2008高考真题文数安徽卷

1 2
2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
文科数学
本考卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分为150分，时间120分钟。

参考公式：
如果事件
A B ，互斥，那么
球的表面积公式
24πS R =
()()()P A B P A P B +=+
其中R 表示球的半径 如果事件
A B ，相互独立，那么
球的体积公式
34π3
V R =
()()()P A B P A P B =
其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若A 为全体正实数的集合，{2,1,1,2}B =--，则下列结论正确的是（ ）
A ．{2,1}A
B =-- B ．()(,0)R
C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞
D ．(){2,1}R C A B =--
2．若(2,4),(1,3)AB AC ==
，则BC = （ ）
A ．(1,1)
B ．(1,1)--
C ．(3,7)
D ．(3,7)--
3．已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若,α
γβγ⊥⊥，则α∥β B ．若,m n αα⊥⊥，则m ∥n
C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
D ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β
4．a ＜0是方程2
10ax
+=有一个负根的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分必要条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．在三角形ABC 中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠ABC 的大小为（ ）
A ．
23
π B ．
56
π C ．
34
π D ．
3
π 6．函数
2()(1)1,(0)f x x x =-+≤的反函数为（ ） A
．1()11)f x x -=≥ B
．1()11)f x x -=≥ C
．
1()12)f x x -=≥
D
．
1()12)f x x -=≥
7．8
280128(1)
x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则018,,,a a a ⋅⋅⋅中奇数的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．函数
sin(2)3
y x π
=+的图象的对称轴方程可能是（ ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
9．设函数
1
()21,(0)f x x x x
=+-<，则()f x （ ）
A ．有最大值
B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
10．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2
2(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）
A
．(
B
．[
C
．(33
D
．[33
11．若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，则当a 从2-变化到1
时，动直线x y a +=扫过A
中的那部分区域的面积为（ ）
学校 姓名 座位号 准考证号
密……………………………………………………封………………………………………………… 线
3 4
A ．
3
4
B ．1
C ．
7
4
D ．2
12．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排的8人中抽2人调整到前排，其他人的
相对顺序不便，则不同调整方法的种数为（ ） A ．2
6
86C A
B ．22
83C A
C ．2
286C A
D ．2
2
85C A
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上.
13
．函数
2()f x 的定义域为 .
14．已知双曲线
22
112x y n n
-=-
n = . 15．在数列{}n a 中，542
n a n =-，2
12n a a a an bn ++⋅⋅⋅+=+，*n N ∈，其中a 、b 为常数，则
ab = .
16．已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若6AB =
，AC =8AD =，
则B 、C 两点间的球面距离是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数
()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域。

18．（本小题满分12分）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片上印
有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”。

（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试。

第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取一张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。

求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率；
（Ⅱ）若某位被测试者从这10张卡片中一次随机抽取3张，求这3张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。

………………封………………………………………………… 线
5 6
M
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
，OA ⊥底面ABCD ，
OA = 2，M 为OA 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到面OCD 的距离。

20．（本小题满分12分）
已知函数
323
()(1)132
a f x x x a x =-+++，其中a 为实数，且0c ≠。

（Ⅰ）已知函数
()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（Ⅱ）已知不等式2'()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

O
D
B
A
C
第19题图
座位 准考证号
…………封………………………………………………… 线
7 8
21．（本小题满分12分）
设数列{}n a 满足1
a a =，11n n a ca c +=+-，*n N ∈，其中a 、c 为实数，且0c ≠。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12a =
，1
2
c =，(1),*n n b n a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项的和n S ； （Ⅲ）若01n a <<对任意*n N ∈成立，证明：01c <≤。

22．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：22
221,(0)x y a b a b
+=>>，其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线分别交椭圆C 于A 、B
两点，求证：2||2cos AB θ
=
-；
（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A 、B 和D 、E ，求||+|D E |AB 的最小值。

………………………………………… 线
9 10
2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 参考答案
1．【答案】D
【解题思路】{ |0}R C A x R x =∈≤，∴(){2,1}R C A B =-- ，故选D 。

2．【答案】B
【解题思路】(1,1)BC AC AB =-=--
，故选B 。

3．【答案】B
【解题思路】,αγβγ⊥⊥⇒α∥β 或α与β相交，A 不正确；
,m n αα⊥⊥⇒m ∥n ，B 正确；
m ∥α，n ∥α⇒m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，C 不正确；
m ∥α，m ∥β⇒α∥β或α与β相交，D 不正确。

故选B 。

4．【答案】B
【解题思路】a ＜0⇒方程2
10ax
+=有一个负根；反之，方程210ax +=有一个负根⇒
a ＜0。

故选B
5．【答案】A
【解题思路】由余弦定理得：222222 | | | | | |5371
cos 2| || |2532
AB AC BC ABC AB AC +-+-∠=
==-⨯⨯ ， ∴23
ABC
π
∠=
，故选A 。

6．【答案】C
【解题思路】2(1)1,(0)1(2)y x x x y =-+≤⇒=≥，
∴
1()12)f x x -=≥，故选C 。

7．【答案】A
【解题思路】只有0a 和8a 是奇数，其他都是偶数，故选A 。

8．【答案】D
【解题思路】∵sin(2)1123ππ⨯+=，∴12x π=是函数sin(2)3
y x π
=+的图象的一条对称轴，故选
D 。

9．【答案】A
准考证号
………………………………… 线
11
12
A
O
【解题思路】∵0x <，∴1
21
1x x
+-≤
-，∴()f x 有最大值，故选A 。

10．【答案】D
【解题思路】显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为
(3)y k x =-，即30kx y k --=，
∵直线l 与曲线22
(2)1x y -+=有公共点，1≤，解得33k ≤≤， 故选D 。

11．【答案】C
【解题思路】当a 从2-变化到1时，动直线x y a +=
扫过A 中的那部分区域如图中的阴影部分，显然，这部 分面积大于1而小于2，故选C 。

12．【答案】C
【解题思路】从后排的8人中抽2人有2
8C
种方法，把抽出的 2人插入前排，其他人的相对顺序不便有
26A
种方法，故共有
2286C A 种不同调整方法，选C 。

13．【答案】[3,)+∞
【解题思路】由|2|10
1011x x x --≥⎧⎪
->⎨⎪-≠⎩
解得3x ≥，∴()f x 的定义域为[3,)+∞。

14．【答案】4
【解题思路】由(12)0n n ->解得120n >>，∴212
n
=，∴4n = 15．【答案】1-
【解题思路】由5
42n a n =-
知数列{}n a 是首项为3
2
公差为4的等 差数列，
∴212122n a a a n n ++⋅⋅⋅+=-，∴1
2,2
a b ==-，故1ab =-。

16．【答案】
43
π
【解题思路】
由题设易知AD 的中点O 为球心，且OB =
OC = 4， 又在直角△ABC 中，4BC =，∴3
BOC π
∠=，
∴B 、C 两点间的球面距离为
43
π。

17．解：（Ⅰ）
()cos(2)2sin(344
f x x x x πππ
=-+-+
1
cos2(sin cos )(sin cos )221
cos2cos22sin(2)
6x x x x x x x x x
x π
=++-+=-=- 所以周期为22T π
π==。

（Ⅱ）∵[,]122
x ππ∈-
，∴52[,]636
x πππ-∈-， 又∵()sin(26f x x π=-
在区间[,]123ππ-
上单调递增，在区间[,]32
ππ
上单调递减， ∴当3
x π
=时(
)f x 取得最大值1。

又∵
1()()12
222
f f π
π-
=<=， ∴当12
x π
=-
时
()f x 取得最小值 ∴函数
()f x 在区间[,]122ππ
-
上的值域为[]。

第11题解图
13 14
18．解：（Ⅰ）每次测试中，被测试者从0张卡片中随机抽取的张卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率为
3
10
，因为三位被测试者分别随机抽取1张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为
3333327()101010101000
⨯⨯==。

（Ⅱ）设(0,1,2,3)i A i =表示所抽取的三张卡片中，恰有i 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为()i P A ，则
127323107()40C C P A C =
=，332310
1
()120
C P A C ==
因而所求的概率为
23237111
()()()4012060
P A A P A P A +=+=+=。

19．解：方法一（综合法）
（Ⅰ）∵CD ∥AB ，
∴∠MDC 为异面直线AB 与MD 所成角（或其补角）
作AP ⊥CD 于点P ，连接MP ∵OA ⊥底面ABCD ，∴CD ⊥MP 。

∵4ADP π
∠=，
∴2
DP =
∵MD =
∴1cos ,23
DP MDP MDC MDP MD π
∠=
=∠=∠= ∴AB 与MD 所成角的大小为
3
π。

（Ⅱ）∵AB ∥平面OCD ，∴点B 和点A 到平面OCD 的距离相等 连接OP ，过点A 作AQ ⊥OP 与点Q ，
∵AP ⊥CD ，OA ⊥CD ，∴CD ⊥平面OAP ∵AQ ⊂平面OAP ，∴
AQ CD ⊥，
又∵AQ OP ⊥，∴AQ ⊥平面O CD ，线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离。

∵2OP =
==
，AP DP =
∴223OA AP AQ OP ⋅==，∴点B 到面OCD 的距离为23。

方法二（向量法）：
作AP ⊥CD 与点P 。

如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为
,,x y z 轴建立直角坐标系。

(0,0,0,),(1,0,0),(0,
(222
A B P D (0,0,2),(0,0,1)O M
（Ⅰ）设AB 与MD 所成角为θ，
∵(1,0,0)AB =
，(,1)22
MD =- ，
∴||1cos 2
||||AB MD AB MD θ==
，∴3πθ=， ∴AB 与MD 所成角的大小为3
π。

（Ⅱ
）,2),(2)222
OP OD =-=-
设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =
，则0,0n OP n OD ⋅=⋅= ，
D
第19题解图
y
第19题图解
座位 准考
…………封………………………………………………… 线
……………………………………………封………………………………………………… 线
15 16
得2022022
y x x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩
，取z =
，解得n = 。

设点B 到面OCD 的距离为d ，则d 为OB 在向量n
上的投影的绝对值。

∵(1,0,2)OB =- ，∴||2
3||
OB n d n =
=
∴点B 到面OCD 的距离为2
3。

20．解：（Ⅰ）
2'()3(1)f x ax x a =-++， 由于函数
()f x 在1x =时取得极值，所以(1)0'=f ，即310a a -++=，∴1a =
（Ⅱ）方法一：由题设知：2
23(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，
即2
2(2)20a x
x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立，
设2
2()(2)2,()g a a x x x a R =+--∈，则对任意a R ∈，()g a 为单调增函数（a R ∈）
所以，对任意的(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，即2
20x x --≥，
∴20x -≤≤，故x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。

方法二：由题设知：2
23(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，
即2
2(2)20a x
x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立，
于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22
202
x x
x +≤+，∴20x -≤≤， 故x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。

21．解：（Ⅰ）方法一：∵1
1n n a ca c +=+-，
∴当1a ≠时，{1}n
a -是首项为1a -，公比为c 的等比数列。

∴11(1)n n
a a c --=-，即1(1)1n n a a c -=-+，
当1a =时，1n
a =仍满足上式，
∴数列{}n a 的通项公式为1(1)1n n a a c -=-+，（*n N ∈）。

方法二：由题设得：
2n ≥时，2111211(1)(1)(1)(1)n n n n n a c a c a c a a c -----=-=-=⋅⋅⋅=-=-
∴1(1)1n n
a a c -=-+
1n =时1a a =也满足上式。

∴数列{}n a 的通项公式为1(1)1n n a a c -=-+，（*n N ∈）。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得11(1)()2
n n n
b n a
c n -=-=，
212111
2()()222
n n n S b b b n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，
2311111()2()()2222n n S n +=++⋅⋅⋅+ ∴2111111()()()22222
n n n S n +=++⋅⋅⋅+- ∴211111111()()()2[1()]()222222
n n n n
n S n n -=+++⋅⋅⋅+-=--
∴12(2)()2
n
n S n =-+。

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知1(1)1n n a a c -=-+
若1
0(1)11n a c -<-+<，则10(1)1n a c -<-<。

∵101a a <=<，∴11
0(*)1n c n N a
-<<
∈- 由1
0n c
->对任意的*n N ∈成立，知0c >。

下证1c ≤，用反证法。

方法一：假设1c >。

由函数
()x f x c =的函数图像知，当n 趋于无穷大时，1n c -趋于无穷大。

17 18
∴1
1
1n c
a
-<
-不能对*n N ∈恒成立，导致矛盾。

∴1c ≤， ∴01c <≤。

方法二：假设1c >，∵1
11n c a -<
-，∴1
1log log 1n c c c a
-<-。

即1
1log 1c
n a
-<-（*n N ∈）恒成立 （*） ∵a 、c 为常数，∴（*）对*n N ∈不能恒成立 ∴1c ≤， ∴01c <≤。

22．解：（Ⅰ）由题意得：2
2222
4
c a
c a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪
⎪=+⎩，∴2284a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为
2
2
184
x y
+=。

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，
离心率2
e =
， 设l 是椭圆的左准线，则l ：4x =- 作1
AA l ⊥于1A ，1BB l ⊥于1B ，l 于x 轴交于点H （如图）
， ∵点A 在椭圆上，
∴11||=
|2AF AA
=11
|||cos )2FH AF θ+
1|cos 2
AF θ
∴1
|AF
，同理1
|B F
∴112|AB|=||+|B 2cos AF F θ
=
-。

方法二：当2
π
θ≠
时，记tan k θ=。

则AB ：(2)y k x =+
将其代入方程2
228x
y +=得2222(12)88(1)0k x k x k +++-=
设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是此二次方程的两个根。

∴22121222
88(1)
,1212k k x x x x k k
-+=-=++，
|AB
22
)
12k k +==
+ ① ∵tan k
θ=，代入①
式得2|AB|2cos θ
=-。

②
当2
π
θ
=
时，|AB|=②式。

∴2|AB|2cos θ
=
-。

（Ⅲ）设直线AB 倾斜角为θ，由于DE ⊥AB ，由（Ⅱ）可得
2|AB|2cos θ=
-
，2|DE|2sin θ
=
-
222|AB|+|DE|12cos 2sin 2sin 24θθθ
=
+=
--+
当4
π
θ=
或34πθ
=
时，|AB|+|DE|
取得最小值3。

号 准考证号
………………………………………………… 线
…封………………………………………………… 线
19 20。