(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2
p z =，则（ ） A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小
B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定
C ．m n p ≤=
D ．m n p ≥=
2．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．已知i 是虚数单位，
121z i z -=+，则||z 等于（ ）
A ．1 B
C D 4．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）
（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；
（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；
（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；
（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]
A ．4
B ．1
C ．2
D ．3
5．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)
2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）
A ．14-
B ．14
C ．12-
D ．12 6．i 是虚数单位，若复数()2421i z i +=
-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a 的值等于（ ）
A ．5
B ．3
C ．-5
D ．-3
7．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数
12i i a bi i +-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．
1255i + C ．2155i - D ．2551i + 8．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ）
A ．1355i +
B ．1355i -+
C ．1355i -
D ．1355
i --
10．已知i 是虚数单位，则复数242i z i -=
+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 11．已知i 为虚数单位，则复数
21i i -+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 12．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）
A ．直线
B ．线段
C ．两个点
D ．圆
二、填空题
13．若复数z 满足
i 12i 01z +=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 14．复数212i z i
-=+的虚部为__________． 15．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____． 16．设复数满足，则____________.
17．已知132ω=-+（i 是虚数单位），2015()x ωω+的展开式中系数为实数的项有_______项 18．若复数z 满足11z -=，则z 的最大值为________． 19．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．
20．在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足3z i z i +=--，则直线l 的倾斜角为_____________（结果用反三角函数值表示）
三、解答题
21．已知复数13z i =，21322
z =-
+. （1）求1z 及2z 并比较大小；
（2）设z C ∈，满足条件21z z z ≤≤的点Z 的轨迹是什么图形？
22．设复数z 满足4533z z i +=，sin cos ()i ωθθθ=+∈R ．
（1）求z 的值；
（2）设复数z 和ω在复平面上对应的点分别是Z 和W ，求ZW 的取值范围． 23．已知复数z=1+i,求实数a ,b 使22(2)az bz a z +=+.
24．已知复数()()
21312i i z i
-++=-，z ai ω=-(其中i 是虚数单位).
(1)当ω为实数时，求实数a 的值； (2)当03a ≤≤时，求ω的取值范围.
25．已知复数12z =-，i 为虚数单位. （1）求3z 的值；
（2）类比数列的有关知识，求220191z z z ++++的值.
26．已知i 为虚数单位，复数z 在复平面内对应的点为
（1）设复数z 的共轭复数为z ，求|z +的值；
（2）已知,a b ∈R ，(3()a bi i z i -=，求ab 的值．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论.
【详解】
z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+ 222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号
m n p ∴≤=
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.
2．D
解析：D
【解析】
复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则
()
2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D. 3．A
解析：A
【解析】
因为121z i z
-=+，所以12(1)22z i z i iz -=+=+，2
12(12)343412(12)(12)555i i i z i i i i ----====--++-，1z ==，故选A ． 4．B
解析：B
【分析】
（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.
【详解】
（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；
（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；
（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；
（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，
所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误.
故选B.
【点睛】
复数对应的轨迹方程：
（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线. 5．B
解析：B
【分析】
根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.
【详解】
据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2
cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，
所以，)
cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，
当sin 216x π⎛⎫+
=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14
. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.
6．C
解析：C
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值．
【详解】 ()24242(42)(2)1 2.24
1i
i i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =-
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．
7．B
解析：B
【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=
+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．
【详解】
由题意，复数12i i a bi i
+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255
a b i=i -+
，故选B ． 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．C
解析：C
【解析】
分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可.
详解：复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则： 2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩
，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．D
解析：D
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255
i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
10．A
解析：A
【分析】
先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.
【详解】
解：∵()()()()242232424242105
i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105
z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（
32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi
11．D
解析：D
【解析】
分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.
详解：由题意可得：
()()()()2121313111222
i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
，该点位于第四象限， 即复数
21i i
-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．D
解析：D
【分析】
由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．
【详解】
解：设z x yi =+，|1|1z -=，
2|1|1z ∴-=，
2|1|1x yi ∴-+=，
22(1)1x y ∴-+=，
故该方程表示的图形为圆，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】根据行列式得到化简得到复数的虚部【详解】即的虚部为故答案为【点睛】本题考查了行列式的计算复数的虚部意在考查学生的计算能力 解析：1-
【分析】
根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.
【详解】
i 12i 01z +=即12(12)0,2i iz i z i i
+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为1-
【点睛】
本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.
14．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式即可得到复数
虚部详解：则复数的虚部故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误 解析：1-
【解析】 分析：利用复数除法的运算法则化简复数212i z i -=
+为a bi +的形式，即可得到复数虚部. 详解：()()()()212251212125
i i i i z i i i i ----====-++-，则复数z 的虚部1-，故答案为1-. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()
a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.
15．【解析】故复数对应的点的坐标为由对应的点在第二象限可得解得故答案为
解析：1a <-
【解析】
()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010
a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-. 16．【解析】试题分析：由题：得：考点：复数的概念和运算
解析：2
【解析】
试题分析：由题：，得：11i z i i
-==-+，221112z +=+=考点：复数的概念和运算．
17．672【分析】由二项式定理得出通项的系数再利用复数的运算得出哪些系数是实数【详解】系数为（）只要考虑是实数即可则（）是3的整数倍即可由于这样的有共672个∴展开式中系数为实数的项的672项故答案为：
解析：672
【分析】
由二项式定理得出通项的系数，再利用复数的运算得出哪些系数是实数．
【详解】
20152015120152015()()()r r r r r r r r T C x C x ωωωω--+==，系数为20152015()r r r C ωω-，
（02015,r r N ≤≤∈）
只要考虑20151()r r r a ωω-+=是实数即可，
1
2ω=-+，则331,()11ωωωω===，，20152015211()r r r r a ωωω
--+==， 201522013323r r r k -=-++=（k Z ∈），2r +是3的整数倍即可，由于02015,r r N ≤≤∈，这样的r 有1,4,7,,2014共672个，
∴展开式中系数为实数的项的672项．
故答案为：672．
【点睛】
本题考查二项式定理，考查复数的运算．解题关键是由二项展开式通项公式得出项的系数，然后利用ω的性质分析系数为实数的项有哪些．
18．2【解析】分析：首先根据题中的条件结合复数的几何意义可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆取最大值时就是圆上的点到原点的距离的最大值结合原的性质其为圆心到原点的距离加半径求得结果详解：依题 解析：2
【解析】
分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数z 对应点的轨迹是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，z 取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合原的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.
详解：依题意，设复数,(,)z x yi x R y R =+∈∈， 因为11z -=，所以有22(1)1x y -+=，
由复数的几何意义，可知z 对应的点的轨迹为以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，
因为z = 所以z 的最大值为112+=，所以答案为2.
点睛：该题考查的是有关复数z 的模的问题，利用复数的几何意义，结合题中的条件，最后将其转化为圆上的点到某个点的距离的最值问题，等于圆心到对应点的距离加半径，从而求得结果.
19．1【详解】由题设得三点的坐标分别为将三向量的坐标代入得因此即所以故答案为1点睛：本题考查复数与向量的对应以及向量相等的条件复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上向量相等则两向量的横纵坐标相等； 解析：1
【详解】
由题设得三点的坐标分别为()()()1
2,11,34A B C ---，，，，将三向量的坐标代入OC OA OB λμ=+得341211λμ-=-+-（，）（，）（，），因此3 24λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩
，即1 2λμ=-⎧⎨=⎩，所以λμ1+=，故答案为1.
点睛：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量
的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等；由题设求出三点A B C ，，的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数,λμ的方程，求出,λμ的值.
20．【分析】利用复数模的几何意义判断出直线的轨迹由此求得直线的斜率进而求得对应的倾斜角【详解】由题意得即的轨迹是到和两点的距离相等的点也即线段的垂直平分线故斜率为负数倾斜角为钝角故倾斜角为【点睛】本题主 解析：3arctan 2π-
【分析】
利用复数模的几何意义判断出直线l 的轨迹，由此求得直线l 的斜率，进而求得对应的倾斜角.
【详解】
由题意得()()3z i z i --=-+，即z 的轨迹是到()0,1A -和()3,1B 两点的距离相等的点，也即线段AB 的垂直平分线，()112303AB k --=
=-，故32l k =-，斜率为负数，倾斜角为钝角，故倾斜角为3πtan
2
arc -. 【点睛】
本题主要考查复数模的几何意义，考查两直线垂直时斜率的关系，考查反三角函数，属于基础题. 三、解答题
21．(1) 1z =2, 2z =1, 12z z > (2) 以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周）
【分析】
（1）利用复数的模的计算公式求出1z 、2z 即可解答.
（2）根据z 的几何意义及（1）中所求的模1z 、2z 可知z 的轨迹.
【详解】
解：（1）12z i ==
=，
21z ==， ∴12z z >. （2）由21z z z ≤≤及（1）知12z ≤≤. 因为z 的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以1z ≥表示1z =所表示的圆
外部所有点组成的集合，2z ≤表示2z =所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．
【点睛】
本题考查复数的模及其几何意义，属于基础题.
22．（1）3z i =；（2）[1,3]ZW ∈
【分析】
(1)设z a bi =+,则z a bi =-,代入题中关系式利用复数相等即可求出,a b 进而求出复数z 3i =;
(2)利用(1)的结果,ZW 为点3,1)和(sin ,cos θθ)之间的距离,利用两点之间距离公式列出等式然后再结合三角函数的知识进行求解范围.
【详解】
(1) 设z a bi =+,则z a bi =-,代入4z 533z i +=化简得53533a bi i += ∴由复数相等可得55333
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩3,1a b ==∴3z i =; (2)由3z i =和sin cos i ωθθ=+在复平面内对应的点为3,1)和W(sin ,cos θθ), ∴)()222ZW 3sin 1cos θθ=
+-=232cos θθ--+5=-4sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+5 ∵[]sin 1,16πθ⎛
⎫+∈- ⎪⎝⎭, ∴-4sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
+5[]1,9∈ ∴[]
1,3ZW ∈.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的运算法则,共轭复数,相等复数,考查了复数的几何意义,同时还考查了学生的运算能力,是高考中的常考题型. 23．-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩
或. 【解析】 分析：将z=1+i ,z 1i =-代入条件式整理,根据两个复数相等的条件求a,b.
详解：∵z=1+i,
∴az+2()()bz a 2b a 2b i,=++-
(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i
=(a 2+4a)+4(a+2)i.
∵a,b ∈R,
∴由复数相等,22a 4,-24(2).a b a a b a ⎧+=+⎨=+⎩
得 ∴两式相加整理,-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨
⎨==⎩⎩得或 ∴所求实数-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩
为或 点睛：（1）本题主要考查复数相等的概念，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.
24．(1)1；(2)1ω≤
≤. 【解析】
试题分析：
(1)整理计算()11a i ω=+-，满足题意时，10a -=，即1a =.
(2)由题意结合复数的模的定义和二次函数的性质可得ω的取值范围是1ω≤
. 试题 (1)()()()()
32233312222i i i i i z i i i i i ++-+++====+---+， 所以()111z ai i ai a i ω=-=+-=+-，
当ω为实数时，10a -=，即1a =.
(2)因为()11a i ω=+-，所以ω=
又因为03a ≤≤，所以当1a =时，min 1ω=，当3a =时，max ω
所以1ω≤≤.
25．（1）31z =（2）1
【分析】
（1）根据复数运算法则计算即可（2）根据等比数列的前n 项和，利用复数的运算法则进行计算即可．
【详解】
（1）复数1(2z i =-为虚数单位），
222111()2())222z ∴=-+⨯-+=-，
3221113)()1222244
(z i z z i ---+==-⋅==∴，
（2）202022013673911()111z z z z z z z z
++++--⋅==-- 111z z
-=
=- 【点睛】 本题主要考查了复数的四则运算，等比数列的求和公式，属于中档题.
26．（1）3；（2）ab =
【分析】
（1）根据复数z 在复平面内对应的点为写出复数和共轭复数，即可求出
||z +；
（2）根据题意得)(b ai i i +=--，求出1b =-，a =-.
【详解】
解：（1）由题知：z i =
+，
所以z i =，
所以||||3z i ===；
（2）由题知：(3()a bi i z i -=-，所以)(b ai i i +=--，
所以1b ai +=-- ，
由复数相等知：1b =-，a =-，
所以ab =【点睛】
此题考查复数概念与几何意义的辨析和基本运算，关键在于熟练掌握基本概念，根据运算法则准确进行复数运算.。