2019版高考数学理高分计划一轮狂刷练：第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10-7a 含解析 精品

[重点保分 两级优选练]
A 级
一、选择题
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )
A ．0 B.12 C.13 D.2
3 答案 C
解析 P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝1
3.故选C.
2．若某一随机变量X 的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n
2的值为( )
A ．－0.2
B ．0.2
C ．0.1
D ．－0.1 答案 B
解析 由m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，可得m ＝n ＝0.4，m －n
2＝0.2.故选B.
3．袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( )
A ．1,2，…，6
B ．1,2，…，7
C ．1,2，…，11
D ．1,2,3，…
答案 B
解析 除白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．故选B.
4．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：
则q 等于( )
A ．1
B ．1±22
C ．1－22
D ．1＋2
2 答案 C
解析 由分布列的性质得
⎩⎪⎨⎪⎧
0≤1－2q <1，
0≤q 2<1，0.5＋(1－2q )＋q 2＝1
⇒⎩⎨⎧
0<q ≤12，
q ＝1±2
2，
∴q ＝1－2
2，故选C.
5．已知某一随机变量X 的概率分布如下，且E (X )＝6.9，则
a 的值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 答案 B
解析 因为在分布列中，各变量的概率之和为1，所以m ＝1－(0.2＋0.5)＝0.3，由数学期望的计算公式，可得4×0.3＋a ×0.2＋9×0.5＝6.9，a ＝6，故选B.
6．已知离散型随机变量X 的分布列为
则P (X ∈Z )＝( )
A ．0.9
B ．0.8
C ．0.7
D ．0.6 答案 A
解析 由分布列性质得0.5＋1－2q ＋1
3q ＝1，解得q ＝0.3， ∴P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.
7．(2017·泰安模拟)若P (X ≤x 2)＝1－β，P (X ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤X ≤x 2)等于( )
A ．(1－α)(1－β)
B ．1－(α＋β)
C ．1－α(1－β)
D ．1－β(1－α)
答案 B
解析 显然P (X ＞x 2)＝β，P (X <x 1)＝α.由概率分布列的性质可知P (x 1≤X ≤x 2)＝1－P (X >x 2)－P (X <x 1)＝1－α－β.故选B.
8．(2018·潍坊模拟)若随机变量X 的分布列为
则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2) 答案 C
解析 由随机变量X 的分布列，知P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．故选C.
9．(2017·烟台模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，
下列概率等于(n －m )A 2m
A 3n
的是( )
A ．P (ξ＝3)
B ．P (ξ≥2)
C ．P (ξ≤3)
D ．P (ξ＝2) 答案 D
解析 依题意知，(n －m )A 2m
A 3n
是取了3次，所以取出白球应为2个．故选D.
10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E (η)＝1，则a 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．1.5
D ．3 答案 A
解析 由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,4，则ξ的分布列为
∴E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝3
2，∵η＝aξ－2，E (η)＝1，∴aE (ξ)－2＝1，∴3
2a －2＝1，解得a ＝2.故选A.
二、填空题
11．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________.
答案 10
解析 由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n .
∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3
n ＝0.3，∴n ＝10. 12．(2018·临汾联考)口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任
意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________．
答案
解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35
＝1
10，
P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35
＝3
5.
∴随机变量X 的分布列为
13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝________.
答案 3
10
解析 ξ可能取的值为0,1,2,3，
P (ξ＝0)＝C 23C 24
C 24C 26
＝15，
P (ξ＝1)＝C 13C 24＋C 23C 12C 14
C 24C 2
6＝715，
又P (ξ＝3)＝C 13
C 24C 26
＝130，
∴P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝1－15－715－130＝3
10. 14．如图所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________.
答案 45
解析 解法一：由已知，ξ的取值为7,8,9,10，
∵P (ξ＝7)＝C 22C 1
2C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 12C 22
C 3
5＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11
C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 1
1C 35
＝110，
∴ξ的概率分布列为
∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10) ＝310＋25＋110＝4
5.
解法二：P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝4
5.
B 级
三、解答题
15．(2018·太原模拟)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示．
(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得的代金券总和X (单位：元)的分布列与数学期望．
解 (1)由题意可知
⎩
⎪⎨⎪⎧
2b ＝a ＋0.015，
(0.01＋0.015×2＋b ＋a )×10＝1， 解得a ＝0.035，b ＝0.025.
(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，易知其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．
从该10人中抽取3人，此3人所获得的代金券的总和为X (单位：元)，
则X 的所有可能取值为150,200,250,300.
P (X ＝150)＝C 36C 310＝16，P (X ＝200)＝C 26C 1
4
C 310＝12，
P (X ＝250)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝300)＝C 34
C 310
＝130.
X 的分布列为
E (X )＝150×16＋200×12＋250×310＋300×1
30＝210.
16．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1
2，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．
解 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)
＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝416×116＋116×12＝364.
(2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝1－416－116＝11
16，
P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝1
4. 所以X 的分布列为
E (X )＝400×1116＋500×116＋800×1
4＝506.25.
17．(2018·广州测试)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)
(2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：
①若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程(系数精确到0.01)；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程y ＝b ^x ＋a ^，
其中b ^＝∑n
i ＝1
(x i －x )(y i －y )∑n
i ＝1
(x i －x )2
，a ^＝y －－b ^x .
解 (1)依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为742×24＝4名，
18名男同学中应抽取的人数为7
42×18＝3名，
故不同的样本的个数为C 424C 3
18.
(2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名， ∴ξ的取值为0,1,2,3.
∴P (ξ＝0)＝C 34C 37＝435，P (ξ＝1)＝C 24C 1
3C 37＝18
35，
P (ξ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝3)＝C 33
C 3
7
＝135.
∴ξ的分布列为
∴E (ξ)＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝9
7.
②∵b ^＝526812≈0.65，a ^＝y －b ^
x ＝83－0.65×76＝33.60. ∴线性回归方程为y ＝0.65x ＋33.60.
当x ＝96时，y ＝0.65×96＋33.60＝96. 可预测该同学的物理成绩为96分．
18．(2018·豫北十校联考)某高中在招高一新生时，有统一考试招生和自主招生两种方式．参加自主招生的同学必须依次进行“语文”“数学”“科学”三科的考试，若语文达到优秀，则得1分，若数学达到优秀，则得2分，若科学达到优秀，则得3分，若各科未达到优秀，则不得分．已知小明三科考试都达到优秀的概率为1
24，至少一科考试优秀的概率为34，数学考试达到优秀的概率为1
3，语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率，且小明各科达到优秀与否相互独立．
(1)求小明语文考试达到优秀的概率； (2)求小明三科考试所得总分的分布列和期望．
解 (1)依题意，设小明语文考试达到优秀的概率为p 1，科学考试达到优秀的概率为p 2，且p 1>p 2，
故⎩⎪⎨⎪⎧
13p 1p 2＝124，
1－(1－p 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13(1－p 2)＝3
4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
p 1＝12，
p 2＝1
4，
则小明语文考试达到优秀的概率为12.
(2)记小明三科的总得分为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6. P (X ＝0)＝12×23×34＝1
4， P (X ＝1)＝12×23×34＝1
4，
P (X ＝2)＝12×13×34＝1
8，
P (X ＝3)＝12×23×14＋12×13×34＝5
24， P (X ＝4)＝12×23×14＝1
12， P (X ＝5)＝12×13×14＝1
24， P (X ＝6)＝12×13×14＝1
24. 则X 的分布列为
E (X )＝0×14＋1×14＋2×18＋3×524＋4×112＋5×124＋6×124＝23
12.。