广东省清远市第一中学实验学校高三第一次模拟考试——

广东省清远市第一中学实验学校
2017届高三第一次模拟考试
数学（理）试题
第I卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）
A．100 B．210 C．380 D．400
2．（5分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）
A．60° B．60°或120°C．30° D．30°或150°
3．（5分）已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）
A． B．﹣2 C．0 D．或﹣2
4．（5分）已知两点F1（﹣2，0），F2（2，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）
A．+=1 B．+=1
C．+=1 D．+=1
5．（5分）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（1，3）C．（﹣1，3）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）6．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
7．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，|x|+2y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）
A．[10，+∞）B．[11，+∞）C．[13，+∞）D．[14，+∞）
8．（5分）已知正项等比数列{a}满足：a=a+2a，若存在两项a，a，使得，则的最小值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．不存在
9．（5分）“双曲线C 的方程为（a ＞0，b ＞0）”是“双曲线C 的渐近线方程为y=”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件
10．（5分）若正数a ，b 满足，的最小值为（ ） A ．1
B ．6
C ．9
D ．16
11．（5分）如图，多面体ABCDPE 的底面ABCD 是平行四边形，AD=AB=2，•=0，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD=2EC=2，则二面角A ﹣PB ﹣E 的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．（5分）双曲线C 1：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F 1作曲线C 2：x 2
+y 2
=a 2
的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2
=2px （p ＞0）于点P ，其中C 1与C 3有一个共同的焦点，若M 为F 1P 的中点，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分） 13.的展开式中常数项为．
14.如果实数满足条件210
24010x y x y y --≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，则的最大值为．
15.设三个内角所对的边分别为，若()()(
)2
2
sin 4sin ,sin sin sin 27a C A ca cb A B C c
=+-=-，
则的面积为．
16.已知长方体内接于球，底面是边长为2的正方形，为的中点，平面，则球的表面积为．
三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22、23两题是选修题。

） 17．已知数列满足，，．
（1）若函数（，）在处取得最大值，求函数在区间上的值域；
（2）求数列的通项公式．
18．化为推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户：
男性用户：
（1）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列列联表，并回答是否有的把握认为性别对手机的“认可”有关：
附：
2
2
()()()()()
n a d b c K a b c d a c b d +-+=
++++ （2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90
分的人数的分布列和数学期望． 19．如图，已知四边形和均为直角梯形，，且，平面平面，222BC CD CE AD BG =====．
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
20．设椭圆：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的离心率为，上一点到右焦点距离的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围．
21．设，函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若有两个相异零点，，求证：．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐标系中，曲线：．
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2），分别是曲线和曲线上的动点，求最小值．
23．选修4-5:不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =+-+．
（1）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （2）若方程有三个不同的解，求实数的取值范围．
答案：
一、BBBBC CDAAB DB
二、13. 60 14. 15. 16. 三、
17．（1）；（2）
1
2
2
2,
2,
n
n n
n
a
n
-
⎧
⎪
=⎨
⎪
⎩
为奇数，
为偶数.
.
【解析】试题分析：（1）由递推公式可得，、两式相比得，逐项相求可得，即，又时，可得，从而求得，由三角函数的性质可得函数在区间上的值域；（2）由可知，该数列的奇数项与偶数项分别构成一个等比数列，公比均为，奇数项的首项为，偶数项的首项为，分别写出通项公式即可.
试题解析：（1）∵，则，
∴，
又，故，即，
∴，，
∴，故，
又时，，
∴，且，解得，
∴，
而，故，
从而，
综上知．
（2）由（1）得：，，，
∴当为奇数时，；
当为偶数时，．
∴数列的通项公式为
1
2
2
2,
2,
n
n n
n
a
n
-
⎧
⎪
=⎨
⎪
⎩
为奇数，
为偶数.
【考点】1.三角函数的图象与性质；2.数列的递推关系；3.等比数列的通项公式与性质. 18．（1）列联表
有的把握认为性别和对手机的“认可”有关． （2）概率分布列为
其期望为.
【解析】试题分析：（1）从频数分布表算出女性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数，填入表格，同理算出男性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数，填入表格可得列联表，由公式计算出的值与临界值中数据比较即可；（2）由分层抽样的原则算出从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分的人数，及评分小于90分的人数，评分不小于90分的人数，由古典概型公式分别计算时的概率可列出概率分布列与期望. 试题解析： （1）由频数分布表可得列联表如下图：
22
500(14012018060) 5.208 3.841200300320180
k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有的把握认为性别和对手机的“认可”有关．
（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为，，，，评分不小于90分的人数为2，记为，，从6人中任取人， 评分小于90分的人
数，其中，214
2363(2)5C C P X C ===，30
423
61
(3)5
C C P X C ===，所以3名用户中评分小于90分的人数的概率分布列为
其期望为1232555
EX =⨯+⨯+⨯=.
19．（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意可证,,CD CB CD CE CB CE ⊥⊥⊥，所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由证之即可；（2）求出平面的法向量，由(1)知的法向量为，由向量公式可求二面角的余弦值. 试题解析： （1）证明：∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，， 设平面的法向量为， ，，
∴220,220,
m EB y z m ED x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取，得， ∵，∴，∴， ∵平面，∴平面． （2）设平面的法向量，，， 则0,220,
n DA b n DE x z ⎧⋅==⎪⎨
⋅=-+=⎪⎩取，得，
由（1）得平面的法向量为，
设平面和平面所成锐二面角的平面角为，则
||cos ||||2m n m n θ⋅=
==⋅⋅． ∴平面和平面所成锐二面角的余弦值为． 20. （1）；（2）.
【解析】试题分析：(1)由题意，，解出及的值即可；(2)先讨论当不存在时，的值，当当存在时，可设直线方程为，联立方程组，由求出的范围，由根与系数关系用表示，由向量的坐标运算用表示，即可求出的取值范围.
试题解析： （1）由题意得，且，∴，， 故，
∴椭圆的方程为．
（2）①当不存在时，，，
∴(0,3OA OB ⋅=⋅=-；
②当存在时，设直线方程为，则有222,
1,43y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
整理得22
(34)1640k x kx +++=，
∴，，（i ） 又
12121212(2)(2)
OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+++21212(1)2()4
k x x k x x =++++222
1322424
143434k k k +-=+-+++，（ii ） 2225616(43)0k k ∆=-+>，从而，（iii ）
（iii ）代入（ii ）中2513
3314
OA OB ⋅≤-+=+， ∴．
21.（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】试题分析：(1)求函数的导数，当时，帖点斜式写出切线方程即可；(2)当时，由可知函数有零点，不符合题意；当时，函数有唯一零点有唯一零点，不符合题意；当时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可；(3) 设的两个相异零点为，，设，则，，两式作差可得，1212ln ln ()x x k x x -=-即1212ln ln ()x x k x x +=+，由可得即，
121212
ln ln 2
x x x x x x ->⇔-+，设上式转化为（），构造函数，证即可.
试题解析： （1）函数的定义域为，11'()kx
f x k x x
-=-=
， 当时，，则切线方程为，即．
（2）①若时，则，是区间上的增函数，
∵，()(1)0k a k
f e k ke k e =-=-<，
∴，函数在区间有唯一零点； ②若，有唯一零点；
在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为
11 ()
ln1ln1
f k
k k
=-=--，
由于无零点，须使，解得，
故所求实数的取值范围是．
（3）设的两个相异零点为，，设，
∵，，∴，，
∴
1212
ln ln()
x x k x x
-=-，
1212
ln ln()
x x k x x
+=+，
∵，故，故，
即，即，
设上式转化为（），
设，
∴，
∴在上单调递增，
∴，∴，
∴．
22.（1）的普通方程为,直角坐标方程：；（2）.
【解析】试题分析：（1）由曲线在参数方程消去参数即可得到普通方程；曲线在极坐标方程两边同乘以，由极坐标与直角坐标的互化公式转化即可；（2）圆心到直线的距离为减去半径，即可求得最小值.
试题解析：（1）：
32,
21
,
34
x t
x y
=-+
⎧
⎪
--
⎨
=
⎪-
⎩
∴，整理得，
∴的普通方程为，
，整理得，
∴直角坐标方程：．
（2）如图，圆心到直线的距离为，，
∴．
23.（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）（2）
试题解析： （1）令，则min ()0()()f x g x a g x a ≥⇔≥-⇔≥-，
1,1,()|1|||21,10,1,0,x g x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤<⎨⎪≥⎩
作出函数的图象，由图可知，函数的最小值为，所以，即
综上，实数的取值范围为.
（2）在同一坐标系内作出函数图象和的图象如下图所示，由题意可知，把函数的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而．。