【数学】数学二模试题分类汇编——锐角三角函数综合附答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为
1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，
2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到
1cm ）？
【答案】
【解析】
过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可．
2．在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），
∠BPE=
1
2
∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G ． （1）当点P 与点C 重合时（如图1）．求证：△BOG ≌△POE ；
（2）通过观察、测量、猜想：
BF
PE
= ，并结合图2证明你的猜想； （3）把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF
PE
的值．（用含α的式子表示）
【答案】（1）证明见解析（2）
1
2
BF
PE
=（3）
1
tan
2
BF
PE
α
=
【解析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．
（2）BF1
PE2
=．证明如下：
如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．
∵∠BPE=1
2
∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．
又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=1
2 BM．
∴BF=1
2PE，即
BF1
PE2
=．
（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．
由（2）同理可得BF=1
2
BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．
∴
BM BN
PE PN
=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴
BM =tan PE α，即2BF
=tan PE
α． ∴
BF 1
=tan PE 2
α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．
（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出
BF 1
PE 2
=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=1
2
BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN
tan =PN
α即可求得
BF 1
=tan PE 2
α．
3．如图，PB 为☉O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交☉O 于点A ，连接PA ，AO.并延长AO 交☉O 于点E ，与PB 的延长线交于点D ．
(1)求证：PA 是☉O 的切线； (2)若
=，且OC=4，求PA 的长和tan D 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=
.
【解析】
试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．
试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.
易证，所以,解得，
则，在中，.
考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．
4．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．
（1）AE的长为 cm；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；
（3）求点D′到BC的距离．
【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．
【解析】
试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：
∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．
∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．
∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．
（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．
（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则
∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．
试题解析：解：（1）．
（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，
∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．
∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．
∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．
∴点E，D′关于直线AC对称．
如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．
∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，
∴，即DP+EP最小值为12cm．
（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，
∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，
∵AE=EC，∴AD′=CD′=．
在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′
（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．
设D′G长为xcm，则CG长为cm，
在Rt△GD′C中，由勾股定理得，
解得：（不合题意舍去）．
∴点D′到BC边的距离为cm．
考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．
5．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A，B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为200米，求A，B两点之间的距离（结果保留一位小数）
【答案】215.6米． 【解析】 【分析】
过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，
根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离. 【详解】
解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点
在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒， ∴AM=CM=200米，
又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米， 在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60
BN
DN =
≈米，
∴215.6MN MD DN AB =+=≈米 即A ，B 两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】
本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.
6．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．
【答案】故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米． 【解析】
试题分析：先根据两个坡比求出AE 和BF 的长，然后利用勾股定理求出AD 和BC ，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC ，梯形的面积公式可得出答案． 试题解析：∵迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，DE=30m ， ∴AE=18米，
在RT △ADE 中，22DE AE +34 ∵背水坡坡比为1：2， ∴BF=60米，
在RT △BCF 中，22CF BF +5
∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=（634+305+98）米， 面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．
故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．
7．如图，已知，在
O 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且AC BD =.
（1）求证：AB CD =；
（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；
（3）如图，在（2）的条件下，点P 在CG 上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若
AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ∆的面积为2，求O 的半径的长.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O 10.
【解析】 【分析】
(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；
（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明
AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；
（3）如图，延长GM 交
O 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使
HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，求出22FL =HM n =，则有2LK KG ==
，222FK FL LK =+=，再证明
KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，
KG HF
FK HM
=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 的长，最后得到圆的半径为10． 【详解】
解：（1）证明：∵AC BD =，∴AC CB BD CB +=+， ∴AB CD =， ∴AB CD =.
（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，
∴90AJO DQO ∠=∠=︒，11
22
AJ AB CD DQ ===， 又∵AO DO =， ∴AOJ DOQ ∆≅∆， ∴OJ OQ =，
又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥， ∴EO 平分AED ∠.
（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=︒，
由（2）知，1
452
AEF AED ∠=
∠=︒， 如图，延长GM 交O 于点H ，连接HF ，
∵FG 为直径，∴90H ∠=︒，1
22
MFG S MG FH ∆=⨯⋅=， ∵2MG =，∴2FH =，
在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，
∴45HFL HLF ∠=∠=︒，45KLG HLF ∠=∠=︒， ∵FG 为直径，∴90K ∠=︒，
∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠，∴LK KG =， 在Rt FHL ∆中，222FL FH HL =+
，FL = 设HM n =，2HL MG ==，
∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==， 在Rt LGK ∆中，222LG LK KG =+
，2
LK KG ==
，FK FL LK =+=， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠， ∵1
452
AEF AED ∠=
∠=︒， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒， ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠， ∴tan tan KFG HMF ∠=∠，
∴
KG HF
FK HM
=，
∴2
n
=
，4n =， ∴6HG HM MG =+=，
在Rt HFG ∆中，222FG FH HG =+
，FG =
FO = 即
O
【点睛】
考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线DE 交x 轴于点E （30，0），交y 轴于点D （0，
40），直线AB ：y ＝
1
3
x +5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，交直线DE 于点P ，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AB 于点F ，以EF 为一边向右作正方形EFGH ． （1）求边EF 的长；
（2）将正方形EFGH 沿射线FB
个单位的速度匀速平移，得到正方形E 1F 1G 1H 1，在平移过程中边F 1G 1始终与y 轴垂直，设平移的时间为t 秒（t ＞0）．
①当点F1移动到点B时，求t的值；
②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．
【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；
【解析】
【分析】
（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-4
3
x+40，可
求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；
（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；
②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE
上时，在Rt△F'NF中，NF
NF'
=
1
3
，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，
4
3
MH
EM
'
=，
t=4，S=1
2
×(12+
45
4
)×11=
1023
8
；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，
PK
F K'
=
1
3
，
PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PK
KG'
＝
3
1539
t
t
-
-+
＝
4
3
，t=7，S=15×（15-7）=120.
【详解】
（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），
∴
300
40
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴
4
3
40
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴y＝﹣4
3
x+40，
直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），
∴EF＝15；
（2）①易求B（0，5），
∴BF ＝1010， ∴当点F 1移动到点B 时，t ＝101010÷＝10；
②当点H 运动到直线DE 上时，
F 点移动到F'的距离是10t ， 在Rt △F'NF 中，
NF NF '=13
， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ，
∵MH'＝FN ＝t ， EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，
在Rt △DMH'中，
43
MH EM '=， ∴
41533
t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，
∴S ＝
1451023(12)11248
⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，
F 点移动到F'10，
∵PF ＝10
∴PF'10t ﹣10，
在Rt △F'PK 中，
13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，
在Rt △PKG'中，
PK KG '＝31539t t --+＝43
， ∴t ＝7，
∴S ＝15×（15﹣7）＝120.
【点睛】
本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．
9．如图以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点F.
（1）求证：DF ⊥AC ；
（2）若∠ABC=30°，求tan ∠BCO 的值.
【答案】(1)证明见解析; (2) tan ∠3 【解析】
试题分析：（1）连接OD ，根据三角形的中位线定理可求出OD ∥AC ，根据切线的性质可证明DE ⊥OD ，进而得证．
（2）过O 作OF ⊥BD ，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB 表示出OF 、CF 的长，根据三角函数的定义求解．
试题解析：证明:连接OD
∵DE 为⊙O 的切线, ∴OD ⊥DE
∵O 为AB 中点, D 为BC 的中点
∴OD‖AC
∴DE ⊥AC
(2)过O 作OF ⊥BD,则BF=FD
在Rt △BFO 中，∠ABC=30° ∴OF=
12OB 3 ∵BD=DC, BF=FD ，
∴FC=3BF=332OB 在Rt △OFC
中，tan ∠BCO=13233OB OF FC OB ==. 点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=
12OB ，BF=3OB ，FC=3BF=33OB 是解题关键．
10．已知Rt △ABC,∠A=90°,BC=10,以BC 为边向下作矩形BCDE,连AE 交BC 于F.
(1)如图1,当AB=AC,且sin ∠BEF=
35时，求BF CF 的值； (2)如图2,当tan ∠ABC=12
时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ⋅的值； (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =⋅时,求矩形BCDE 的面积
【答案】(1)
17
；（2）80；（3）100. 【解析】
【分析】 (1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35
FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ，可求得BF =a ,故17
BF CF =；（2）过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，得△EGA ∽△EHD ，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ，故可求出矩形的面积.
【详解】
解：(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,
∵sin ∠BEF ＝35,sin ∠FAK ＝35
,
∴35
FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a ,
∴AK =4a ,
∵AB =AC ,∠BAC =90°,
∴BK =CK =4a ,
∴BF =a ,
又∵CF =7a , ∴17
BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，
∵∠AGE =∠DHE =90°,
∴△EGA ∽△EHD , ∴EH ED EG EA
=， ∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC ＝
12， cos ∠ABC
∴BA ＝BC · cos ∠ABC
BK= BA·cos ∠ABC 8
= ∴EG =8,
另一方面：ED =BC =10,
∴EH ·EA =80 (3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,
∵BC ∥KT ,
BF AF FG KE AE ED ==， ∴BF KE FG DE =，同理：FG ED CG DT
= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FG FG CG
=， ∴ED 2= KE ·DT ∴
KE ED DE DT = ， 又∵△KEB ∽△CDT ,∴
KE CD BE DT
=， ∴KE ·DT ＝BE 2， ∴BE 2＝ED 2
∴ BE =ED
∴1010100BCDE S =⨯=矩形
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.。