潍坊市届高三模拟数学试题及答案(文)

山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试
数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．若复数2满足z(1+i )=2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) (A)(1，1) (B)(1，-l) (C)(-l ，1) (D)(-l ，-l) 【答案】A
【解析】试题分析：()12z i i +=()()()2122211112
i i i i z i i i i -+∴=
===+++- 所以在复平面内z 对应的点是()1,1,故选A.考点：1、复数的运算；2、复平面. 2. 设全集U=R ，集合A={|21x x >}，B={|15x x -≤≤}，则U ()A B ð等于( )
(A)[-1，0) (B)(0，5] (C)[-1，0] (D)[0，5]
3. 已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】试题分析：因为p ⌝为真，所以p 为假，那么p q ∧为假，所以“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分条件；反过来，若“p q ∧为假”，则，“p 真q 假”或“p 假q 真”或“p 假
q 假”，所以由“p q ∧为假”不能推出p ⌝为真；
综上可知，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分不必要条件. 考点：命题与充要条件.
4. 若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )
(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 2
2
(2)(3x y -+=
(C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 2
2
(2)(4x y -+=
5. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( ) (A) 1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 2014
【答案】A
【解析】试题分析：1n =，条件2014n <成立，第一次运行， ()0
11,k 2,n 2s =-⨯==； 条件2014n <成立，第二次运行， ()()0
1
1112,k 3,n 3s =-⨯+-⨯==
6.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( ) (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 21 【答案】C
【解析】试题分析：从56名学生中抽取4人，用系统抽样法，则分段间隔为14，若第一段抽出的号码为5，则其它段抽取的号应为：19，33，47；所以答案应选C. 考点：系统抽样.
7. 函数||x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图象可能是( )
8. 三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为( )
(A)
2
(B) 32π (C) 3π (D) 12π
【答案】C
【解析】
试题分析：因为AB BC ⊥，所以AC 是ABC ∆所在截面圆的直径， 又因为SA ⊥平面ABC ，所以SAC ∆所在的截面圆是球的大圆
9. 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,
, 1.
b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨
-<⎩设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，
若函数()y f x k =+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) (A)(-2，1) (B)[0，1] (C)[-2，0) (D)[-2，1)
考点：1、新定义；2、分段函数；3、数形结合的思想.
10. 如图，已知直线l ：y =k(x +1)(k>0)与抛物线C ：y 2
=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是( )
(A) 13 (B)
3
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos2α= ．
【答案】
7 25 -
【解析】试题分析：根据三角函数的定义知：
4 sin
5
y
r
α===
所以，
2
2
4327 cos212sin121
52525αα⎛⎫
=-=-⨯=-=-
⎪
⎝⎭
所以，答案应填
7 25 -.
考点：1、三角函数的定义；2、二倍角公式.
12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
【答案】12
【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，高为4，底
面两直角边长分别为2和3，所以，该三棱柱的体积为：1
23412 2
⨯⨯⨯=
所以答案应填：12
考点：1、三视图；2、棱柱的体积.
13．若x、y满足条件
210
210
1
x y
x y
y x
--≤
⎧
⎪
++≥
⎨
⎪≤+
⎩
，则z=x+3y的最大值是 .
【答案】11
【解析】试题分析：不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：
14．已知a>b>0,ab=1，则22
a b a b
+-的最小值为 ．
【答案】【解析】试题分析：
0,0a b a b >>∴->
()
()2
2222
a b ab a b a b a b a b a b
-++∴==-+≥---≥
当且仅当()2
a b a b
-=
-即：a b =+.所以答案应填 考点：基本不等式.
15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当
(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-
给出以下4个结论：
①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈Z)成中心对称；
②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--； ④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈Z)上单调递增． 其一中所有正确结论的序号为
由图象可知①②正确，④不正确；另外，当()1,0x ∈-时，()22,3x -∈
所以，()()()222log 21log 1f x x x -=--=-又因为()f x 是以2这周期的奇函数 所以，()()()2f x f x f x -=-=-所以，()()2log 1f x x -=- 所以，()()()2log 1,1,0f x x x =--∈-，所以③也正确 故答案应填：①②③考点： 函数的图象与性质的综合应用
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．(本小题满分l2分) 已知函数()sin cos f x x x =+．
(I)求函数()y f x =在[0,2]x π∈上的单调递增区间；
(Ⅱ)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m =(a ，b)，n =(f (C),1)且m //n ，求B ．
(Ⅱ)由题意()sin cos ,f C C C =+
//m n ，()10a f C b ∴⨯-⋅=，即()sinC cosC a b =+……………………………7分
由正弦定理：
sin sin a b
A B
=， 得：()sinA sin sin cos sinBsinC sinBcosC B C C =+=+，………………………8分 在ABC ∆中，()sin sin sinBcosC cosBsinC,A B C =+=+
sinBsinC cosBsinC,∴=…………………………………………………………………10分
又sin 0,sinB cosB C ≠∴=，…………………………………………………………11分
tan 1B ∴=，又0,4
B B π
π<<∴=
.……………………………………………12分
考点：1、三角函数的性质；2、正弦定理；3、向量共线的条件.
17．(本小题满分12分)
如图，底面是等腰梯形的四棱锥E —ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB=2CD ，∠ABC=3
π
．
(I)设F 为EA 的中点，证明：DF//平面EBC ； (II)若AE=AB=2，求三棱锥B —CDE 的体积．
【答案】(II)
又
//FG CD
所以四边形CDFG 为平行四边形，……………………………………4分
//DF CG ,………………………………………………………………5分
又DF ⊂/平面EBC
CG ⊂平面EBC
//DF ∴平面EBC ………………………………………………………………6分
(II)等腰梯形ABC 中, 作CH AB ⊥于H ,则12
BH =
, 在Rt BHC ∆中,60ABC ∠=,则13tan 6022
CH ==…………………………9分 又EA ⊥平面ACD ,
所以,三棱锥B CDE -的体积1
3
B CDE E BD
C BC
D V V S EA --∆==
⋅⋅……………………10分
=111232⨯⨯=12分 考点：1、直线与平面平行的判定；2、棱锥的体积.
18. (本小题满分l2分)
甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?
19．(本小题满分12分)
已知数列{n a }的前n 项和2
1n n S a n =+-，数列{n b }满足113(1)n
n n n b n a na ++=+-，且
13b =．
(I)求n a ，n b ；
(Ⅱ)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ． 【答案】(I) 21n a n =+;1413n n n b --=
；(Ⅱ)1
1545
223
n n n T -+=-⋅ 【解析】试题分析：(I) 由2
1n n S a n =+-构造另一个等式2
11(1)1,n n S a n --=+-- 两式相减,根据n S 与n a 的关系可求数列{}n a 的通项公式n a ,再将所得n a 的表达式代入到
113(1)n n n n b n a na ++⋅=+- 中即可求数列{n b } 的通项公式;
20．(本小题满分13分)
已知函数3
()f x x x =- (I)判断
()
f x x
的单调性； (Ⅱ)求函数()y f x =的零点的个数；
(III)令2()ln
g x x =+，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值
范围； 【答案】(I)
()
f x x
在()0,+∞单调递增；(Ⅱ) 2 (III)
【解析】试题分析：(I) ()()21f x x x
x ϕ=
=-，先求其定义域：()0,+∞，在其定义域上由()x ϕ导数符号判断的的单调性.
设()2(2)1h x x a x =-++，
则()0h x =有两个不同的根12,x x ，且一根在10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
内,
不妨设11
0x e
<<
，由于121x x ⋅=，所以,2x e >………………………………………11分 由于()01h =,则只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，即
()211210,a e e
-++<…………………………12分 解得:1
2a e e
>+
-………………………………………………………………………13分 考点：1、求导法则；2、函数的零点；3、导数在研究函数性质中的应用.
21．(本小题满分14分)
已知双曲线C ：22
221x y a b
-=
的焦距为
其中一条渐近线的方程为0x =．以双
曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点．
(I)求椭圆E 的方程；
(II)若点P 为椭圆的左顶点，2PG GO =，求2
2
||||GA GB +的取值范围； (Ⅲ)若椭圆上点P 满足|PA|=|PB|，求证
222
112
||||||OA OB OP ++
为定值
. ()11,B x y --,由22
112133
x y +=,将22GA GB +表示成1x 的函数,从而求出它的取值范围. (Ⅲ) ①若,A B 在椭圆的短轴顶点上，则点P 在椭圆的长轴顶点上,,OA OB b OP a ===可得
2
2
2
1122OA
OB
OP
+
+
=;②若,A B 在椭圆的长轴顶点时，则点P 在椭圆的短轴顶点上,
,OA OB a OP b ===,可得2
2
2
1122OA
OB
OP
+
+
=③当点,,A B P 不是椭圆顶点时，
设直线l 的方程为()0y kx k =≠,由22,213
3y kx
x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩解得：222112233,1212k x y k k ==++于
是写出
2
2
2
112OA
OB
OP
+
+
的表达式并化简可得定值.
=2
111
3
x +
…………………………………………………………………………………8分
又
[]22111111120,0,3,333
x x x ⎡∈-∴∈∴≤+≤⎣ ∴2
2
GA GB +的取值范围是1120,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.………………………………………………9分
222112
OA OB OP
∴++=()()()()222
222
2212122313131k k k k k k +++++=+++
综上
2
2
2
112OA
OB
OP
+
+
为定值
2.………………………………………………………………14分 考点：1、双曲线、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.。