2018-2019学年高中新三维一轮复习理数江苏专版：课时

课时跟踪检测（四十三） 圆与方程
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________．
解析：把圆的方程化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3)
2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为____________________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1，
即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1
3．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为________． 解析：由半径r ＝
12D 2＋E 2－4F ＝1
2
4a 2＋4b 2＝2得，a 2＋b 2＝2. 所以点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2. 答案：2
4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．
解析：根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.
答案：x 2＋(y －1)2＝1
5．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．
解析：设圆心为C (a,0)，由CA ＝CB ， 得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2. 半径r ＝CA ＝(2＋1)2＋12＝10. 故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 由题意知(m －2)2＋(6)2＜10， 解得0＜m ＜4. 答案：(0,4)
6．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则PQ 的最小值为________．
解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为MQ ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
答案：4
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1．(2018·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为______________．
解析：设圆心为C (a ，b )，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧
b －3a ·33＝－1，
(a －2)2＋(b －3)2＝a 2＋(b －3)2＝r 2，
解得a ＝1，b ＝0，r ＝2.
故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝4
2．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．
解析：设y －1
x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．过两点连线的直线方程为
kx －y ＋1－2k ＝0，当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值，
由
|2k |k 2＋1
＝1，解得k ＝±3
3.
答案：
33，－3
3
3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为________________．
解析：由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为
|4|
2
＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上的动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为________．
解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线PA ，连结OA ，易知
此时PA 的值最小．由点到直线的距离公式，得OP ＝
|1×0－2×0＋5|
12＋(－2)2
＝ 5.
又OA ＝1，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2. 答案：2
5．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m ＝________.
解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2
＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.
答案：－1
6．在平面直角坐标系xOy 内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．
解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
a <0，|－a |>2，
|2a |>2，
解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
7．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.
解析：由题意可知，圆的半径r ＝
12k 2＋4－4k 2＝1
2
4－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π
4
.
答案：
3π4
8．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1 和两点A (－m,0), B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________．
解析：法一：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆
C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即
m 的最大值为6.
法二：由(x －3)2
＋(y －4)2
＝1知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝3＋cos θ，
y 0＝4＋sin θ.
因为∠APB ＝90°，即AP ―→·BP ―→
＝0，
所以(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0， 所以m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ
＝26＋10sin(θ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝3
4， 所以16≤m 2≤36且m >0， 所以4≤m ≤6，即m 的最大值为6. 答案：6
9．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD ＝410.
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.
(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又因为直径CD ＝410， 所以PA ＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②
由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2.
所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)．
所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 10．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求
n －3
m ＋2
的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝
|2＋2×7－t |
12＋22
≤22，
解上式得，16－210≤t ≤16＋210， 所以所求的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，
因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ，
所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.
由直线MQ 与圆C 有公共点， 得
|2k －7＋2k ＋3|
1＋k 2
≤2 2.
可得2－3≤k ≤2＋3，所以
n －3
m ＋2
的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是__________．
解析：把圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax －by ＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ，则ab ＝(1－2b )b ＝－2b 2＋b ＝－2⎝⎛⎭⎫b －142＋18≤18，当b ＝14时，ab 有最大值18，故ab 的取值范围为⎝
⎛⎦⎤－∞，1
8. 答案：⎝
⎛⎦⎤－∞，1
8 2．(2018·启东中学检测)已知点A (0,2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a >0)外一点，圆M 上存在点T ，使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是________．
解析：圆M 的方程可化为(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2. 圆心为M (a ，a )，半径为2a .
当A ，M ，T 三点共线时，∠MAT ＝0°最小， 当AT 与圆M 相切时，∠MAT 最大． 圆M 上存在点T ，使得∠MAT ＝45°，
只需要当∠MAT 最大时，满足45°≤∠MAT <90°即可． MA ＝(a －0)2＋(a －2)2＝2a 2－4a ＋4， 此时直线AT 与圆M 相切，
所以sin ∠MAT ＝
MT MA ＝2a
2a 2－4a ＋4
. 因为45°≤∠MAT <90°，所以2
2
≤sin ∠MAT <1， 所以
2
2≤2a 2a 2－4a ＋4
<1， 解得3－1≤a <1. 答案：[3－1,1)
3.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长
方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 3 m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.
(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
解：(1)以EF 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，1 m 为单
位长度建立如图所示的平面直角坐标系．则E (－33，0)，F (33，0)，M (0,3)．
由于所求圆的圆心在y 轴上， 所以设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， 因为F (33，0)，M (0,3)都在圆上，
所以⎩⎨⎧
(33)2＋b 2＝r 2，02＋(3－b )2＝r 2，
解得b ＝－3，r 2＝36.
所以圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.
(2)设限高为h ，作CP ⊥AD 交圆弧于点P ， 则CP ＝h ＋0.5.
将点P 的横坐标x ＝11代入圆的方程，得11＋(y ＋3)2＝36，解得y ＝2或y ＝－8(舍去)． 所以h ＝CP －0.5＝(y ＋DF )－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)． 答：车辆的限制高度为3.5 m.。