(好题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(有答案解析)(3)

一、选择题
1．已知1a e =，ln3
3b =，ln 44
c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．b c a <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
2．已知函数()2
ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0x >，有()()1f x f ≥， 则（ ） A ．ln 2a b <-
B ．ln 2a b >-
C ．ln 2a b =-
D ．ln 2a b ≥-
3．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的体积为2，则a 的最小值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．332
4．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f << B ．()()()623428f f f << C ．()()()346229f f f <<
D ．()()()286234f f f <<
5．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知函数()()()()2
21ln 10,,2
a f x a x x a a x
b x a b =-+
+--+>∈∈R R .若函数()f x 有三个零点，则（ ）
A ．1a >，0b <
B ．01a <<，0b >
C ．0a <，0b >
D ．01a <<，0b <
7．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A ．()f x 有极大值()2f -
B ．()f x 有极小值()2f -
C ．()f x 有极大值()1f
D ．()f x 有极小值()1f
8．设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，记()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''.若函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，则在区间(,)a b 上有()0f x ''<恒成
立.已知2
()(2)(1)
e x kx
f x e e e +=
-++在(0,3)上为“凸函数”，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞
B ．(,)e -∞
C ．(1,)+∞
D ．(,)e +∞
9．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ） A ．
12
B ．
13
26
-
C ．
13
26
+ D ．
23
10．已知函数()13
log x
f x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()0
3f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )
A ．p 是假命题
B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <
C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠
D ．q ⌝是真命题
11．对任意0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（ ） A ．234f ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＞ B ．()2cos113f f π⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
＞ C ．()214f f π⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
＜ D ．646f f ππ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＜ 12．已知函数()ln f x ax x =-，若()0f x ≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围
是（ ）
A ．(0,)+∞
B ．1[,)e
+∞
C ．[1,)+∞
D ．[),e +∞
二、填空题
13．已知函数()()1ln 1x
f x x x
+=
>，若对任意两个不同的1x ，2x ，都有()()1212ln ln f x f x k x x -≤-成立，则实数k 的取值范围是________________
14．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()
x
f x
g x e =的单调递减区间为___________．
15．已知函数()()()x f x e x b b R =-∈．若存在1,22
x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，使得()()0f x xf x '+>，则实数
b 的取值范围是____．
16．已知函数()x f x e alnx =-+2在[]1,4上单调递增，则a 的取值范围是__． 17．函数2()ln f x x ax x =-在2(,2)e
上不单调，则实数a 的取值范围是_____． 18．已知函数()y f x =在R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为()f x '，当0x >时，有不等式()()2
2x f x xf x '>-成立，若对x R ∀∈，不等式
()()2220x x e f e a x f ax ->恒成立，则正整数a 的最大值为_______.
19．已知函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是_____. 20．若函数()ln f x ax x =-在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是________.
三、解答题
21．已知函数2
()ln ()f x a x a x
=
-∈R . （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在21,e ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上有两个零点，求a 的取值范围.
22．已知函数()x
f x e ax a =--.
（1）当1a =时，求过点()0,1-且与曲线()y f x =相切的直线方程; （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 23．已知函数()x
ax f x e =
． （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性； （2）若0a >，函数()()2
12
g x f x x x =+
-只有1个零点，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()()3
sin e ,x
f x mx x x n m n =-++∈R ，e 为自然对数的底数.
（Ⅰ）当0m =且1n =时，证明：()0f x >；
（Ⅱ）当0n =时，函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，求实数m 的取值范围.
25．已知函数())ln f x a x a =∈R ． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在[1,4]上的最小值．
26．已知函数()(0)x ax
f x a e
=
≠． （1）当1a =时，求函数()y f x =在[0,2]上的最大值和最小值；
（2）求函数()f x 的单调区间．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 构造函数()ln x
f x x
=
，利用导数分析函数()f x 在区间[),e +∞上的单调性，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.
【详解】 构造函数()ln x f x x =
，则()2
1ln x
f x x -'=， 当x e ≥时，()0f x '≤，所以，函数()f x 在区间[),e +∞上为减函数，
34e <<，则()()()34>>f e f f ，即a b c >>.
故选：B. 【点睛】
思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
2．A
解析：A 【分析】
根据()()1f x f ≥，可得x =1是()f x 的极小值点，即()01f '=，可得a ，b 的关系，对
ln a 与2b -的作差，可得ln (2)ln 24a b a a --=+-，构造
()ln 42,(0)g x x x x =-+>，即可求得()g x 的极大值1
()1ln 404
g =-<，化简整理，即
可得答案. 【详解】
由题意得1()2f x ax b x
'=+-
， 因为()()1f x f ≥，所以()f x 在x =1处取得最小值，即为x =1是()f x 的极小值点， 所以(1)210f a b '=+-=，即12b a =-， 所以ln (2)ln 2ln 24a b a b a a --=+=+-， 令()ln 42,(0)g x x x x =-+>，则114()4x g x x x
-'=-=， 令()0g x '=，解得1
4
x =
， 当1
(0,)4x ∈时，()0g x '>，所以()g x 为增函数，
当1
(,)4
x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 为减函数，
所以11
()()ln 121ln 4044
g x g ≤=-+=-<，
所以()ln 42ln (2)0g a a a a b =-+=--<，即ln 2a b <-.
故选：A 【点睛】
解题的关键是熟练掌握利用导函数求解函数极值，判断单调性的方法，并灵活应用，比较两式大小，常用作差法或作商法，难点在于构造()g x 并求极大值，属中档题.
3．C
解析：C 【分析】
设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值即可. 【详解】
设截去的小正方形边长为x ，则方盒高为x ，底边长为2a x -，所以
()22,0,2a V a x x x ⎛⎫
=-⋅∈ ⎪⎝⎭
，则()224(2)(2)(6)V a x x a x x a x a '=-+-=--，
令0V '=，得2a x =
（舍） 或6a x =，当06a
x <<时，0V '>，单调递增；当62
a a x <<时，0V '<，单调递减；由题意，则2
3max 2263627a a a a V V a ⎛⎫⎛
⎫==-⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则3a ≥，
故a 的最小值为3. 故选：C. 【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
4．B
解析：B 【分析】 构造函数()()
ln f x g x x
=
，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论. 【详解】
令()()ln f x g x x
=，则()()()()2
ln ln xf x x f x g x x x '-'=． 当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>， 所以函数()()
ln f x g x x
=
在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即
()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()
248ln 22ln 23ln 2
f f f <<
. 化简得，()()()623428f f f <<， 故选：B.
5．A
解析：A 【分析】
分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫
' ⎪⎝⎭
、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】
函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，
()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，
()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除
B 、
C 选项；
22f ππ⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭
，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.
对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭
，()0f π'
<与题图不符，D 选项错误， 故选：A. 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．B
解析：B 【分析】
首先求出函数的导函数，要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即可求出参数a 的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到()10f a ->，即可判断
b 的范围； 【详解】
解：因为()()()()2
21ln 10,,2
a f x a x x a a x
b x a b =-++--+>∈∈R R 所以
()
()()()()
()()222
111111ax a a x a a ax x a f x ax a
a x
x
x
+--+---+-'=++
--=
=
要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即11
x a
=
，21x a =-，
所以10
10a a
->⎧⎪
⎨>⎪⎩解得01a <<，此时111x a =>，211x a =-<，
令()0f x '>，解得01x a <<-或1x a >，即函数在()0,1a -和1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，令()0f x '<，解得11a x a -<<
或1x a >，即函数在11,a a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递减，
所以()f x 在1x a =-处取得极大值，在1
x a
=
处取得极小值； 因为当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，要使函数函数()f x 有三个零点，则()10f a ->，10f a ⎛⎫<
⎪⎝⎭
即()()()()()()2
211ln 11112
a f a a a a a a a
b -=--+
-+---+ ()()()()211ln 10
2a a a a b -+⎡⎤=--++>⎢⎥
⎣⎦
且()()2
211111ln 102a f a a a b a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++--+< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 因为01a <<，所以011a <-<，20a -<，所以()()2102
a a -+<，()ln 10a -<，
所以()()()()211ln 10
2
a a a a -+⎡⎤--+
<⎢⎥
⎣
⎦
，
又()()()()211ln 10
2
a a a a
b -+⎡⎤--+
+>⎢⎥⎣
⎦
，所以0b >
故选：B 【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
7．A
解析：A 【分析】
由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；
2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求.
【详解】
解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，
∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.
故选：A . 【点睛】
本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.
8．A
解析：A 【分析】
首先根据题中所给的函数解析式，对其求导，再求二阶导，根据题中所给的条件，得到则
有''()0f x <在(0,3)上恒成立，构造函数()x
e e g x x
=，利用导数求得其最小值，得到结果.
【详解】
因为2()(2)(1)e x kx f x e e e +=
-++，所以11(2)'()(2)(1)1e e x
x k e x kx f x e e e e e +++=-=-+++， (1)''()1
e
x e x k e x f x e kx e e +=-=-+，
要使2
()(2)(1)
e x kx
f x e e e +=
-++在(0,3)上为“凸函数”， 则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，即0e x kx e -<，
即x
e e k x
<在(0,3)上恒成立，
令()x e e g x x =，1122()
'()x e x e x e e e
e x e ex e x x e g x x x
--⋅-⋅⋅-==， 所以()g x 在(0,)e 上单调递减，在(,1)e 上单调递增，
所以min ()()1e
e e g x g e e
===，
所以k 的取值范围是(,1)-∞，
故选：A. 【点睛】
思路点睛：该题属于新定义问题，在解题的过程中，注意： （1）细读题文，理解题中所给的信息，明确凸函数的定义；
（2）根据定义，对所给的函数求导，再求二阶导，令二阶导小于零在给定区间上恒成立； （3）构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到所求的结果.
9．C
解析：C 【分析】
采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】
采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；
前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为1
2(1)C p p p -⋅22(1)p p =-
则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<，
设32
23y p p p =-+-，(01)p <<，
则2
661y p p '=-+-6(p p =---
则函数y 在33(0,),(,1)66-+单调递减，在33(,66
-+单调递增，
故函数在36
p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】
本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.
10．D
解析：D 【分析】
分析函数()13
log x
f x e x =-为增函数，若0
1x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】
由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+, 且导函数()1
0ln 3
x
f x e x '+
=>， 则函数单调递增，
结合()1
13
1log 1e f e =-=，
可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.
据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：
p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.
[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠
故选：D 【点睛】
本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.
11．D
解析：D 【分析】
构造函数()()cos g x f x x =，对其求导后利用已知条件得到()g x 的单调性，将选项中的角代入函数()g x 中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项. 【详解】
解：构造函数()()cos g x f x x =，则()()()cos sin g x x f x x f x ='⋅⋅'-， ∵()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜，∴()()()cos sin 0g x x f x x f x =⋅-⋅''＞， 即()g x 在0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
上为增函数，
由43g g ＜ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即cos cos 4433f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，即12423f f ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＜，故A 正确；
()13g g 由＜π⎛⎫
⎪⎝⎭
，即()1cos1cos 33f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，即()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞，故B 正确；
()14g g π⎛⎫
⎪⎝⎭
由＜，即
()cos 1cos144f f ＜ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1cos14f f π⎛⎫
⎪⎝⎭
＜，故C 正确；
由64g g ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＜，即cos cos 6644f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜64f f ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即
64f f ππ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
＜， 故错误的是D ．故选D ．
【点睛】
本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有()f x ，也含有其导数()f x '的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是()()0xf x f x -<'，可构造
()()f x g x x
=
，可得()()()
2
0xf x f x g x x '-=
'<.
12．B
解析：B 【分析】
()ln 0f x ax x =-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，即ln x
a x
≥
对一切(0,)x ∈+∞恒成立，设()ln g x
x x
=
，求出()g x 的导数，进而求出其最大值，得到答案. 【详解】 ()ln 0f x ax x =-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，即ln x
a x
≥
对一切(0,)x ∈+∞恒成立 设()ln g x x x
=
，则()21ln 'x
g x x -=
由()21ln '0x g x x -=
>，则0x e <<，由()2
1ln '0x
g x x
-=<，则x e > 所以()g x 在()0e ，上单调递增，在()+∞e ，
上单调递减. 当x e =时， ()g x 有最大值()1
g e e
= 所以1a e
≥ 故选：B 【点睛】
本题考查恒成立求参数问题，考查分离参数法的应用，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】先对求导判断其单调性不妨设可对原不等式去绝对值得等价于构造函数可得在单调递增分离得由即可求解【详解】当时所以所以在单调递减不妨设则所以等价于即设则所以在单调递增对于恒成立所以可得对于恒成立设
解析：1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】
先对()f x 求导判断其单调性，不妨设121x x <<，可对原不等式去绝对值得
()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+，等价于()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+，构造函数()()ln g x f x k x =+，可得()()ln g x f x k x =+在()1,+∞单调递增，()0g x '≥，分离
得ln x
k x ≥
，由max
ln x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】
()()22
1
1ln ln x x x x f x x x ⋅-+-'==
, 当1x >时，ln 0x >，所以()0f x '<， 所以()1ln x
f x x
+=
在()1,+∞单调递减， 不妨设121x x <<，则()()120f x f x ->，12ln ln 0x x -<，
所以()()1212ln ln f x f x k x x -≤-等价于()()()1221ln ln f x f x k x x -≤-， 即()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+， 设()()ln g x f x k x =+，则()()12g x g x <， 所以()()1ln ln ln x
g x f x k x k x x
+=+=
+在()1,+∞单调递增， ()22
ln ln 0x k kx x
g x x x x --'=
+=≥对于()1,x ∈+∞恒成立， 所以ln 0kx x -≥，可得ln x
k x
≥对于()1,x ∈+∞恒成立， 设()ln x
h x x
=
，只需()max k x h ≥， ()22
1
ln 1ln x x
x x h x x x ⋅--'==
，
当1x e <<时()0h x '>，()ln x
h x x
=单调递增， 当x e >时，()0h x '<，()ln x
h x x
=单调递减， 所以()()max ln 1e h x h e e e
==
=，所以1
k e ≥，
故答案为：1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为
()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求
()g x 的最值即可.
14．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求
解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】
利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()
x f x g x e
=的单调递减区间. 【详解】
由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()
()0,14,+∞，
()()
x f x g x e =，()()()()()
()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.
因此，函数()()
x f x g x e
=
的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】
思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；
（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间； （4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.
15．【详解】解答：∵f(x)=ex(x−b)∴f′(x)=ex(x−b+1)若存在x ∈2使得f(x)+xf′(x)>0则若存在x ∈2使得ex(x−b)+xex(x−b+1)>0即存在x ∈2使得b<成立令
解析：8
3
b <
【详解】 解答： ∵f(x)=e x (x−b)， ∴f′(x)=e x (x−b+1)， 若存在x ∈[
1
2
,2],使得f(x)+xf′(x)>0， 则若存在x ∈[1
2
,2],使得e x (x−b)+xe x (x−b+1)>0， 即存在x ∈[
1
2,2],使得b<221
x x x ++ 成立， 令()221,,212x x g x x x +⎡⎤
=
∈⎢⎥+⎣⎦
，
则()()
22
22
01x x g x x ++'=
>+ ，
g(x)在1,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
递增，
∴g(x)最大值=g(2)=
83
， 则实数b 的取值范围是83
b <
16．【分析】由函数在区间上单调递增即在上恒成立即在上恒成立设利用导数求得的单调性与最小值即可求解【详解】由题意函数则因为函数在区间上单调递增即在上恒成立即在上恒成立设则所以当时所以为单调递增函数所以函数 解析：a e ≤
【分析】
由函数()f x 在区间[]1,4上单调递增，即()0x
a
f x e x
'=-
≥在[]1,4上恒成立，即x a xe ≤在[]1,4上恒成立，设()x
g x xe =，利用导数求得()g x 的单调性与最小值，即可
求解． 【详解】
由题意，函数()2x f x e alnx =-+，则()x
a f x e x '=-
， 因为函数()f x 在区间[]1,4上单调递增，即()0x
a f x e x
'=-≥在[]1,4上恒成立，
即x a xe ≤在[]1,4上恒成立，
设()x
g x xe =，则()(1)x x x
e xe e g x x ='=++，
所以当[]1,4x ∈时，()(1)0x
g x e x '=+≥，所以()g x 为单调递增函数，
所以函数()x
g x xe =的最小值为()1g e =，所以a e ≤．
【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性求参数问题，其中解答中把函数的转化为不等式的恒成立问题，利用导数求得新函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
17．【分析】求得函数的导函数根据在区间上有极值求得的取值范围【详解】令得由于分离常数得构造函数所以在上递减在上递增下证：构造函数当时①而即所以所以由①可得所以当时单调递增由于所以当时故也即由于所以所以的 解析：4
(2,
)ln 21
+ 【分析】
求得函数()f x 的导函数()'
f x ，根据()f x 在区间2
(
,2)e
上有极值，求得a 的取值范围. 【详解】
()()'21ln 2ln f x x a x x a x a =-+=--，令'0f x
得2ln 0x a x a --=，
由于
22
2,ln ln ln 2,ln 2ln 1ln 2x x x e e e
<<<<<+<， 分离常数a 得21ln x
a x
=
+.
构造函数()21ln x h x x =+，()()'22ln 1ln x h x x =+，所以()h x 在2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递减，在()1,2上递增，()()()424444,12,22ln 2ln 2ln 21ln 21ln e
e
h h h e e e e
⎛⎫
======
⎪+⎝⎭+. 下证22e e >：
构造函数()22x
g x x =-，()'
2ln 22x
g x =-，当2x ≥时，
22ln 222ln 22x -≥-①，
而1
ln 2ln 2e =<=<，即1ln 212
<<，所以222ln 24<<，所以由①可得22ln 222ln 220x -≥->.所以当2x ≥时，()g x 单调递增.
由于()20g =，所以当2x >时，()()20g x g >=，故()0g e >，也即
22022e e e e ->⇒>.
由于()22ln 2ln 2e
e
e e >⇒>，所以()22h h e ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
. 所以a 的取值范围是4
(2,)ln 21
+ 故答案为：4
(2,)ln 21
+ 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
18．【分析】令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性得到在R 上恒成立再利用导数分析解答即得解【详解】因为当时有不等式成立所以令所以函数g(x)在（0+∞）上单调递增由题得所以函数g(x)是奇函数所以函数在R 解析：2
【分析】
令2
()(),g x x f x =先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到e x ax >在R 上恒成立，再利用导数分析解答即得解.
【详解】
因为当0x >时，有不等式()()2
2x f x xf x '>-成立，
所以()()2
2
+20,[()]0x f x xf x x f x ''>∴>，
令2
()(),g x x f x =所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增， 由题得22
()()()g(x),g x x f x x f x -=-=-=- 所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R 上单调递增. 因为对x R ∀∈，不等式()()22
2
0x
x
e f e a x f ax ->恒成立，
所以()()222
,()()e x
x
x
x
e f e
a x f ax g e g ax ax >∴>∴>，
，
因为a >0,所以当x≤0时，显然成立.
当x ＞0时，()(0)x
e a h x x x
<=>，
所以2
(1)()x
x e h x x
-'=，所以函数h (x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增. 所以min ()(1)h x h e ==， 所以a ＜e,
所以正整数a 的最大值为2. 故答案为2 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.
19．【分析】根据题意可得只有一个解只有一个解与只有一个交点求导数分析单调性及当时；当时画出函数的草图及可得的取值范围再检验是否符合题意即可得出答案【详解】解：因为函数有且仅有一个极值点所以只有一个解即只 解析：(,0]-∞
【分析】
根据题意可得()210f x lnx ax '=-+=只有一个解1
2lnx a x
+⇒=只有一个解2y a ⇒=与1
()lnx y g x x
+==
只有一个交点，求导数()g x '，分析单调性，及当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，画出函数()g x 的草图，及可得a 的取值范围，
再检验是否符合题意，即可得出答案． 【详解】
解：因为函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点， 所以1()ln ln 210f x x ax x a x ax x ⎛⎫
'=-+-=-+=
⎪⎝⎭
只有一个解，
即ln 1
2x a x
+=
，只有一个解， 即2y a =与ln 1
()x y g x x
+==只有一个交点， 因为2
ln ()x
g x x -'=
， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，
当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 所以max ()(1)1g x g ==，
当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →， 画出函数()g x 的草图如下：
结合图象可得21a =或20a ≤， 解得1
2
a =或0a ≤， 当1
2a =
时，21()ln 2f x x x x =-， 所以()1ln f x x x '=+-，
令()1ln h x x x =+-，
所以1
()1h x x
'=-， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
所以()(1)0h x h ≤=，
所以()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，
所以函数()f x 没有极值点. 所以实数a 的取值范围是(,0]-∞. 故答案为：(,0]-∞ 【点睛】
本题考查利用导数分析极值，解题关键是转化思想的应用，属于中档题．
20．【分析】求出函数的导数问题转化为在区间恒成立求出的范围即可【详解】若函数区间上为减函数则在区间恒成立即因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性函数的单调性的性质属于中档题
解析：(],1-∞
【分析】
求出函数的导数，问题转化为1
0a x
-在区间(0,1)恒成立，求出a 的范围即可． 【详解】
()f x ax lnx =-，(0)x >， 1
()f x a x
∴'=-，
若函数()f x ax lnx =-区间(0,1)上为减函数， 则1
0a x
-
在区间(0,1)恒成立， 即1
()min a x ，
因为(0,1)x ∈， 所以min
11x ⎛⎫
>
⎪⎝⎭， 所以1a ≤.
故答案为：(-∞，1]． 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题．
三、解答题
21．（1）单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2,)+∞；（2）(
)
2
2,e e --. 【分析】
（1）求出导函数()'
f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；
（2）首先说明0a =无零点，0a ≠时，()0f x =变形为
1ln 2x x a =.引入ln ()2
x x g x =，利用导数研究的单调性与极值，结合方程有两个解可得参数范围．
【详解】
解：（1）当1a =-时，2
()ln f x x x
=
+，则22212()(0)x f x x x x x -'=-+=>.
令()0f x '，得2x ，所以函数()f x 在[2,)+∞上单调递增； 令()0f x '<，得02x <<，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减. 故当1a =-时，()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2,)+∞. （2）当0a =时，2
()f x x
=没有零点，则0a =不符合题意. 当0a ≠时，令2()ln 0f x a x x =-=，得1ln 2
x x a =. 设ln ()2x x g x =
，则ln 1
()2
x g x +'=
. 由()0g x '>，得1
x e >；由()0g x '<，得211x e e
<<. 则()g x 在2
11,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故min 11()2g x g e e
⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
. 因为2211g e e ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，所以2
1112e a e -<<-， 解得22e a e -<<-.故a 的取值范围为(
)
2
2,e e --. 【点睛】
思路点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究函数零点个数问题．解题思路是函数零点个数转化为方程的解的个数，再转化为直线与函数图象交点个数，利用导数研究函数的单调性与极值等性质后可得结论，关键是转化． 22．（1）()110e x y ---=；（2）01a ≤≤. 【分析】
（1）设切点坐标，求出导数及切线方程，把()0,1-代入切线方程可得0x ，然后再求出切线方程；
（2）求出导函数，对a 进行讨论并判断函数的单调性，利用函数的最小值可得答案. 【详解】
（1）当1a =时，点()0,1-不在函数图象上，()1x
f x e '=-，
设切点为(
)
000, x
x e ax a --，
则切线方程为()
()()0000x
y e ax a f x x x '---=-，
因为过点()0,1-，所以0000()111x x
e x e x --++=--，
解得01x =，因此所求的直线方程为()110e x y ---=.
（2）()x
f x e a '=-， 当0a ≤时，()'0f x >，
所以在R 上单调递增，
其中0a =，()0x
f x e =>，符合题意， 当0a <时，取110a x a
-=<，()1110x f x e =-<，不符合题意； 当0a >时，()()n 0,,l x a f x '∈-∞<，
所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，
()()ln ,,0x a f x '∈+∞>，
所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，
所以()()ln f x f a ≥，
要使()0f x ≥，只需()ln 0f a ≥，()ln ln ln 0a f a e a a a =--≥，
解得01a <≤；
综上所述，01a ≤≤.
【点睛】
本题考查求函数过一点的切线方程和求参数问题，对于求切线的问题时需要讨论此点是否是切点；对于求参数问题，有时可采用对原函数进行求导讨论其单调性和最值方法求解，也可以采用对参数实行分离的方法，构造新函数并求新函数的值域可得解.
23．（1）当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增；在区间1,
上单调递减；（2）当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭． 【分析】
（1）先对函数求导，然后分别由0f x 和0f x 可求出函数的增区间和减区间； （2）由0g x ，得1x =，或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论，当ln 1a =可得()g x 只有1个零点，当ln 1a <时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，当ln 1a >时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，从而可求出实数a 的取值范围
【详解】
解：（1）当1a =时，()x x f x e =
，定义域为R ， 所以()1x x f x e
-'=．
当1x <时，0f x ，函数()f x 单调递增； 当1x >时，0f x ，函数()f x 单调递减．
综上所述，当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增；
在区间1,上单调递减．
（2）因为0a >，函数()212
x ax g x e x x =+-， 所以()()()111x x x a x e a g x x x e e -⎛⎫-'=+-=- ⎪⎝⎭
． 当0g x 时，得1x =，或ln x a =．
①若ln 1a =，即a e =，则0g x 恒成立，函数()g x 在R 上单调递增，
因为()00g =，所以函数()g x 只有1个零点．
②若ln 1a <，即0a e <<，
当ln x a <时，0g x ，函数()g x 单调递增；
当ln 1a x <<时，0g x
，函数()g x 单调递减； 当1x >时，0g x ，函数()g x 单调递增．
（Ⅰ）当ln 0a <，即01a <<时，()()()ln 001g a g g >=>，
又因为()2
220a g e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．
（Ⅱ）当ln 0a =，即1a =时，()()()ln 001g a g g ==>，
又因为()2220g e
=>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．
（Ⅲ）当ln 0a >，即1a e <<时，()()()ln 001g a g g >=>，
若函数()g x 只有1个零点，需()1102
a e g =->， 解得
2
e a e <<． ③若ln 1a >，即a e >， 当1x <时，0g x ，函数()g x 单调递增；
当1ln x a <<时，0g x ，函数()g x 单调递减；
当ln x a >时，0g x
，函数()g x 单调递增．
所以()()100g g >=，()21ln ln 02
g a a => 所以函数()g x 在R 上只有1个零点．
综上所述，当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭． 【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间和求函数的零点，第二问解题的关键是由0g x 求得1x =或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种
情况讨论函数的单调性，从而由零点的情况求出参数的取值范围，属于中档题 24．（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）1
,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.
【分析】
（Ⅰ）先构造函数()e 1x
h x x =--，利用导数证明e 1x x -≥恒成立，再结合sin 1x ≥-，且两不等式取等号条件不一样，两不等式相加即证结论；
（Ⅱ）依题意即()2
31cos 0f x mx x '=-+≥在区间[)0,+∞上恒成立，再分0m ≤，106m <<，16
m ≥三种情况进行讨论，利用导数研究单调性和值的分布说明前两种情况不符合题意，最后一种情况符合题意即可.
【详解】 解：（Ⅰ）当0m =且1n =时，函数()e sin x
f x x x =-+，定义域为R ， 令()e 1x h x x =--，则()e 10x
h x '=-=，得0x =， 故0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 故()()0
e 1e 010x h x x h x =--≥=--=恒成立，0x =时等号成立. 所以e 1x x -≥恒成立，0x =时取等号，而sin 1x ≥-恒成立，当2,2x k k Z ππ=-
+∈时取等号，故()e sin 110x f x x x =-+≥-=，但由于取等号条件不一致，故等号取不到，
所以()e sin 0x
f x x x =-+>； （Ⅱ）当0n =时，函数()3
sin f x mx x x =-+，在区间[)0,+∞上单调递增， 则()2
31cos 0f x mx x '=-+≥在区间[)0,+∞上恒成立. 令()2
()31cos g x f x mx x '==-+，0x ≥，则()6sin g x mx x '=-. ①当0m ≤时，22()31cos 310g m m ππππ=-+=-<，即()0f
π'<，不符合题意； ②当106
m <<时，()6sin g x mx x '=-，则()6cos g x m x ''=-，
因为061m <<，当02x π<<
时，0cos 1x <<，cos y x =单调递减， 所以存在002x π
<<，使得00()6cos 0g x m x ''=-=，
当()00,x x ∈时，0()0g x ''<，()'g x 单调递减， 当0,2x x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，0()0g x ''>，()'g x 单调递增，而(0)60sin 00g m '=⨯-=， 故()00,x x ∈时()0g x '<恒成立，即()g x 单调递减，又(0)01cos00g =-+=， 故()0<g x ，即()0f x '<，不符合题意；
③当16
m ≥
时，()6sin g x mx x '=-，则()6cos g x m x ''=-， 因为61m ≥，cos 1≤x ，所以()6cos 0g x m x ''=-≥， 即()'g x 在区间[)0,+∞上是单调递增函数，而(0)0g '=，故()0g x '≥恒成立， 所以()g x 在区间[)0,+∞上是单调递增函数，而(0)0g =，故()0g x ≥恒成立， 即()0f x '≥恒成立，符合题意.
综上，实数m 的取值范围为1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
方法点睛：
已知函数()y f x =单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成恒成立问题： （1）函数()y f x =在区间I 上单调递增，则()0f x '≥在区间I 上恒成立；
（2）函数()y f x =在区间I 上单调递减，则()0f x '≤在区间I 上恒成立.
25．（1）单调递增区间为(4,)+∞；单调递减区间为(0,4)；（2）
min 2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩
. 【分析】 （1）当1a =-
时，()f x '=
，进而得4x >时，()0f x '>， 04x <<时，()0f x '<，进而得函数的单调区间；
（2
）2()2a f x x
+'=
，故分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论即可得答案. 【详解】
解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，
当1a =-
时，12()2f x x x
-'=-= 当4x >时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为(4,)+∞；
当04x <<时，()0f x '<，则()f x 的单调递减区间为(0,4).
（2
）2()2a a f x x x
'== 当1a ≤-时，()0,()f x f x '≤在[1,4]上单调递减，
此时，()min (4)2ln 22f x f a ==+ 当12
a ≥-时，()0,()f x f x '≥在[1,4]上单调递增， 此时，()min (1)1f x f == 当112
a -<<-时，若214x a <<，则()0,()f x f x '<单调递减； 若244a x <<，则()0,()f x f x '>单调递增
此时，()(
)
22min ()4ln 42ln(2)2f x f a a a a a a ==+=--． 综上所述：min 2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的最小值问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，其中第二
问解题的关键在于求导得2()2a f x x '=
，进而分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论求解，是中档题.
26．（1）最大值为
1e ，最小值分别为0；（2）答案见解析. 【分析】
（1）当1a =时，()x x f x e =
，对其求导，利用导函数得符号判断()y f x =在[0,2]上的单调性，即可求得最值；
（2）对()f x 求导可得()1()x a x f x e
-'=，讨论0a >和0a <，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<，可得单调递减区间.
【详解】
（1）当1a =时，()x x f x e =，所以21()x x x x e xe x f x e e
--'==． 令()0f x '=，得1x =．
当01x ≤<时，()0f x '>；
当12x <≤时，()0f x '<．
所以()y f x =在()0,1单调递增，在()1,2单调递减，
所以当1x =时，()f x 取最大值1(1)f e =
． 又因为(0)0f =，22(2)f e =，所以函数()x x f x e =的最大值和最小值分别为1e ，0． （2）因为()1()x
a x f x e -'=． 当0a >时，由()0f x '>，得1x <；由()0f x '<，得1x >， 此时函数()x x f x e
=
的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得1x <． 此时函数()x x f x e
=
的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞ 综上所述： 当0a >时，函数()x x f x e
=
的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，函数()x x f x e
=的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞． 【点睛】 方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：
（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.。