高三数学月考试题及答案-汕头市第四中学2013届高三第五次月考(理)

汕头市第四中学2013届高三第五次月考数学（理）试题
本试卷满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.
2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.
5、不可以使用计算器.
参考公式：回归直线ˆy
bx a =+，其中1
1
2
2
21
1
()()
,()n
n
i
i i i
i i n
n
i
i
i i x
x y y x y
nx y b a y bx x
x x
nx
====---==
=---∑∑∑∑.
锥体的体积公式：1
3
V Sh =
,其中S 表示底面积，h 表示高． 乘法公式：2
2
3
3
()()a b a ab b a b +-+=+．
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i )对应的点位于
A ．第一象限
B ． 第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B A
A ．}0{
B ．}4,0{
C ．}4,2{
D ．}4,2,0{ 3．已知函数()20
30
x x x f
x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9 B ．
19 C ．9- D ．1
9
- 4.设向量=a ()
21x ,-，=b ()
14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移
6
π
单位后与函数x y 2sin =的图象重合，
则)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)3
2cos(π
-x B ．()f x =)6
2cos(π
-x C ．()
f
x =)6
2cos(π
+
x D ．()f x =)3
2cos(π
+
x
6．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，
·则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是
A ．3
B ．
C ．6
D ．8
7．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡
⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22
221x y a b +=表示焦点在x 轴
上且离心率小于
2
的椭圆的概率为 A ．
12 B ．1532
C ．1732
D ．31
32 8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()
2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是
A ．17,⎡⎤-⎣⎦
B ．(
3,⎤
-∞⎦ C ．(
7,⎤-∞⎦
D ．()
17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为 .
10.若2
9
1()ax x
-的展开式的常数项为84，则a 的值为 . 11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 .
12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=
图3
是 _ . 13.
图2是一个算法的流程图，则输出
S
的值
是 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）
如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =， 则PC 的长是 15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 已知圆C 的参数方程为2x y cos ,
sin ,
θθ⎧=⎨
=+⎩(θ为参数), 以原点为极
点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本大题满分12分）
已知函数(cos 2,1),(1,cos(2)),() 1.3
a x
b x f x a b π
=-=-
=⋅+设
图4
M N
B
C
D
A
P
（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；
（2）设x 为三角形的内角，且函数k x f y +=)(2恰有两个零点，求实数k 的取值范围． 17．（本大题满分12分）
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下
（1）在5次试验中任取2次，记加工时间分别为a 、b ，求事件a 、b 均小于80分钟的
概率；
（2）请根据第二次、第三次、第四次试验的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+ （3）根据（2）得到的线性回归方程预测加工70个零件所需要的时间，
18.（本小题满分14分）
某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：
为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？
（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学
的概率； （3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学
生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列和数学期望。

19. （本小题满分14分）
如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，⊥PA 面ABCD ， 点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；
（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.
20.（本小题满分14分）
如图, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线P 交于A B
,两点，OB OA ⊥，=+，OC 与AB 交于点M . (1) 求点M 的轨迹方程；
(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.
21.（本小题满分14分）
在数1和2之间插入n 个实数,使得这2n +个数构成递增的等比
数列,将这2n +个数的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N *
.
(1)求数列{}
n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅+
+⋅.
数学（理科）试题解析
4. A
分析：当//a b 时，有24(1)(1)0x x ?-+=，解得3x =±；
所以3//x a b =⇒，但//3a b x =¿，故“3x =”是“//a b ”的充分不必要条件 5. B
分析：逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移
6
π
个单位即得()y f x =的图象，
即
()sin 2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366
f x x x x x x ππππππ
=+=+=-+=-+=-
6. C
分析：三棱锥如图所示，3PM =，1
42PDC S ∆=⨯=， 1
2332
PBC PAD S S ∆∆==
⨯⨯=，1
4362
PAB S ∆=⨯⨯=
7. B
分析：方程
22
22
1
x y
a b
+=表示焦点在x轴且离心率小
于的椭圆时，
有22
a b
c
e
a
⎧>
⎪
⎨
==<
⎪
⎩
，
即
22
22
4
a b
a b
⎧>
⎨
<
⎩
，化简得
2
a b
a b
>
⎧
⎨
<
⎩
，又[1,5]
a∈，[2,4]
b∈，
画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，
求得阴影部分的面积为
15
4
，故
15
2432
S
P==
⨯
阴影
8. C
分析：由题意得()()(1
x a x x a x
-?--，故不等式()2
x a x a
-?…化为()(1)2
x a x a
--+
…，
化简得2(1)220
x a x a
-+++…，
故原题等价于2(1)220
x a x a
-+++…在(2,)
+∞上恒成立，
由二次函数2
()(1)22
f x x a x a
=-+++图象，其对称轴为
1
2
a
x
+
=，讨论得
1
2
2
(2)0
a
f
+
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
…
…
或
1
2
2
1
()0
2
a
a
f
+
⎧
>
⎪⎪
⎨
+
⎪
⎪⎩
…
，解得3
a…或37
a
<…，
综上可得7
a…
二、填空题
9.28
分析：方法一、（基本量法）由
345
12
a a a
++=得
111
23412
a d a d a d
+++++=，即1
3912
a d
+=，
化简得
1
34
a d
+=，故
711
76
77(3)7328
2
S a d a d
´
=+=+=?
10.1
分析：299183991C ()(1)C r
r
r r r r
r ax a x x
---骣琪-=-琪
桫，令6r =，得其常数项为6369
(1)C 84a -=， 即38484a =，解得1a =
11.e -
分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1
(ln )ln ln 1y x x x x
x x
''==+=+得0ln 1k x =+， 故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，
与2y x m =+比较得00ln 12
x x m +=⎧⎨-=⎩
，解得0e x =，故e m =-
12. 4
分析：圆方程2
2
24150x y x
y +++-=化为标准22(1)(
2)20x y +++
=，其圆心坐标(1,2)--，
半径r =20x y -=
的距离d =
=
，由右图 所示，圆上到直线20x y -=413.3018 分析：由题意
11cos
11
2a π
=⨯+=，
222cos
112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=，444cos 15
2
a π
=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos 152a π=⨯+=-，
503(1592009)503(59132013)
=-+++
+++++
+50315032013
=-++
777cos
112a π=⨯+=，888cos 192
a π=⨯+=， …
20091a =， 20102009a =-， 20111a =，
20122013a =；
以上共503行， 输出的12
2012S a a a =+++
3018=
分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以
P 是弦CD 中点，
由相交弦定理知2PA PB PC =
， 即28PC =，故PC =15. 分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(
2)1x y +-=
，
直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，
如右图所示，圆心到直线的距离
d ==
， 故圆C 截直线l 所得的弦长为=
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）
(1)解：1()+1cos 2cos(2)1cos 2213
2f x x x x x π
=⋅=--+=
-+a b 2分 cos(2)13
x π
=++
3分 ∴最小正周期为π 4分
由2223
k x k π
πππ+
+≤≤，得6
3
k x k π
π
ππ-
+
≤≤ (k ∈Z )
∴函数f (x )的单调递减区间是()6
3
k k π
π
ππ-+
， (k ∈Z )
6分
(2)解：2()2cos(2)23
y f x k x k π
=+=+++
因为x 是三角形的内角，所以
723
3
3
x π
π
π
<+
<
8分
由2cos(2)203x k π
+
++=得：2cos(2)1322
k k
x π
++
=-
=-- ①
函数y = 2f (x ) + k 恰有两个零点，即①在(0，π)有两个根
∴11122k -<--<或11122
k
<--<
10分 即－3 < k < 0或－4 < k <－3
∴实数k 的取值范围是{ k |－3 < k < 0或－4 < k <－3}． 12分
17．(1)解：a 、b 构成的基本事件(a ，b )有(62，67)，(62，65)，(62，80)，(62，89)，(67，
75)，(67，80)，(67，89)，(75，80)，(75，89)共有10个 2分 其中“a 、b 均小于80分钟”的有(62，67)，(62，75)，(67，75)共3个 3分
∴事件“a 、b 均小于80分钟”的概率为3
10
4分
(2)解：1
(203040)303
x =
++= 5分 1
(677580)743
y =
++= 6分 222
(2030)(6774)(3030)(7574)(4030)(8074)1320(2030)(3030)(4030)b -⨯-+-⨯-+-⨯-==-+-+-
8分 13
743054.520
a =-⨯=
9分 ∴y 关于x 的线性回归方程为13
54.520
y =+
10
分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）
（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为
501
1002
=. ∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分 （2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所
中学”为事件M ，
从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C 2
50=1225种，… 5分 这两名学生来自同一所中学的取法共有C 215+C 220+C 210+C 2
5=
350. …………… 6分 ∴()3501225P M =
=2
7
. 答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学
的概率为
2
7
. …………… 7分 (3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别
为15,10.
依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， …………… 8分
…………… 11分 ∴ξ的分布列为：
…… 12分
5
6
20722116090=⨯+⨯+⨯
=∴ξE …… 14分
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象
概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）
（1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,，
∵点N 是PB 的中点, ∴1
2
EN AB EN AB //,=
. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，
M
N
D
C
B
A
P
N
P
∴1
2
DM AB DM AB //,=
. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.
∴MN DE //. …………… 3分
∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分 证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ， ∵点M 是CD 的中点， ∴1
2
DM AB DM AB //,=
, …………… 1分 ∴点M 是BE 的中点. …………… 2分
∵点N 是PB 的中点,
∴MN PE //. …………… 3分 ∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，
∴MN //面PAD . …………… 4分 证法3： 取AB 的中点E ，连接NE ME ,， ∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,
∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，
∴ME //面PAD . …………… 1分 ∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，
∴NE //面PAD . …………… 2分 ∵ME
NE E =，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ，
∴平面MEN //面PAD . …………… 3分
∵MN ⊂平面MEN ，
∴MN //面PAD . …………… 4分 （2）解法1：∵NE PA //，PA ^面ABCD ，
∴NE ^面ABCD . …………… 5分 ∵AM ⊂面ABCD ，
∴NE AM ⊥. …………… 6分 过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ， ∵NE
EF E =，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，
∴AM ⊥面NEF . …………… 7分 ∵NF ⊂面NEF ，
∴AM NF ⊥. …………… 8分 ∴NFE ∠是二面角N AM B --的平面角. …………… 9分
在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE =
=，
…………… 10分
在Rt △MEA 中，3
2
AE =
，得AM ==
，
5
AE ME EF AM =
=g . …………… 11分
在Rt △NEF 中，5
NF =
=
， …………… 12分
cos 89
EF NFE
NF ?=…………… 13分
∴二面角N AM B --. …………… 14分 解法2：∵NE PA //，PA ^面ABCD ，
∴NE ^面ABCD .
在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==
，得4NE =
=，
…………… 5分
以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分
则()
333000300004222A M E N ,,,,
,,,,,,,⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()
004EN ,,=，，3042AN ,
,⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
. …………… 8分 设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=
，
由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，
得33023402
x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，3
4
z =
. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭
是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分
又()
004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分
cos ,n EN =
=
n EN n
EN
89
. …………… 13分 ∴二面角N AM B --
. …………… 14分 20. （本小题满分14分）
（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） 解法一:
（1）解：设()
(
)(
)
2
2
1122M x y A y y B y y ,,,,,，
∵OA OB OC +=，
∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分
∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.
∴22
12120y y y y +=. …………… 5分
依题意知120y y ≠，
∴121y y =-. ③ …………… 6分
把②、③代入①得：2422
y x +=，即()2
112y x =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2
1
12
y
x =
-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为
S OA OB ==
⋅
…………… 9分
=
=
=
…………… 11分
∵22
121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， …………… 12分
∴2S ≥=. …………… 13分
∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分 解法二:
(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1
k
-
. …………… 1分
故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k
=-
. 由2
y kx y x ,.
⎧=⎨
=⎩ 消去y ,得22
0k x x -=. 解得0x =或2
1
x k =
. …………… 2分 ∴点A 的坐标为2
11k k ,⎛⎫
⎪⎝⎭
. …………… 3分 同理得点B 的坐标为(
)
2
k k ,-. …………… 4分 ∵OA OB OC +=，
∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分 设点M 的坐标为()
x y ,,
消去k ,得()2
1
12
y
x =
-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2
1
12
y x =
-. …………… 8分
当且仅当2
21k
k
=
,即2
1k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分
21. （本小题满分14分）
（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,
,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,
依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅
⋅⋅, ① …………… 1分
2121n n n A b b b b ++=⋅⋅
⋅⋅, ② …………… 2分
由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅=
=⋅=, …………… 3分
①⨯②得()()
()()2
12211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅
⋅⋅22n +=.…………… 4分
∵0n A >, ∴22
2
n n A +=. …………… 5分
∵
32
122
2
2n n n n
A A +++==…………… 6分
∴数列{}
n A
是首项为1A =,
. …………… 7分
∴
1n
n S ⎡⎤-⎢⎥
=
(
41n
⎡⎤
=+-⎢
⎥⎣⎦
. …………… 8分 解法2: 设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,
则121n n b b q ++=,即12n q +=. …………… 1分 依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅
⋅⋅
()(
)()
2
11111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅
⋅ …………… 2分
()
()
2
12311
n n b q
++++
++=⋅ …………… 3分
()()
122
n n q ++= …………… 4分
22
2
n +=. …………… 5分
∵
32
122
2
2n n n n
A A +++==…………… 6分
∴()
()1111
n n
n n tan tan tan tan tan +-⋅+=
-,n ∈N *. ……………11分
∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅
2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅+
+()()12n n tan +⋅+
()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫
--=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
=
()22
1
n n tan tan tan +--. …………… 14分。