2016高三数学(文)二轮复习教案综述

题型精讲
第一讲 选择题的解法
(见学生用书P 100)
高考数学选择题主要考查考生对基础知识的理解程度、基本技能
的熟练程度以及基本运算的准确程度等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查考生灵活应用基础知识解决数学问题的能力．
选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．
解答选择题的常用方法主要是直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．总的来说，选择题属于小题，解题的常用原则是：小题巧解．
方法一 直接法
方法点拨
直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．
例 1－1(2014·北京模拟)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的
左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三
角形，则E 的离心率为( )
A.12
B.23
C.34
D.45
解析：依题意作出相应图形如图．
∵F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，
∴||F 2F 1＝2c .
∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，
∴∠PF 2D ＝60°.
∵P 为直线x ＝3a 2上一点，
∴||F 2D ＝||OD －||OF 2＝32a －c .
∴||PF 2＝||F 2D cos 60°＝2⎝
⎛⎭⎪⎫32a －c . 又∵||F 2F 1＝||PF 2，
即2c ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫32a －c . ∴e ＝c a ＝34.故选C.
答案：C
点评：直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．
变式训练
【1－1】 (2015·黄冈模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分
别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sin B ，且S △ABC ＝2，则b ＝( )
A ．1
B ．2 3
C ．3 2
D ．3
解析：∵cos A ＝13，∴sin A ＝223.
又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，∴bc ＝3.
又sin C ＝3sin B ，∴c ＝3b ，∴b ＝1，c ＝3.
答案：A
【1－2】 (2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )
A.172
B.192
C ．10
D ．12
解析：S 8＝8a 1＋12×8×(8－1)d ＝8a 1＋28，
S 4＝4a 1＋6，由S 8＝4S 4，解得a 1＝12，
所以a 10＝12＋9＝192.
答案：B
方法二 排除法
方法点拨
在解答某些选择题时，可以根据选项的特征，通过灵活赋值，利用一些特殊的对象，如数、点等代入选项进行验证，根据选择题的特征——只有一个选项符合题目要求这一信息，可以间接地得到符合题目要求的选项．
例 2－1(2015·黄冈模拟)函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x
(0≤x ≤2π)的值域是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－22，0 B ．[－1，0] C ．[－2，－1] D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－33，0 解析：令sin x ＝0，cos x ＝1，
则f (x )＝0－13－2×1－2×0
＝－1，排除A ，D ； 令sin x ＝1，cos x ＝0，
则f (x )＝1－13－2×0－2×1
＝0，排除C ，故选B. 答案：B
变式训练
【2－1】 (2015·浙江卷)设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t .( )
A ．若t 确定，则b 2唯一确定
B ．若t 确定，则a 2＋2a 唯一确定
C ．若t 确定，则sin b 2唯一确定
D ．若t 确定，则a 2＋a 唯一确定
解析：利用排除法进行分析，若t 确定，则|sin b |随之确定，但由正弦函数周期性可知b 不确定，故A ，C 错，由t ＝|a ＋1|，得t 2－1＝a 2＋2a ，若t 确定，则t 2－1确定，所以a 2＋2a 确定，故B 正确，D 错误，故选B.
答案：B
方法三 特例法
方法点拨
特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
例 3－1(2014·长沙模拟)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )
A ．130
B ．170
C ．210
D ．260
解析：取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，
则a 2＝70，
又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，
故S 3＝210，选C.
答案：C
例 3－2(2015·浙江卷)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有
( )
A ．f (sin 2x )＝sin x
B ．f (sin 2x )＝x 2＋x
C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|
D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
解析：取x ＝0，π2，可得f (0)＝0，f (0)＝1，这与函数的定义矛盾，
所以选项A 错误；
取x ＝0，π，可得f (0)＝0，f (0)＝π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；
取x ＝1，－1，可得f (2)＝2，f (2)＝0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；
取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R ，都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，所以选项D 正确．
综上，本题选D.
答案：D
变式训练
【3－1】 (2015·黄冈模拟)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作直线
交抛物于A 、B 两点，若AF 与FB 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q ＝( )
A ．2a B.12a
C ．4a D.4a
解析：每一个选项都是一个确定的常数，取一个方便计算的特殊位臵，由此计算出的目标值必然与错误选项不同，由此排除错误选项．考虑AB 过焦点且与抛物线对称轴垂直，则AB 是抛物线的通径．AF
＝FB ＝12a ，此时1p ＋1q ＝4a ，排除A 、B 、D ，选C.
答案：C
方法四 图解法
方法点拨
在解答选择题的过程中，可先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质、综合图象的特征等，得出结论，习惯上也叫数形结合法．
例 4－1(2014·河北模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ≠0，0，x ＝0，
则关于x
的方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( )
A ．b <－2且c >0
B ．b >－2且c <0
C ．b <－2且c ＝0
D ．b ≥－2且c ＝0
解析：设t ＝f (x )，
则方程化为关于t 的一元二次方程t 2＋bt ＋c ＝0，
而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图象如图所示，显然，当⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1x ＝t >2时， 有4个不同的x 的值与同一个t (t >2)对应，
而当f (x )＝0时，只有x ＝0，
所以要使原方程有5个不同实数解，
应使方程t2＋bt＋c＝0有一个零根和一个大于2的根，
故b<－2且c＝0，
故所求充要条件为b<－2且c＝0.
答案：C
点评：图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．
变式训练
【4－1】(2015·武汉模拟)若a＝(1，3)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是()
A．[1，＋∞) B．(1，2)
C．(1，3) D．[1，3]
解析：(方法1)当a，b共线时，|b|＝1或3，
当a，b不共线，a，b，a－b必构成一个三角形，如图．
而|a|＝2，|a－b|＝1，∴2－1<|b|<2＋1，
∴1<|b|<3.∴1≤|b|≤3，故选D.
(方法2)(利用向量模的几何意义)如图所示．
→.
设b＝(x，y)，则a－b＝(1－x，3－y)，且a＝OA
∵|a－b|＝1，∴(1－x)2＋(3－y)2＝1，
即(x－1)2＋(y－3)2＝1.
又|b|＝x2＋y2，
∴|b|的取值范围即为圆(x－1)2＋(y－3)2＝1上的点到原点距离的最大值和最小值之间的值．
∴|b|max＝12＋（3）2＋1＝3，
|b|min＝12＋（3）2－1＝1.
∴1≤|b|≤3，故选D.
→的端点A在以(方法3)如图所示，因为a＝(1，3)，所以a＝OA
原点为圆心，2为半径的圆上，
因为|a －b |＝1，所以a －b ＝OB →的端点B 在单位圆上，b ＝a －OB
→＝OA
→－OB →＝BA →.由图可知1≤|b |≤3. 综上可知，选D.
答案：D
方法五 推理分析法
方法点拨
推理分析法是通过逻辑推断过程，分析四个选项之间的逻辑关系，从而否定干扰项，肯定正确选项的方法．使用该方法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确．
例 5－1(2014·长沙模拟)若某函数同时具有性质：(1)最小正周期
是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6
，π3上是增函数．则该函数可能是( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6
B ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：A 选项中，函数的周期为T ＝2π12
＝4π，不满足题意，排
除；因为图象的对称轴对应着函数的最大值或最小值，而C 选项中，
cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝cos π2＝0，对应的不是最值，排除；B 选项中，cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝cos 0＝1，cos 2×π3＋π3＝cos π＝－1，显然函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6
，π3上不是增函数，排除．故只有D 选项满足条件． 答案：D
点评：应用此法需对题中条件进行分析，作出推断，排除干扰项，筛选出唯一正确的答案．
变式训练
【5－1】 设x 、y 是两个异号实数，则必有( )
A ．|x －y |<|x |－|y |
B ．|x －y |<|x |＋|y |
C ．|x ＋y |≥|x －y |
D ．|x ＋y |<|x －y |
解析：选C 、D 是相互对立的，其中必有一选项正确，取x ＝1，y ＝－1，排除C ，选D.
答案：D
方法六 估算法
方法点拨
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．
例 6－1(2015·武汉模拟)设a 、b 、c 均为正数，且2a ＝log 0.5a ，0.5b ＝log 0.5b ，0.5c ＝log 2c ，则( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <a <c
解析：选项均是对三个正实数根a 、b 、c 的排序，其中a 、b 、c 是三个不同方程的实根，但三个方程都无法准确求其根，考虑通过方程估算其根所在大致范围，通过恰当的范围来对a 、b 、c 排序．
a >0，则log 0.5a ＝2a >1＝log 0.50.5，a ∈(0，0.5)；
b >0⇒0<0.5b <1，log 0.5b ＝0.5b ∈(0，1)，则b ∈(0.5，1)；
c >0，则log 2c ＝0.5c ∈(0，1)，c ∈(1，2)．
由a 、b 、c 所在范围知a <b <c ，排除B 、C 、D ，选A.
答案：A
变式训练
【6－1】 (2014·大连模拟)已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是
( )
A.169π
B.83π C ．4π D.649π
解析：∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球
＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π.
答案：D
1．选择题设置特点精巧易错
近年来，高考选择题减少了繁琐的运算，着重考查学生的逻辑思
维与直觉思维能力，考查学生观察、分析、比较、选择简便运算方法的能力，试题具有设置精巧、运算量不大、试题破解时易错的特点，着重考查学生的解题能力．
2．选择题的解题策略灵活多变
选择题的解题策略需要因题而变，对于容易题和大部分的中等难度的题，可采取直接法；与几何图形有关的题，尽可能先画出图形，用数形结合的方法或者几何法；难度较大或一时找不到思路的题，常使用一些技巧，采用非常规方法的同时注意多用图，能不算则不要算；实在不会的，猜一下，不要留空．温馨提示：小题小做，小题巧做，切忌小题大做．
3．选择题的破解技巧多样简洁
选择题的解题方法较多，解答选择题的首要标准是准确，其次要求是快速，力求做到又准又快．解数学选择题有两类基本技巧：一是直接法；二是间接法．直接法：指充分利用题干和选项两方面提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略；间接法：解选择题时通过注意到通常各类常规题的解题思想来指导选择题的解答，或根据选择题的特殊性，寻找存在着若干异于常规题的特殊解法．一般在解选择题时应先考虑除直接法外的其他方法，充分利用题干和选项两方面提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略．
第二讲填空题的解法
(见学生用书P104)
1．数学填空题的特点
填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上．但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题．
填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为熟知的题目或基本题型．填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．
填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的地、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力．要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法．
2．数学填空题的类型
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： 一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等．由于填空题和选择题相比，缺少选择的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现．
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等．近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题．
3．解数学填空题的原则
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．
方法一 直接法
方法点拨
直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．
例 1－1(2015·黄冈模拟)已知△ABC 的周长为6，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 面积的最大值为________．
解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac
≥2ac －ac 2ac ＝12(a ＝c 时取等号)．
∴B ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π3. 又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2⇒b ∈(0，2]．
∴S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝ 3. 答案： 3
点评：直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
变式训练
【1－1】 (2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．
解析：∵a n ＋1＝S n S n ＋1，且a n ＋1＝S n ＋1－S n ，
∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，
∴1S n
－1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1. 又1S 1＝1a 1
＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列， ∴1S n
＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n . ∴S n ＝－1n .
答案：－1n
方法二 特例法
方法点拨
一个结论在一般情形下成立，在特殊情形下必然成立，填空题只要结果，不要过程，所以可将填空题中的一般情形特殊化再求解，这种解填空题的方法，叫做特殊化法．凡在一般情形下探求结论的填空题，都可用特殊化法进行求解，即取特殊值、特殊位置、特殊图形、特殊函数、特殊数列等进行求解．
例 2－1 (2014·长沙模拟)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，
过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP
→＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ
＝________.
解析：由题意可知，1λ＋1μ的值是定值，与点P 、Q 的位臵无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.
答案：2
点评：(1)当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以直接赋予参数一个特殊的数值(或函数、角、数列
等)，代入计算即可得到结论．(2)求值或比较大小关系等问题均可利用特殊值法求解，但要注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．
变式训练
【2－1】 (2015·黄冈模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边
分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．
解析：△ABC 为等边三角形时满足条件，则S △ABC ＝332. 答案：332
【2－2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A ·cos C
＝________． 解析：令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子得：
cos A ＋cos C 1＋cos A ·cos C ＝4
5＋01＋45×0
＝45. 答案：45
方法三 数形结合法
方法点拨
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多．
例 3－1(2014·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．
解析：如图，作出图象可知y ＝f (x )与y ＝|lg
x |的图象共有10个交点．
答案：10
点评：图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．
变式训练
【3－1】 (2015·浙江卷)已知实数x 、y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．
解析：∵x 2＋y 2≤1，
∴2x ＋y －4<0，6－x －3y >0，
∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |
＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y .
令z ＝10－3x －4y ，
如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，
∴直线OA 的方程为y ＝43x .
联立⎩⎨⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45， ∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，
z 取最大值z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45＝15. 答案：15
方法四 构造法
方法点拨
构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决．它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
例 4－1(2014·杭州模拟)如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．
解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外
接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以
|CD |＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 3
3＝6π.
答案：6π
点评：构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．
变式训练
【4－1】 (2015·黄冈模拟)a ＝ln 12 012－12 012，b ＝ln 12 013－
12 013，c ＝ln 12 014－12 014，则a ，b ，c 的大小关系为________．
解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x .
当0<x <1时，f ′(x )>0， 即函数f (x )在(0，1)上是增函数．
∵1>12 012>12 013>12 014>0，∴a >b >c .
答案：a >b >c
方法五 估算法
方法点拨
所谓估算法，就是一种粗略的计算方法，即对有关数值进行扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法．
例 5－1(2014·广州模拟)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋8，则ab 的取值范围为________．
解析：令a ＝b ，则已知等式可化为a 2＝2a ＋8，
解得a＝－2(舍去)或a＝4，此时ab＝16；
而当a＝2时，b＝10，
此时ab＝20>16，
所以ab的取值范围为[16，＋∞)．
答案：[16，＋∞)
点评：估算需要根据已知条件和所求的问题进行灵活处理，该题主要利用了已知等式中a与b互换后等式不变的特征，所以猜测a＝b 时取得最值，若a与b互换后已知等式发生变化，则不能利用a＝b 求最值，必须结合等式的特征灵活处理．有些计算型填空题，不必经过繁杂的计算，只需大体估算一下，便可快速准确地得到答案．变式训练
【5－1】(2014·长沙模拟)已知x，y∈(0，＋∞)，且xy＝x＋y＋8，则x＋y的取值范围是________．
解析：令x＝y，则已知等式可化为x2＝2x＋8，
解得x＝－2(舍去)或x＝4，
此时x＋y＝8，而当x＝2，y＝10时，x＋y＝12>8，
所以x＋y≥8，即x＋y的取值范围为[8，＋∞)．
答案：[8，＋∞)
方法六归纳推理法
方法点拨
做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．
例6－1(2014·南昌模拟)已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2 013(x)＝________.
解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，
f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，
f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，
…
由此归纳，知f n(x)的解析式的周期为4，
即f n(x)＝f n＋4(x)．
所以f2 013(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x.
答案：sin x＋cos x
点评：这类问题是近几年高考的热点．解决这类问题的关键是找
准归纳对象．如本题把函数的前几个解析式一一列举出来．观察前面列出的解析式的规律，归纳猜想一般结论或周期，从而求得解析式．变式训练
【6－1】(2014·珠海模拟)观察下列算式，猜测由此提供的一般性法则，用适当的数学式子表示它．
1＝1，
3＋5＝8，
7＋9＋11＝27，
13＋15＋17＋19＝64，
21＋23＋25＋27＋29＝125，
设这些式子的第n个为a1＋a2＋…＋a n＝b n，则(a1，a n)＝________，b n＝________.
解析：观察每一个式子的首项分别为1、3、7、13、21…均为奇数，对它们都减去1，则为0，2，6，12，20，…，即为12－1，22－2，32－3，42－4，52－5，…
所以归纳为n2－n＋1.同理末项归纳为n2＋n－1.
观察等式右边可得b n＝n3.
答案：(n2－n＋1，n2＋n－1)n3
1．填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力．填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．
2．填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力．近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了．
3．填空题不同于选择题，由于没有非正确的选项干扰，因而不必担心“上当受骗”而误入歧途．但填空题最容易犯的错误，要么答案不当，要么答案不全．
选择填空题专练(一)
(见学生用书P149)
一、选择题
1．已知集合a ＝{x |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0<x <5}，则A ∩B ＝( )
A ．{x |0<x <5}
B ．{x |－1<x <5}
C ．{x |0<x ≤1}
D ．{x |0<x ≤4}
解析：因为A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |0<x <5}，
所以A ∩B ＝{x |0<x ≤4}．故选D.
答案：D
2．给出下列两个命题，命题p 1：y ＝ln(1－x )(1＋x )为偶函数；命
题p 2：函数y ＝ln 1－x 1＋x
是奇函数，则下列命题是假命题的是( ) A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨(綈p 2)
C ．p 1∨p 2
D ．p 1∧(綈p 2)
解析：由偶函数的定义易知命题p 1为真命题，
对于命题p 2，由于
f (x )＋f (－x )＝ln 1－x 1＋x ＋ln 1＋x 1－x
＝ln 1＝0， 即－f (x )＝f (－x )，
故函数在其定义域内为奇函数，
因此命题p 2为真命题，
则p 1∧(綈p 2)为假命题．
答案：D
3．命题p ：若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )
A ．“p 且q ”是真命题
B ．“p 或q ”是假命题
C ．綈p 为假命题
D ．綈q 为假命题
解析：∵当a·b>0时，
a 与
b 的夹角为锐角或零度角，
∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，
例如f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＝0，－x ＋2，x >0， 综上可知，“p 或q ”是假命题．
答案：B
4．“θ＝π2”是“曲线f (x )＝sin(3x －θ)的图象关于y 轴对称”的
( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当θ＝π2时，有f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x －π2＝－cos 3x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称；f (x )＝sin(3x －θ)的图象关于y 轴对称，即该函
数为偶函数，故得θ＝（2k ＋1）π2
，(k ∈Z )，故“θ＝π2”是“θ＝π2”是“曲线f (x )＝sin(3x －θ)的图象关于y 轴对称”的充分不必要条件．
答案：B
5．对具有线性相关关系的变量x 、y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i
＝1，2，…，8)，其回归直线方程为y ^＝16x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5
＋x 6＋x 7＋x 8＝3(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6＋y 7＋y 8)＝6，则实数a 的值为
( )
A.116
B.18
C.14
D.1116
解析：由题中数据得——,x ) ＝34，y －＝14，
由回归直线过点(——,x ) ，y －)，得14＝16×34＋a ，
解得a ＝18.故选B.
答案：B
6．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图，则f (x )在[－2，1]上的最小值为( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．3
解析：由函数f (x )的导函数f ′(x )的图象可知，
函数f (x )为二次函数，且其图象的对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，
∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝2ax ＋b ，
又f ′(x )的图象过点(－1，0)与点(0，2)，
则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ×（－1）＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，
∴a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ， 则f (x )在[－2，1]上的最小值为f (－1)＝－1.
答案：A
7．平面上满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤0，x －y －10≤0
的点(x ，y )构成的区域为D ，区域D 关于直线y ＝2x 对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为( ) A.655 B.1255 C.835 D.1655
解析：三条直线的交点为A (2，－2)、B (2，－8)、C (5，－5)，区域D 为△ABC ，A (2，－2)到直线y ＝2x 的距离最小，为|2×2－1×（－2）|5
＝655.区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为2×655＝1255.故选B.
答案：B
8．已知g (x )为三次函数f (x )＝a 3x 3＋ax 2＋cx 的导函数，则它们的
图象可能是( )
解析：由题意知g (x )＝f ′(x )＝ax 2
＋2ax ＋c ＝a (x ＋1)2＋c －a ，则g (x )
的图象关于直线x ＝－1对称，排除B 、C ；对选项A ，由g (x )的图象知x ＝0是f (x )的极小值点，与f (x )的图象不相符，所以只有D 项的图象是可能的．
答案：D
9．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x ＋2)<f (x )的x 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C ．[－2，－1)∪(2，＋∞)
D ．(－1，2)
解析：∵f (x )是偶函数，
∴f (－x )＝f (x )．
又∵f (x ＋2)<f (x )，
∴f (x ＋2)<f (|x |)，
∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，
∴x ＋2<|x |，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x ＋2≥0，
解得－2≤x <－1或x >2.
答案：C
10．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )
A ．多于4个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象如图所示，由图示可得，函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有4个．
答案：B
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱体与半个球体的底面互相合在一起组合而成的，其表面积πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2.
答案：B
12．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，
且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
解析：将y ＝2x ＋a 两边取对数得x ＝log 2y －a ， 因为两函数的图象关于y ＝－x 对称， 所以－y ＝log 2(－x )－a ， 所以f (x )＝a －log 2(－x )， 由f (－2)＋f (－4)＝1，
知a －log 22＋a －log 24＝1， 所以a ＝2. 答案：C 二、填空题 13．执行如图所示的程序框图，若输入m ＝6，则输出n ＝________.
解析：第一次循环：n ＝6÷3＋1＝3，|6－3|＝3>1； 执行第二次循环：m ＝3，n ＝3÷3＋1＝2，|3－2|＝1；
执行第三次循环：m ＝2，n ＝23＋1＝53，⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪2－53＝13<1，跳出循环，
故n ＝53.
答案：53
14．在△ABC 中，已知BM →＝NC →＝13BC →，|BC →|＝3，AM
→·AN →＝6，则AB
→·AC →的值为________． 解析：由BM →＝NC →＝13BC →知 M 、N 是BC 的三等分点， 设BC 的中点为O ， 由AM
→·AN →＝6， 即(AO →＋OM →)·(AO
→＋ON →)＝|AO →|2－|OM →|2＝6，
因为|BC →|＝3，所以|OM →|2＝14， 由此可得|AO →|2＝254
， 而AB
→·AC →＝|AO →|2－|OB →|2， 由已知|OB →|2＝94，
所以|AO →|2－|OB →|2＝254－94＝4. 答案：4
15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x
－ax ，若函数f (x )在R 上有且只有4个零点，则实数a 的取值范围是________．
解析：函数f (x )是定义在R 上的偶函数得其图象关于y 轴对称，所以函数f (x )在R 上有且只有4个零点等价于函数f (x )＝e x －ax 在(0，
＋∞)内有且只有2个零点，即函数y ＝e x
x (x >0)与y ＝a 的图象有且仅有两个交点．
∵y ′＝e x （x －1）
x 2
， ∴当x ∈(0，1)时，y ′<0， 当x ∈(1，＋∞)时，y ′>0， 且当x ＝1时，y ＝e ，
所以当a >e 时，函数y ＝e x
x (x >0)与y ＝a 的图象有且仅有两个交点．故a 的取值范围是(e ，＋∞)．
答案：(e ，＋∞) 16．已知函数y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1的零点为a n ，b n (n ∈N *)，设c n ＝|a n －b n |，则数列{c n }的前2 016项的和为________．
解析：令(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0，
则a n ＋b n ＝2n ＋1n 2＋n ，a n ·b n ＝1
n 2＋n
，
所以c n ＝|a n －b n |
＝（a n ＋b n ）2－4a n b n
＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1
， 故数列{c n }的前2 016项的和为
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 016－12 017。