――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧
原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．
[学问拓展] 函数对称的重要结论
(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．
(3)若函数y ＝f (x )对定义域内随意自变量x 满意：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．
其中(1)(2)为两函数间的对称，(3)为函数自身的对称． 三、高考考题题例分析：
例1.（2024高考新课标1卷）函数2
2x
y x e =-在[]2,2-的图像大致为
（A ）（B ）
（C ）（D ）
【答案】D 【解析】
x ∈(x 0,2)时，f (x )为增函数，故选D 。

考点：函数图像与性质
例2. (2024·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin x
x
2的部分图象大致为( )
例3 (2024·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
D解析：(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故解除A，B．设g(x)＝2x2－e x，则g′(x)＝4x－e x.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，解除C．故选D．
例4（2024全国课表卷II）函数f（x）=的图象大致为（）
A．B．
C．D．
例5.函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．
C ．
D ．
函数图像练习题 一、选择题
1．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x
关于y 轴对称，则f (x )＝( )
A ． e
x ＋1
B ．e x －1
C ．e
－x ＋1
D ．e
－x －1
D 解析：依题意，与曲线y ＝e x
关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x
向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e
－(x ＋1)
＝e
－x －1
.
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋ln x ，x ≥1，
x 3
，x ＜1，
则f (x )的图象为( )
A 解析：由题意知函数f (x )在R 上是增函数，当x ＝1时，f (x )＝1，当x ＝0时，f (x )＝0，
故选A ．
3．函数y ＝
x ln|x |
|x |
的图象可能是( )
4．为了得到函数y ＝2
x －3
－1的图象，只需把函数y ＝2x
的图象上全部的点( )
A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
A 解析：y ＝2x ―――――――――――――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3
―――――――――――――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1.
5．图2­7­4中阴影部分的面积S 是关于h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )
图2­7­4
B 解析：由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 渐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.
6．函数f (x )的图象是两条直线的一部分(如图2­7­5所示)，其定义域为[－1,0)∪(0,1]，则不等式f (x )－f (－x )＞－1的解集是( )
图2­7­5
A ．{x |－1≤x ≤1且x ≠0}
B ．{x |－1≤x ＜0}
C ．{x |－1≤x ＜0或1
2＜x ≤1}
D ．{x |－1≤x ＜－1
2或0＜x ≤1}
D 解析：
7．(2024·太原模拟(二))函数f (x )＝ln|x |
x
的图象大致为( )
A 解析：当0＜x ＜1时，x ＞0，ln|x |＜0，则f (x )＜0，解除
B ，D ；当x ＞1时，x ＞0，ln|x |＞0，f (x )＞0，解除
C ，故选A.
8.(2024·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin x
x
2的部分图象大致为( )
9.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)
C 解析：将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉肯定值得f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥0，
－x 2
－2x ，x <0，画出函数f (x )
的图象，如图，视察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
10. 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式＜0的解集为
( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
D 解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式
f x －f －x x ＜0可化为f x
x
＜0，即
xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
11．(2024·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x
1－cos x
的部分图象大致为( )
12．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2x －1，x ≥0，
x 2
－2x －1，x ＜0，则对随意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|，下列不
等式成立的是( )
A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0
B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0
C ．f (x 1)－f (x 2)＞0
D ．f (x 1)－f (x 2)＜0 D 解析：函数f (x )的图象如图所示：
二、填空题
13．已知函数f (x )的图象如图2­7­6所示，则函数g (x )＝log
2
f (x )的定义域是________．
图2­7­6
(2,8]
解析：当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2
f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满意f (x )＞0
时，x ∈(2,8]．
14.如图2­7­7，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．
图2­7­7
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，－1≤x ≤0，1
4
x －22－1，x ＞0
解析：当－1≤x ≤0时， 设解析式为y ＝kx ＋b ，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＝1，b ＝1，
∴y ＝x ＋1.
当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2
－1.
∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，
得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1. 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0.
15．函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝
若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围是________.
(－∞，1)
解析：当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，
当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.当1＜x ≤2时，－1＜x －2≤0， f (x )＝f (x －1)＝f (x －2)＝2－(x －2)－1.
故x ＞0时，f (x )是周期函数，如图，
要使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，则a 的取值范围是(－∞，1)．
16.当0＜x ≤12
时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是_______ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，1
三、解答题（每题10分，共20分）
17．已知函数f (x )＝2x
，x ∈R .
(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？
(2)若不等式f 2
(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．
[解] (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．
由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解．
(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2
＋t ， 因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14
在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0. 因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围是(－∞，0]．
18．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x
＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)若g (x )＝f (x )＋a
x
，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．
(2)由题意g (x )＝x ＋
a ＋1x ， 且g (x )＝x ＋a ＋1x
≥6，x ∈(0,2]．
∵x ∈(0,2]，
∴a ＋1≥x (6－x )，
即a ≥－x 2
＋6x －1.
令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]， q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，
∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7，
故a的取值范围为[7，＋∞)．。