山亭区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

山亭区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
2． 从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．
71 B ．73 C ．74 D ．7
6 3． 若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣
=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣4
D ．4
4． 在10
201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中，含2
x 项的系数为（ ）
（A ）10 （ B ） 30 （C ） 45 （D ） 120
5． 如图所示，函数y=|2x ﹣2|的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 若将函数y=tan （ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan （ωx+）的图象
重合，则ω的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a +2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
11．在三角形中，若，则的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（ ）
A ．（1，0）
B ．（0，1）
C ．（
） D ．（
） 二、填空题
13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．
14．在△ABC 中，A=60°，|AB|=2，且△ABC 的面积为
，则|AC|= ．
15．若函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a 的取值范围是 ．
16．若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 ．
17．曲线C 是平面内到直线l 1：x=﹣1和直线l 2：y=1的距离之积等于常数k 2（k ＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：
①曲线C 过点（﹣1，1）； ②曲线C 关于点（﹣1，1）对称；
③若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在直线l 1，l 2上，则|PA|+|PB|不小于2k ；
④设p 1为曲线C 上任意一点，则点P 1关于直线x=﹣1、点（﹣1，1）及直线y=1对称的点分别为P 1、P 2、P 3，
则四边形P 0P 1P 2P 3的面积为定值4k 2
．
其中，所有正确结论的序号是 ．
18．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1
2
12
||z z z +在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=lg （2016+x ），g （x ）=lg （2016﹣x ） （1）判断函数f （x ）﹣g （x ）的奇偶性，并予以证明． （2）求使f （x ）﹣g （x ）＜0成立x 的集合．
20．如图1，圆O 的半径为2，AB ，CE 均为该圆的直径，弦CD 垂直平分半径OA ，垂足为F ，沿直径AB 将半圆ACB 所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2） （Ⅰ）求四棱锥C ﹣FDEO 的体积
（Ⅱ）如图2，在劣弧BC 上是否存在一点P （异于B ，C 两点），使得PE ∥平面CDO ？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
21．函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
22．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若c2
=b2+a2，求B．
23．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，
平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．
24．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（Ⅰ）求证：CE∥平面ADF；
（Ⅱ）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，
求BK的取值范围．
山亭区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 D
【解析】解：模拟执行算法框图，可得 A=1，B=1
满足条件A ≤5，B=3，A=2 满足条件A ≤5，B=7，A=3 满足条件A ≤5，B=15，A=4 满足条件A ≤5，B=31，A=5 满足条件A ≤5，B=63，A=6
不满足条件A ≤5，退出循环，输出B 的值为63． 故选：D ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A ，B 的值是解题的关键，属于基础题．
2． 【答案】A
【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率2
7317
P C ==． 3． 【答案】D
【解析】解：双曲线
﹣
=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0）， ∴=2， ∴p=4． 故选D ．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
4． 【答案】C
【解析】因为1010
101
9102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2
x 项只能在
10(1)x +展开式中，即为2210C x ，系数为2
10
45.C =故选C ．
5．【答案】B
【解析】解：∵y=|2x﹣2|=，
∴x=1时，y=0，
x≠1时，y＞0．
故选B．
【点评】本题考查指数函数的图象和性质，解题时要结合图象进行求解．
6．【答案】D
【解析】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）
∴﹣ω+kπ=
∴ω=k+（k∈Z），
又∵ω＞0
∴ωmin=．
故选D．
7．【答案】C
【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱，
底面是一个边长是的等边三角形，
侧棱长是，
∴三棱柱的面积是3××2=6+，
故选C．
【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．
8．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．
化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
9．【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，
所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C83=56，
所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
10．【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，
即有a82=4a8，
解得a8=4（0舍去），
即有b8=a8=4，
由等比数列的性质可得b4b12=b82=16．
故选：D．
11．【答案】A
【解析】
由正弦定理知，不妨设，，，
则有，所以，故选A
答案：A
12．【答案】B
【解析】解：∵抛物线x 2
=4y 中，p=2， =1，焦点在y 轴上，开口向上，
∴焦点坐标为 （0，1），
故选：B ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x 2
=2py 的焦点坐标为（0，），属基础题．
二、填空题
13．【答案】2- 【解析】1111]
试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=- 考点：利用函数性质求值 14．【答案】 1 ．
【解析】解：在△ABC 中，A=60°，|AB|=2，且△ABC 的面积为，
所以，
则|AC|=1． 故答案为：1．
【点评】本题考查三角形的面积公式的应用，基本知识的考查．
15．【答案】 {a|或} ．
【解析】解：∵二次函数f （x ）=x 2
﹣（2a ﹣1）x+a+1 的对称轴为 x=a ﹣，
f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，
∴a ﹣≥2，或a ﹣≤1，∴a ≥，或 a ≤，
故答案为：{a|a ≥，或 a ≤}．
【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．
16．【答案】 （1，2） ．
【解析】解：∵f （x ）=log a x （其中a 为常数且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），
∴0＜a＜1，x＞0，
若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），
则，
解得：1＜x＜2，
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
17．【答案】②③④．
【解析】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y﹣1|=k2，
对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；
对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1|
∴|PA|+|PB|≥2=2k，③正确；
对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，
则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2．所以④正确．
故答案为：②③④．
【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．
18．【答案】D
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lg（2016+x）﹣lg（2016﹣x），h（x）的定义域为（﹣2016，2016）；
h（﹣x）=lg（2016﹣x）﹣lg（2016+x）=﹣h（x）；
∴f（x）﹣g（x）为奇函数；
（2）由f（x）﹣g（x）＜0得，f（x）＜g（x）；
即lg（2016+x）＜lg（2016﹣x）；
∴；
解得﹣2016＜x＜0；
∴使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合为（﹣2016，0）．
【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，对数的真数需大于0，以及对数函数的单调性．20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2，
∴CF=DF，OF=，
∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=，
∵CE为直径，∴DE⊥CD，
∴OF∥DE，DE=2OF=2，
∴，
图2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB，
又CF⊥AB，CF⊂平面ACB，
∴CF⊥平面ADE，则CF是四棱锥C﹣FDEO的高，
∴．
（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一点P（劣弧BC的中点），使得PE∥平面CDO．
证明：分别连接PE，CP，OP，
∵点P为劣弧BC弧的中点，∴，
∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP为等边三角形，
∴CP∥AB，且，又∵DE∥AB且DE=，
∴CP∥DE且CP=DE，
∴四边形CDEP为平行四边形，
∴PE∥CD，
又PE⊄面CDO，CD⊂面CDO，
∴PE∥平面CDO．
【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）…（2分）
令解得…
f（x）的递增区间为…（6分）
（2）∵，∴…（8分）
∴，∴…（10分）
∴f（x）的值域是…（12分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2
AsinB+sinBcos2A=sinA，
即sinB（sin2
A+cos2A）=sinA
∴sinB=sinA，=
（Ⅱ）由余弦定理和C2
=b2+a2，得cosB=
由（Ⅰ）知b2
=2a2，故c2=（2+）a2，
可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=
所以B=45°
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．
23．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以AG⊥EF．
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG⊂平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），
所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…
设平面ACE的法向量为=（x，y，z），
由=0，=0，得，
令z=1，得=（t，﹣t，1）．
因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，
所以|cos＜＞|==，…
即=，解得t2=1或．
所以AG=1或AG=．…
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD中，CD BA，正方形ABEF中，EF BA．…
∴EF CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF．…
又DF⊂平面ADF，CE⊄平面ADF，∴CE∥平面ADF．…
（Ⅱ）解：∵BE=BC=2，CE=，∴CE2
=BC2+BE2．
∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…
又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…
以B为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），
F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），=（0，2，2）．
设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．
由，，得可取=（1，﹣1，1），…
又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，
∵30°≤φ≤45°，∴，即…
结合0＜m＜2，解得0，即BK的取值范围为（0，4﹣]．…
【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．。